高等数学教案 第四章不定积分 第四节 有理函数的积分 教学内容：一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 教学目标：使学生掌握有理函数的分解，会求简单的有理函数积分、简单的三角函数有理 式、简单的无理函数的积分 教学重点：求有理函数积分 教学难点：如何将简单的三角函数有理式、简单的无理函数转化为有理函数的积分. 教学方法：讲授 作业：P2181-22 教学过程： 一、有理函数的积分 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下形式的函数： P(x)dox"+ax"++an-x+an (x)boxm+x+bmx+bm 其中m和n都是非负整数；a,a1,a2,·,an及bo,b1,b2,·,bnm都是实数，并且a0≠0，b00.当 n<m时，称这有理函数是真分式；而当n≥m时，称这有理函数是假分式. 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式.例如 x2+x+1xx2+)+l=x+ 1 x2+1x2+1 x2+1 真分式的不定积分： 求真分式的不定积分时，如果分母可因式分解，则先因式分解，然后化成部分分式再积 分 例1求26 解6=血=水 =-J226-35nr-24c 提示： x+3=A+B=(A+B)x+(-2A-3B) (x-2)(x-3)x-3'x-2(x-2)x-3) A+B=1,-3A-2B=3,A=6,B=-5. 分母是二次质因式的真分式的不定积分：
高等数学教案 第四章不定积分 例2求血 Jx2+2x+3 n3-3 2 2Jx2+2x+3 -e2+2x4方anm片4c. 22x+2)-31.x-2-3 提示：23+2x32x2+2x+3+23 例3求 解=生h =-片+fnk=r-+c 提示： 1一=1-x+X=-1一 x(x-1)2x(x-D)2 x(x-1)(x-D)2 =-1-x+x+1=1_1 x(x-1)(x-12xx-1(x-1)2 二、可化为有理函数的积分举例 例4求m 解令u=tan于，则 1+n2,c0sx= sinx=_2u 72 arctan4、x=1+2M +2 于是 n-2 2) 2 20++m 1+2) =号u+2+hdu +2u+nWD)+C -an登+an+号anc. 说明：并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分.例如， cosx dx= 1+sinx [Iddl+sinx)=In(l+sinx)+C. 1+sinx
高等数学教案 第四章不定积分 例5求。 解设√x-1=u,即x=u2+1,则 只-j2=2咖 2-arcta)+C =2(Vx-I-arctanvx-1)+C 例6，会7 解设x+2=u,即x=2-2,则 安w= -3-1+d--w+lml+)+C =G+2乎-3+2+nl1+次+21+C. 例7求a,会 解设=t,于是dk=6tdt,从而 ac 6-arctan/)+C =6(x-arctan/x)+C. 例8求以 解设受1，即x于是 臣=e- =-2,后=-20+4 =-2-hc -2呼-hc +x+Vx