高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 第三节泰勒公式 教学内容： l、Taylor定理，Taylor公式，Maclaurin公式，以及不同余项的Taylor公式及其之间的 差异； 2、一些常用初等函数的Taylor展开公式，并能加以应用： 3、带Peanlo余项的Taylor公式求某些函数的极限。 教学目标： l、深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，Maclaurin公式，熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其之间的差异： 2、掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用： 3、会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算；会用代Peanlo余项的Taylor公式 求某些函数的极限。 教学重点： Taylor公式； 教学难点：Taylor定理： 教学方法：讲练结合教学法 作业：P451,2,3. 教学过程： 对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于 用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算，便能求出它的函数值， 因此我们经常用多项式来近似表达函数. 在微分的应用中己经知道，当x很小时，有如下的近似等式： e'≈l+x,ln(1+x)≈x. 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在着不足之处：首 先是精确度不高，这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时， 不能具体估算出误差大小.因此，对于精确度要求较高且需要估计误差时候，就必须用高次 多项式来近似表达函数，同时给出误差公式 设函数x)在含有xo的开区间内具有直到(+1)阶导数，现在我们希望做的是：找出一个 关于(x-xo)的n次多项式
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 px)=a0+a1r-xo)+a2(x-x0)2+··+an(x-0)” 来近似表达x),要求px)与x)之差是比(c-xo)”高阶的无穷小，并给出误差f(x少pn(x川 的具体表达式。 我们自然希望p(x)与x)在xo的各阶导数（直到(+1）阶导数)相等，这样就有 px)=a0+a1x-x0)+a2(x-x0)2+.·+an(-x0)”, pn'(x)=a1t2a2x-x0）+…+nam-0)"-l, pm"(x)=2a2+32a3(x-x0)+·+n(n-1)amx-x0)-2 pm"(x)=3!a3+4-32a4x-x0)+…+n(n-1)(n-2)anc-x0)m-3, pn(x)=n!an. 于是 Pn(o)=ao,Pn'xo)=a1,Pn"(xo)=2!a2,pn"(x)=3!a3,....pn)=n!an. 按要求有 Axo)=pn(xo)=aof(xo)=pn(xo)=a1,f"(xo)=pn"(xo)=2!a2,f""(xo)=pn"(xo)=3!a3, f(x)=pn(o)=n!an. 从而有 aha1foh4=2fr,,a=f"）,a.=f6）. a=后()2012m 于是就有 po4fo6-0+2/C)6-o2+…+/6)6-0” 泰勒中值定理如果函数x)在含有xo的某个开区间(a,b)内具有直到(+1)的阶导数， 则当x在(a,b)内时，x)可以表示为-xo)的一个n次多项式与一个余项R(x)之和： x)+(+R.C 其中R,()=a但x-)1(传介于o与x之间. (n+1)! 这里，多项式 p.(*)=f(x)+fGx-x)+iJGXx-x+..+(Xx-x. 称为函数x)按(x-xo)的幂展开的n次近似多项式，公式 2
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 J(x)-J(xo)+f(xoX(x-xo)+z/"Cxo)(x-xo+..+f(xoX(x-xo)+R(x). 称为x)按(x一xo)的幂展开的n阶泰勒公式，而R(c)的表达式 其中R=ax-(阶于x与和之间， (n+l)！ 称为拉格朗日型余项. 当n=0时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式： x)=xo)+f"(月(x-x)(5在x0与x之间). 因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广 如果对于某个固定的n,当x在区间(a,b)内变动时，r*x)总不超过一个常数M,则有 估计式： 风a=a2xr4kxm, 及 lim R一=0 →x(x-x0)n 可见，妆xxo时，误差R(x)是比(x-x)”高阶的无穷小，即 Rn(x)=o[-xo)们. 在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也可写成 f=f+f,x-+2f"x-,P++是fo,x-+ox-川. 当x0=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式，就是 f=f0+0x+f0x2++f0x+R,6, 21 n! 或 f0w=f0+f0x+f"0x2+…+fo 21 2xn+o(x"), _n 其中R,=f9x1 (n+1)！ 由此得近似公式： f≈f0+fOr+'Ox2++fo0x 2 误差估计式变为： R啡anr. 例1.写出函数x)=e的n阶麦克劳林公式. 解：因为x)=f'(x)=f"x)=·=f”(x)=e, 所以0)=f'(0)=f"(0=·=f(0)=1, 3
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 于是 1 er=l+x+ x2+…+ +(0s民1， 1 x*+ 并有 ex≈l+x 22++ 1 xn. n! 这时所产性的误差为 R州水 (nD 当l时，可得e的近似式：er≈1+1+ 其误差为RKe 3 (n+D!(n+D)! 例2.求x)=sinx的n阶麦克劳林公式. 解：因为 f(x)=cosx,f"(x)=-sinx,f"(x)=-cosx, ()=sinx,()=sin(x+n), f0)=0,f'(0)=1,f"(0)=0,f"(0)=-1,f40)0, 于是 sin 5 2n-t21+Rn(因. 当m=1、2、3时，有近似公式 s血snx,snx骨+的. 3
