高等数学教案 第二章导数与微分 第二章导数与微分 第一节导数概念 教学内容： 1、导数的定义： 2、导数的几何意义： 3、函数的可导性与连续性的关系。 教学目标： 1、深刻理解导数的定义和导数的几何意义： 2、掌握函数可导性与单侧导数的关系 3、理解函数的可导性与连续性的关系。 教学重点： 1、导数的定义： 2、函数的可导性与连续性的关系。 教学难点： 导数的定义。 教学方法：启发式教学法 作 业：P63,4,6,7,8,9,10,12,13,15,16,17,18,19. 教学过程： 一、引例 1.直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动，时刻1质点的坐标为s,s是1的函数：S=), 求动点在时刻to的速度. 考虑比值 1
高等数学教案 第二章导数与微分 s-50_f(t)-f(to) t-to 1-to 这个比值可认为是动点在时间间隔-o内的平均速度.如果时间间隔选较短，这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻的速度.但这样做是不精确的，更确地应当这样：令t-o→0，取 比值⊙-@的极限，如果这个极限存在，设为y,即 t-to v=lim- f(t)-f(to) i→ot-t0 这时就把这个极限值v称为动点在时刻to的速度. 2.切线问题 设有曲线C及C上的一点M,在点M外另取C上一点N,作割线MN.当点N沿曲线C 趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT,直线MT就称为曲线C有点M处 的切线 设曲线C就是函数y=x)的图形.现在要确定曲线在点Mxo,yo)0yo=xo)处的切线，只要 定出切线的斜率就行了.为此，在点M外另取C上一点N(x,y),于是割线MN的斜率为 tano=Y-Yo=f(x)-f(xo) x-X0 x-X0 其中p为割线MN的倾角.当点N沿曲线C趋于点M时，x→xo.如果当x→o时，上式的极限存 在，设为飞，即 k=lim f()-f(xo) x→0x-X0 存在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率.这里k=tan心，其中au是切线MT的 倾角.于是，通过点Mxo,xo)且以K为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线. 二、导数的定义 1.函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出，非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极 限： lim f)-f) xx0 x-X0 2
高等数学教案 第二章导数与微分 令Ar=x-x0,则Ay=fxo+△x)一xo)=fx)-xo),xxo相当于△xr0,于是1im f(x)-f()】 x→x0x-X0 成为 limA义或1imfC+A)-f2 △x→0△x △X→0 △x 定义设函数y=x)在点xo的某个邻域内有定义，当自变量x在xo处取得增量△（点xo+△x 仍在该邻域内)时，相应地函数y取得增量△y=fxo+△x)-xo);如果△y与△x之比当△x→0时的极 限存在，则称函数y=x)在点xo处可导，并称这个极限为函数y=x)在点xo处的导数，记为 yl,即 (o)=lim Av=lim2 f(x+△)-f(xo) Ar0△xAx→0 Ax 也可记为y儿x=o,衣k dy 或) dx x=xo 函数x)在点xo处可导有时也说成x)在点x0具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式，常见的有 f(xo)=lim-f(xo) h-0 f(xo)=lim f(x)-f(xo) x->X0 x-X0 在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函 数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果极限1imf+A-f不存在，就说函数在点o处不可导. Ax->0 △x 如果不可导的原因是由于1imo+A)-f）=0, △x 也往往说函数y=x)在点xo处的导数为无穷大. 如果函数y=x)在开区间I内的每点处都可导，就称函数x)在开区间I内可导，这时，对 于任一x∈L,都对应着x)的一个确定的导数值.这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做 原来函数的导函数、记作上，，杂、或巴. dx
高等数学教案 第二章导数与微分 导函数的定义式： y'=lim fCx+△o)-f)=limx+)-f四 △x h-→0 h f'(xo)与f'(x)之间的关系： 函数x)在点xo处的导数f'(x)就是导函数f'(x)在点x=xo处的函数值，即 fo)=f(x=· 导函数f'(x)简称导数，而f'(xo)是x)在xo处的导数或导数f'(x)在xo处的值. 左右导数：所列极限存在，则定义 )在x,的左导数：f()=imf+-f A0- h 在x的右导数：f)=1im+)-f2 h0+ 如果极限lim 心+)-f存在，则称此极限值为函数在xo的左导数. 如果极限lim f+分-f存在，则称此极限值为函数在x0的右导数。 h-→+0 h 导数与左右导数的关系： f(xo)=A(xo)=f(xo)=A 2.求导数举例 例1.求函数x)=C（C为常数)的导数. 解：f=limf+)-f四=limC-C=0. h-20 即(C)'=0 例2.求fx)=1的导数. 1 11 解：f)=im+小f@-=imx+h立=lim -h=-lim,1 -I h>0 h h->0 h h-0h(x+列)x方0(x+h)xx2 例3.求f(x)=√x的导数. 解：fx)=limf+)-f因=limr+h-正 h 4
