高等数学教案 第二章导数与微分 第五节函数的微分 教学内容： 1、函数微分的概念及几何意义； 2、微分与可导的关系： 3、微分在近似计算中的应用。 教学目标： 1、理解函数微分的概念，几儿何意义及微分与可导的关系： 2、掌握微分运算并利用微分作简单的近似计算的方法： 3、理解一阶微分形式不变性。 教学重点： 函数微分的概念。 教学难点： 函数微分的概念及一阶微分形式不变性。 教学方法：讲练结合教学法 作业：251,2,3,4,7,10 教学过程： 一、微分的定义 引例函数增量的计算及增量的构成. 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由x变到x+△x,问此薄片的面积改变 了多少？ 设此正方形的边长为x,面积为A,则A是x的函数：A=x己.金属薄片的面积改变量为 △4=(x0+△x)2-(x02=2x0△x+△x)2. 儿何意义：2xoAx表示两个长为xo宽为△x的长方形面积；（△x)表示边长为△x的正方形的 面积. 数学意义：当△r0时，（△r)是比△x高阶的无穷小，即（△x)2=o(△x;2xo△r是△x的线性 函数，是△4的主要部分，可以近似地代替△4. 定义设函数y=x)在某区间内有定义，xo及xo+△x在这区间内，如果函数的增量 △y=fxo+△x)-xo) 1
高等数学教案 第二章导数与微分 可表示为 △=A△r+o(△r), 其中A是不依赖于△x的常数，那么称函数y=x)在点xo是可微的，而A△x叫做函数y=x)在 点xo相应于自变量增量△x的微分，记作，即 d办=A△x. 函数可微的条件：函数x)在点xo可微的充分必要条件是函数x)在点o可导，且当函 数x)在点0可微时，其微分一定是 d=f'(xo)△x. 证明：设函数x)在点xo可微，则按定义有 △=A△r+o(△x), 上式两边除以△x,得 Ay=A+0四 △x 于是，当△x0时，由上式就得到 4=lim Av=f(o). 4x0△x 因此，如果函数)在点xo可微，则x)在点xo也一定可导，且A=f'(xo). 反之，如果x)在点xo可导，即 lim Ay=f(xo) △r0△x 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成 是-fra 其中a→0（当△x→0），且A=xo)是常数，aAr=o(△x).由此又有 △y=f'(o)△r+aAr 因且f'(xo)不依赖于△x,故上式相当于 △y=A△r+o(△x), 所以x)在点x也是可导的. 简要证明：一方面 Ay=AAx+oAx→Ag=A+oA→1imA义=f)=A. △x 4r-→0△x 别一方面 2
高等数学教案 第二章导数与微分 是-f)户是=HaA=fA*ax 以微分近似代替函数增量△y的合理性： 当f'(xo)≠0时，有 imy=lim一Ay=limy-l. Ar-0d少A0f'(x)△xf'()Ax-0dk △=+o(dy). 结论：在f(xo)≠0的条件下，以徽分山=f'(xo)△x近似代替增量△y=xo+△x)-xo)时，其误 差为o().因此，在△很小时，有近似等式 △y≈d 函数y=x)在任意点x的微分，称为函数的微分，记作d山或dx),即 d=f'(x)△x, 例如dcosx=(cosx)'△xr=-sinx△r;de'=(e)'Ar=e'△r. 例1求函数=x在=1和=3处的微分. 解函数y=x2在x=1处的微分为 =(x)yL=i△r=2△r; 函数y=x在x=3处的微分为 d=(x)l=3△r=6Ar. 例2.求函数y=x3当x=2,△x=0.02时的微分 解：先求函数在任意点x的微分 d=(xy△r=3x2△x. 再求函数当=2，△=0.02时的微分 1=2,4r=0.02=3x21x=2.4r=0.02=3×22×0.02=0.24. 自变量的微分： 因为当y=x时，=d=(x)△=△x,所以通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分，记 作dk,即d=△x.于是函数=x)的微分又可记作 =f"(x). 从而有 =f dx 这就是说，函数的微分少与自变量的微分本之商等于该函数的导数.因此，导数也叫做“微 商” 3
高等数学教案 第二章导数与微分 二、微分的几何意义 当△y是曲线y=)上的点的纵坐标的增量时，小就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量.当 △x很小时，△y-比△x小得多.因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段. 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 从函数的微分的表达式 =f"x) 可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分.因此，可得如 果下的微分公式和微分运算法则. 1.基本初等函数的微分公式 导数公式： 微分公式： (x=4x d(x=uxdx (sin x)'=cosx d(sinx)=cosx dx (cos x)'=-sinx d(cos x)=-sinx dx (tan x)'=sec2x d(tanx)=sec'x dx (cot x)'=-csc2x d(cotx)=-cscx dx (sec x)'=sec x tanx d(sec x)=sec x tanx dx (csc x)'=-csc x cotx d(cscx)=-cscx cotx dx (a*)'=a*Ina d(a*)=a"Inadx (e)=e d(e")=e*dx (log)=-1 xlna dlog. ay日 m-4 (arcsin) 1 1 d(aresin.) 1 (arccosx)'=- √1-x2 d(arccosx)=- 1 dx 1-x2 (arctanx)'=-1 +x2 d(arctanx)= 1+x2 (arccotx)=-1+x 1 d(arccotx)=- 2.函数和、差、积、商的微分法则 求导法则： 微分法则： (uv)'=d±v d(utv)=dutdv 4
