高等数学教案 第二章导数与微分 第三节 高阶导数 教学内容： 1、高阶导数的概念： 2、高阶导数的计算。 教学目标： 理解高阶导数的概念，掌握高阶导数的计算方法。 教学重点： 高阶导数的计算。 教学难点： 高阶导数的计算。 教学方法：讲练结合教学法 作 业：P031,2,3,10. 教学过程： 般地，函数y=x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数.我们把y=f'(x)的导数叫做函数 的二阶导数，记作y、f")或 dx2 即 y"),I"4 dv2 dxdx 相应地，把y=x)的导数f"(x)叫做函数=x)的一阶导数 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，·，一般地，(-1) 阶导数的导数叫做n阶导数，分别记作 州或器，器器 函数fx)具有n阶导数，也常说成函数x)为n阶可导.如果函数fx)在点x处具有n阶 导数，那么函数x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数.二阶及二阶以上的 导数统称高阶导数， y称为一阶导数，y,y,y⊕，，y都称为高阶导数 例1.y=+b,求y". 解：y'=,y=0 例2.s=sin @t,求s" 1
高等数学教案 第二章导数与微分 解：s'=wcos @t,s"=-o2 sin ot. 例3.证明：函数y=√2x-x2满足关系式y3y”+1=0. 证明：因为y222之子 1-x 2-2x y" -2x-x2-0-02N2x-豆 --2x+x2-0-x)2 =1 2x-x2 (2x-x2)W(2x-x2) (2x-x2克 所以y3y"+1=0. 例4.求函数=e的n阶导数. 解；y'=e,y"=e,y"=e,y4=e, 一般地，可得 y(ne, 例5.求正弦函数与余弦函数的n阶导数. 解：y=sinx, y-cos x-sin(, y=cos6x+受=sin(r+受+受=snx+2， 2 y"=cos(x+25)=sin(6x+2.5+5)=sin(x+37), 22 w=cos(x+3受)=sin(x+4。 一般地，可得 rm=sin(c+n罗，即(sinm=sin(r+n 用类似方法，可得((cos.x)=cos(x+n牙). 例6.求对函数ln(1+x)的n阶导数 解：y=n(1+x,y'=(1+x),y”=-(1+x)2, y"=(-1(-2)1+x)3,y4=(-1)(-2)(-3)(1+x), 一般地，可得 y=(-10-2(←+1)1+x"=（←1y-m- 1+x)n 即 a+=器 例6.求幂函数=x(是任意常数)的n阶导数公式. 2
高等数学教案 第二章导数与微分 解：y=a, y'"=-1)x2, y"=4(-1)(-2)x3 y+=-1)(2)0-3)4, 一般地，可得 ym=4-1)(-2)·(-+1)x-, 即 (x")m=-1)(-2)·(-n+1)xn. 当=n时，得到 (xm=1)(2)·3·2·1=n!. 而 xm*》-=0】 如果函数=u(x)及=v(x)都在点x处具有n阶导数，那么显然函数ux)士v(x)也在点x处 具有n阶导数，且 (士v)m=m+vw) (w)y'=+W (uw)"='v+2'v'+w", (wy'="v+3"'+3v"+", 用数学归纳法可以证明 (ur)(=Cful-Kv, k=0 这一公式称为莱布尼茨公式， 例8.y=xe2r,求y20 解：设=e2r,=x2,则 (u=2*e2r(k=1,2,…,20), y=2x,"=2,(y)=0(k=3,4,·,20), 代入莱布尼茨公式，得 y20n=(uv)20n=t20.v+C20'n19.y'+C20218.v' =20e2.x2+2021e2.2x+201921e2.2 2 =220e2(x2+20x+95). 小记：学习这部分应注意求f(x)的阶导数时，往往要先利用初等数学方法先将函数化简， 然后再利用已知函数的n阶导数公式与求导法去求。 3