高等数学教案 第二章导数与微分 h 1 =lim- -=lim- 0h(Wx+h+√)h,0√x+h+√x2√F 例2.求函数x)=x”(n为正整数)在x=a处的导数 解：f'(@=1imf）-f@=1im”-g=-lim (-+-2+…ta-=a- x→aX-a x-→ax-axa 把以上结果中的a换成x得f"(x)=x,即(c'=x. g0=是=y=. 更一般地，有x'=,其中为常数. 例3.求函数fx)=sinx的导数， 解：f')=lim+)-f因=msin+)-sinx h-0 h-0 h =卿方2cos(x+2sn 2 2 si如饣 =limcos(x+ -=COSX. h->0 2 2 即(sinx)'=cosx. 用类似的方法，可求得(cosx)'=-sinx. 例4.求函数x)=a(a>0,a≠1)的导数. 解：f')=1imf+0-f田=lim-a 70 h h0 h -lima-1 a-1=t @lim h0 h log (1+) 1 = =axIna. logae 特别地有(e)=e. 例5.求函数fx)=log ax(a>0,a≠1)的导数. 解：f)）=limf+）-f因--lim log+月--logx h 净->0 h -limlog,()=Ilimlog()=imlog( h-→0h x Xh->0 5
高等数学教案 第二章导数与微分 1 解：f'(x)=li log ()-loglim1log h0 h -limlog (loga 1 Xh- 即 (logaxY'=-1 xIna 特殊地 血y- (log=,(Iny=I xIna 3.单侧导数： 极限1imc+)-f四存在的充分必要条件是 0 m+的国及m f(x+h)-f(x) 0 h 都存在且相等。 在处的左导数：fo)=1im+月-f国 0- 在处的右导数：f6)=imf+月-f国 h 导数与左右导数的关系： 函数x)在点xo处可导的充分必要条件是左导数左导数f'-(xo)和右导数f'x)都存在且相等 如果函数x)在开区间(a,b)内可导，且右导数f'(a)和左导数f'(b)都存在，就说x)有闭 区间[a,b]上可导. 例6.求函数fx)=x在x=0处的导数. 解：fg0=limf0+)-f0=imh=-l, h30 5 h-0-h (lim()=lim 1， 30 h-0+h 因为f'(0)≠f,(0),所以函数x)=州在x=0处不可导. 6
高等数学教案 第二章导数与微分 三、导数的几何意义 函数y=fx)在点xo处的导数f'(xo)在几何上表示曲线y=x)在点Mxo,xo)》处的切线的斜率， 即 f'(xo)=tan a, 其中aα是切线的倾角 如果y=x)在点xo处的导数为无穷大，这时曲线y=x)的割线以垂直于x轴的直线x=xo 为极限位置，即曲线y=fx)在点M(xo,fxo)处具有垂直于x轴的切线x=xo.: 由直线的点斜式方程，可知曲线y=x)在点M(xo,yo)处的切线方程为 y-yo=f'(xo)x-xo)】 过切点Mxo,yo)且与切线垂直的直线叫做曲线y=x)在点M处的法线如果 f'(o≠0，法线的斜率为一、，从而法线方程为 f'(x)1 y-%=fx-0. 例8.求等边双曲线y=在点(，2)处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法 线方程 解，广=是，所求切线及法线的斜率分别为 与=(0号4，=子 所求切线方程为y-2=4x-),即4+y40. 所求法线方程为y-2=(x-),即2x-8+15=0. 例9求曲线y=√x的通过点(0，-4)的切线方程. 解设切点的横坐标为xo,则切线的斜率为 于是所求切线的方程可设为 7
高等数学教案 第二章导数与微分 y-x=x) 根据题目要求，点(0，-4)在切线上，因此 -46=3x0-, 解之得x0=4.于是所求切线的方程为 y-4W4=3V4x-4,即3x-y4=0. 四、函数的可导性与连续性的关系 设函数y)在点o处可导，即imA=f)存在.则 Ar-→0△x lim△y=lim △r0 △y.△x=lim △x0△x Ay.lim Ax=f(xo)-0=0. △r0△X△x0 这就是说，函数y=)在点x0处是连续的.所以，如果函数y=x)在点x处可导，则函数在该 点必连续。 另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导. 例7.函数f(x)=在区间(-0，+o)内连续，但在点x=0处不可导.这是因为函数在点 x=0处导数为无穷大 lim+分-fo=ilim -0=+0. h→0 h h0 h 小记：从导数几何意义知道，若导数存在，则其值等于曲线在该点处的切线斜率。但要注意， 若不可导，不能说明在该点无切线，例如f(x)=√x在x=0处连续，但不可导，而从割线的极限位 置来看，曲线在x=O对应的点处切线是存在的，其切线为y轴。 8