高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 第四节函数单调性与曲线的凹凸性 教学内容： 1、用导数判断函数的单调性； 2、凹凸性及拐点的定义： 3、用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点。 教学目标： 1、理解凹凸性及拐点的定义； 2、掌握用导数判断函数的单调性，凹凸性。 3、掌握利用函数的单调性，凹凸性证明不等式的基本方法。 教学重点： 1、凹凸性及拐点的定义： 2、掌握用导数判断函数的单调性，凹凸性。 教学难点： 1、凹凸性及拐点的定义： 2、掌握用导数判断函数的单调性，凹凸性。 教学方法：启发式教学法 作 业：s234,5,89,10. 教学过程： 一、函数单调性的判定法 如果函数y=x)在[a,b]上单调增加（单调减少），那么它的图形是一条沿x轴正向上升 (下降)的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即y'=∫'(x)≥00y=f '(x)≤0).由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的关系 反过米，能否用导数的符号米判定函数的单调性呢？ 定理1（函数单调性的判定法）设函数=x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 (1)如果在(a,b)内f"(x)>0,那么函数y=x)在[a,b]上单调增加； (2)如果在(ab)内f"'(x)<0,那么函数y=x)在[a,b]上单调减少 证明只证(1).在[a,b]上任取两点x1,2(c1<2),应用拉格朗日中值定理，得到 x2)）-fx1)=f'(月(x2-x)(x1<x2)
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 由于在上式中，x2-x>0,因此，如果在(a,b)内导数f"(x)保持正号，即f'(x)>0,那么也有f '(>0.于是 fx2)x1)=f'((x2-x1)>0, 即 1)x2), 这函数y=x)在[a,b]上单调增加， 注：判定法中的闭区间可换成其他各种区间。 例1判定函数y=x-sinx在[0,2刀上的单调性. 解因为在(0,2内 y'=1-cosx>0, 所以由判定法可知函数)=-cosx在[0,2河上的单调增加. 例2讨论函数=-x-1的单调性.（没指明在什么区间怎么办？） 解y'=e-1. 函数y=e-x-1的定义域为(-0，+o).因为在(-o,0)内y'0,所以函数y=e-x-1在[0，+oo)上单调增加. 例3.讨论函数y=2的单调性 解：函数的定义域为(-o,+0). 当时，函数的导数为 广录0，函数在0处不可导 当=0时，函数的导数不存在 因为x0时，y>0,所以函数在[0，+∞)上单调增加. 如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要 用方程∫'(x)=0的根及导数不存在的点来划分函数x)的定义区间，就能保证∫'(x)在各个部分 区间内保持固定的符号，因而函数x)在每个部分区间上单调， 例4.确定函数x)=2x-9x2+12xr-3的单调区间. 解这个函数的定义域为：(-o,+0) 函数的导数为：f'x)=6x2-18x+12=6(x-1)x-2).导数为零的点有两个：x1=1、x2=2. 列表分析： 2
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 (-0,1] [1,2] [2,+0) f'(x) × - Ax) → 函数x)在区间(-0,1]和[2，+0)内单调增加，在区间[1,2]上单调减少 例5.讨论函数y=x3的单调性. 解函数的定义域为：(-0，+o), 函数的导数为：y=3x2.除当x=0时，y-0外，在其余各点处均有y>0.因此函数 y=x3在区间(-0,0]及[0，+o)内都是单调增加的.从而在整个定义域：(-o,+∞)内是单调增加 的.在x0处曲线有一水平切线。 一般地，如果f'x)在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正（或负）时，那 么x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 例6.证明：当>1时，2>3-1 证明：令f)=2乐-6-马，则 fe女卓-0. 因为当>1时，f"(>0,因此x)在[1，+o)上x)单调增加，从而当x>1时，x)>1), 由于1)=0，故x)>1)=0,即 2-3-)>0, Y 也就是2F>3-上(>1). 二、曲线的凹凸与拐点 凹凸性的概念： 个 fx)+f(】 f()-f) 2 fx)】 x2) x1) f(x2) +x红 X2 +2 X2 2 2 3
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 定义设x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2,恒有 f+3)0,则x)在[a,b]上的图形是凹的； (2)若在(a,b)内f"(x)0,则)在[ab]上的图形是凸的. 简要证明只证().设x,,∈[ab,且x0,5点生艺)，所以a上的图形是四的， 2 拐点：连续曲线)=x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点 确定曲线=x)的凹凸区间和拐点的步骤： (1)确定函数y=x)的定义域； (2)求出在二阶导数"(x): (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点； 4
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 (4)判断或列表判断，确定出曲线凹凸区间和拐点； 注：根据具体情况(1)(3)步有时省略。 例1.判断曲线y=lnx的凹凸性， 解：=”=是 因为在函数y=nx的定义域(0，+o)内，y"0时，y">0,所以曲线在[0，+0)内为凹的 例3.求曲线y=2x3+3x2-2x+14的拐点. 解：y=6x2+6x-12, y=I2x+6=I2x+2 令0，得x= 因为当x号时，y少0，所以点(-720是曲线的拐点 例4.求曲线y=3x44x3+1的拐点及凹、凸的区间. 解：(1)函数y=3x44x3+1的定义域为(-0，+0方 (2y=12x-12x2,y=36x2-24x=36x6x-3; (3)解方程y”-0,得=0，=号： (4)列表判断： (-0,0) 0 (0,2/3) 2/3 (2/3,+0) f"'(x) × 0 0 × ) U 1 11/27 U 在区间(-0,0]和[2/3，+0)上曲线是凹的，在区间[0,2/3)]上曲线是凸的.点(0,1)和(2/3， 11/27)是曲线的拐点， 例5问曲线=x4是否有拐点？ 解y-4x3,y"=12x2
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 当x≠0时，y">0,在区间(-0，+0)内曲线是凹的，因此曲线无拐点. 例6.求曲线y=F的拐点 解(1)函数的定义域为(-0，+o0): 回y京产派 (3)无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为x0: (4)判断：当x0;当x>0时，y"<0.因此，点(0,0)曲线的拐点 小记：判定曲线凹凸性的定理仅是充分性定理；函数二阶导数不存在的点也可能 是曲线的拐点。 6
