第二节、函数的求导法则④ 基本概念 本节主要学习：函数的加、减、乘、除、复合运算 以及反函数的求导法则运用这些求导法则推导出初等④④ 函数的导数公式④ 、 定理与性质 1.函数的加、减、乘、除求导法则
一、 基本概念 第二节、函数的求导法则 本节主要学习：函数的加、减、乘、除、复合运算 以及反函数的求导法则. 运用这些求导法则推导出初等 函数的导数公式 二、 定理与性质 1. 函数的加、减、乘、除求导法则
如果函数(x),v(x)在点x处可导，《则它们 的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导，并且 0④ (1)[(x)±v(x)'=u'()±v'(x)；W (2)[(x)·v(x)'=u'(x)v(x)+u(x)p'(x); c 3 (v(x)≠0). v2(x)
的和、差、积、商(分母不为零)在 点 x处也可导, 并 且 (1)[u(x) v(x)] = u (x) v (x); (2)[u(x) v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x); ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) (3)[ 2 − = v x v x u x v x u x v x v x u x 如果函数u(x), v(x)在 点 x处可导, 则它们
例如：求tanx的导数 (tanxy=(sinxy COSX (sin x)'cos x-sin x(cosx) cos2 x cosx+sinscc cos2x cos2x 即(tanx)'=sec2x. (secx)'= sinx =secxtanx (cscx)'=-cscxcotx.④
) cos sin (tan ) = ( x x x x x x x x 2 cos (sin ) cos − sin (cos ) = x x x 2 2 2 cos cos + sin = x x 2 2 sec cos 1 = = (tan ) sec . 2 即 x = x (cot ) csc . 2 同理可得 x = − x x x x x x sec tan cos sin (sec ) 2 = = (csc x) = − csc x cot x. 例如：求tan x 的导数
2.反函数的求导法则④ 如果函数y=f(x)在区间I.内单调可导，并且f'(x)≠0④ 那末它的反函)x=p(y)在对应区间I,内也单调可导， 且有 dx 1 1 dy dy 即9= dx 例如求函数arcsin x的导数 函数y=arcsinx的反函数x=siny.y∈(- 少1 1 dx dx cos y V1-sin2y v1-x2 dy
2. 反函数的求导法则 那末它的反函 . ( ) 1 ( ) f x y 即 = dx dy dy dx 1 且有 = 如果函数 y = f ( x) 在区间 x I 内单调可导， x = ( y) 在对应区间 y I 内也单调可导， 例如 求函数arcsin x 的导数. 函数 y = arcsin x 的反函数x = sin y ， ) 2 , 2 ( y − y dy dx dx dy cos 1 1 = = 2 2 1 1 1 sin 1 y − x = − = 并且 f ( x) 0
同理 amwy-安 1 (arctan x)- 4e (arccot xy--1 1 x20
2 1 1 (arcsin ) x x − = . 1 1 (arccos ) 2 x x − 同理 = − ; 1 1 (arctan ) 2 x x + = . 1 1 (arccot ) 2 x x + = −
3.复合函数的求导法则④ 如果函数u=p(x)在点x可导而y=f(W)在点Q 4=p(x)可导则复合函数y=fp(x)在点x,可导y 且其导数为 砂 d 即 =fa,)p'x,)t
3. 复合函数的求导法则 ( ) , 如果函数u = x 在点 x0可导 ( ) , u0 = x0 可导 [ ( )] , 则复合函数 y = f x 在点x0可导 且其导数为 ( ) ( ) 0 0 0 f u x dx dy x x = 即 = 0 0 0 x x u u x x dx du du dy dx dy = = = = 而y = f (u)在点
推广Q设y=f(四，u=p(y),v=yw(x)可导， 则复合函数y=f{o[yw(x)}可导其导数为 y2( d 血杰-fo以 例如 求)sinx2;(2)sin2x的导数W 1) sinx2=sinu,u=x2 d(sinx2)d(sinu)d(x2) dx du d =c0sW·2x=2xc0sx2
推广 设 y = f (u), u = (v), v =(x)可导, 其导数为 dx dv dv du du dy dx dy = 则复合函数 y = f{[(x)]}可导, = f (u)(v)(x). 1 sin ; (2)sin . 例如 求（） x 2 2 x 的导数 2 2 （1） sin x = sin u, u = x dx d x du d u dx d(sin x ) (sin ) ( ) 2 2 = 2 = cosu 2x = 2xcos x
(2) sin2x=u2,u=sinx d(sin2x)d(u2)d(sinx) dx du dx =2u.cosx=2sin xcosx=sin2x
(2) sin x u , u sin x 2 2 = = dx d x du d u dx d(sin x) ( ) (sin ) 2 2 = = 2u cos x = 2sin xcos x = sin 2x
三、课前思考问题 1. 推导cotx,secx,cscx的导数 2. 推导arctanx,arccotx的导数 3.求sinx·sin"x的导数W 4.求In(x+√x2+a2)的导数
三、 课前思考问题 1. 推导cot x, sec x, csc x 的导数 2. 推导arctan x, arccot x 的导数 3. 求 nx x n sin sin 的导数 4. 求ln( ) 2 2 x + x + a 的导数