高等数学教案 第二章导数与微分 (Cu)'=Cu' d(Cu)=Cdu (v)'='v+w d(u-v)=vdutudy (台=心≠0 2 d哈=dddv≠0 1v2 证明乘积的微分法则： 根据函数微分的表达式，有 d(uv)=(uv)'dx. 再根据乘积的求导法则，有 (uv)'=u'v+uv'. 于是 duv)=(u'v+uv'dx=u'vdx+uv'dx. 由于Wdk=du,v'dk=v, 所以d(w)=vdhu+ud. 3.复合函数的微分法则 设=)及=x)都可导，则复合函数y=几x)]的微分为 dy=y',dx=f'(u)(x)dx. 于由p(x)d=d,所以，复合函数y=x)]的微分公式也可以写成 =f'(w)du或与y'udu 由此可见，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式山=f'()保持不变.这 一性质称为微分形式不变性.这性质表示，当变换自变量时，微分形式=f"(u)du并不改变 例3.y=sin(2x+1),求d 解：把2x+1看成中间变量4，则 dy=d(sin u)=cos udu=cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)-2dx=2cos(2x+1)dx 在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量 例4.y=ln1+er2),求. 解：=dn+e)ed0+e叫 +eed-e2de 1 +erct」 例5.=e-cosX,.求d 解：应用积的微分法则，得
高等数学教案 第二章导数与微分 d=d(e!-cos x)=cosxd(e)+ed(cosx) =(cos x)e-(-3dx)+e-(-sinxdx) =-e-(3cos x+sin x)dx. 例6.在括号中填入适当的函数，使等式成立. (1)d)=xd; (2)d()=cos @t dt. 解：(1)因为dx)=2rdk,所以 xdk=dxa)=d,即d)=x. 般地，有d号x2+C)=xdk(C为任意常数)， 一 (2)因为d(sin w)=cos td,所以 cosd=Ld(sino）)=d(sint）. 0 因此 d(-sin@t+-C)=cos@tdt((C为任意常数). 四、微分在近似计算中的应用 1.函数的近似计算 在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式.如果直接用这些公式进行计算，那是 很费力的.利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替 如果函数y=孔x)在点xo处的导数f'(x)≠0，且△x很小时，我们有 △≈中=f'(x0)△x, △=fxo+Ar)-xo)≈=f'(xo)△x, fxo+△x)≈f式xo)+f'(xo)△r 若令=xo+△x,即△r=x-x,那么又有 Ax)Axo)+f(xo)(x-xo). 特别当x00时，有 x)≈O)tf'(0)x 这些都是近似计算公式. 例1.有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0. 01cm.估计一了每只球需用铜多少g铜的密度是8.9g/cm)? 解：已知球体体积为/-aR,R=1cm△R-0.01cm 6
高等数学教案 第二章导数与微分 镀层的体积为 △/=Ro+△R)-Ro)≈V'(Ro)△R=4πR02△R=4×3.14×12×0.01=0.13(cm). 于是镀每只球需用的铜约为 0.13×8.9=1.16(g). 例2.利用微分计算sin3030'的近似值， 若+360=石，A=360 解：已知3030'=平+π」 sin3030'=sin(xo+△x)esin xo+△c cos xo =sn名+cos石360 °6360 1+5.元=0.5076. 22360 即 sin30°30'≈0.5076 常用的近似公式（假定x是较小的数值)： ()+x1+x; n (2)sin xx(x用弧度作单位来表达)； (3)tan xex(x用弧度作单位来表达)； (4)e≈1+x; (5)ln(1+x)x. 证明（原四=，那么0=lf0=+ r=0 代入x)O)+f'(O)x便得 +xl+片. 证明(2)取x)=sinx,那么0)=0，f'(0)=cosx==1,代入x)0)+f'(0)x便得 sinx≈x. 例3.计算√1.05的近似值. 解：已知+x≈1+1x,故 n 1.05=1+0.05≈1+2×0.05=1.025. 直接开方的结果是√1.05=1.02470 小记：深刻理解微分的概念，注意掌握微分与可导的关系与区别：在一点可导与可微是 两个不同的概念，前者是函数增量与自变量增量之比的极限，是函数变化率：后者是函数增 量之线性主部，是函数增量的近似值。函数在一点可微的充要条件是可导。 >
