高等数学教案 第七章微分方程 第二节可分离变量的微分方程 教学内容：可分离变量的微分方程 教学目标：1、理解可分离变量的微分方程的定义与形式： 2、掌握可分离变量的微分方程的求解方法。 教学重点：可分离变量的微分方程及其求解方法 教学难点：可分离变量的微分方程的求解 教学方法：讲授法 作业：P3041-7 教学过程： 一、分离变量法： 能化成g(y)d少=f(x)(f(x),g(x)为己知函数)形式的微分方程称作可分离变 量的微分方程。 这类方程的解法是：对等式两边积分，得血=广k,算出不定积分后，就得到原方 g(v) 程的通解。 例1.求方程y'-xy=0的通解. 解：原方程可化为： y =,分离变量得：少=xh0≠0)， dx 对等式两边积分，得： 求积分得：ny=。x2+C, 2+C1 x2 =tec.e2 5x2 即：y=±e2 =Ce2(C=±e9) 12 所以，原方程的通解为：y=C2(C为任意常数)。 例2.已知常微分方程y'-2x+1=0。求： (1)它的通解： (2)它的积分曲线中与直线y=2x-1相切的积分曲线。 解：(1)分离变量，得：少=(2x-1)dk,两边积分，得通解：y=x2-x+C: (2)因为所求积分曲线与直线y=2x-1相切，因此：
高等数学教案 第七章微分方程 [y'=2x-1=2 X= y=2x-1,解这个方程组，得： [y=x2-x+C c- 4 所以，所求积分曲线方程为：y=x2一x+ 4 例3.一电动机运转后每秒钟升高10°C,设室内温度恒为15C,电动机温度升高后， 冷却速度和电动机与室内的温差成正比，求电动机温度与时间的函数关系。 解：设t时刻电动机的温度为T(t)(单位：C),则从t到t+△t电动机因运转温度 升高了10△t.由于电动机周围的温度恒为15°C,所以电动机要向外散热，电动机因散热温 度及降低了T(t)-15]. 于是 T(t+△t)-T(t)=10△t-k[T(t)-15]△t, 即 △T =10-kT(t)-15]. △t 取极限，得 △T=10-kT0-15], m 即 dr=10-k(T-15): dt dT 即 =dt. 10-k(T-15) 两边积分得 2nl0-k(T-15=t+C, 整理得 7=15+10 Ce-W. k 又因为T(0)=15,得 C=10 因此T=15 +10-10e”,即T0=15+10a-e)为所求. kk 二、本节小结： 本讲重点是有关一阶可分离变量方程的解法。 2