高等数学教案 第一章函数与极限 第二节 数列的极限 教学内容：数列的极限 教学目标：掌握数列的定义，极限以及性质 教学重点：数列极限的概念 教学难点：数列极限&N定义以及应用 教学方法：新课讲授法 作 业：p301 教学过程 一、如可用渐近的方程法求圆的面积？ 设有一圆，首先作内接正四边形，它的面积记为A:再作内接正八边形，它的面积记为： 再作内接正十六边形，它的面积记为4：如此下去，每次边数加倍，一般把内接正8×2-边 形的面积记为A。,这样就得到一系列内接正多边形的面积：A,压，A,······,A··, 设想n无限增大（记为n→，读作n趋于穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这 个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时A也无限接近于某一确定的数值，这个确定的 数值就理解为圆的面积.这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列）A小，A,A, ···,A,··,当n0时的极限 二、数列的概念： 如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n有一个确定的数x，则得到一列有次序的 数，应，指，···，X,·· 这一列有次序的数就叫做数列，记为{x},其中第n项x叫做数列的一般项. 数列的例子： 片分景是… (2:2,4,8,···,2,·· 分分京g,分，… 1 (-1)+:1,-1,1,···,(-1)+,··· +:2分，+P
高等数学教案 第一章函数与极限 它们的般项张次为1，名，士，（←1+，+二 n 数列的几何意义：数列{x}可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点：，西，和，···， Xn,···, 数列与函数：数列(x}可以看作自变量为正整数n的函数： x=f (n), 它的定义域是全体正整数 数列的极限： 数列的极限的通俗定义：对于数列{x},如果当n无限增大时，数列的一般项x无限地接近 于某一确定的数值a,则称常数a是数列{x}的极限，或称数列{x}收敛a.记为limx=a. 2)0 如果数列没有极限，就说数列是发散的， 例如 m=,m之=0，m”+-1; B-2n 而(2，((-1)+，是发散的. 对无限接近的刻划： x无限接近于a等价于x-a|无限接近于0， 极限的精确定义： 定义如果数列{x}与常a有下列关系：对于任意给定的正数ε不论它多么小，总存在正 整数V,使得对于n>W时的一切x,不等式 x-a 0,3WeN,当DW时，有|x-a<e. 数列极限的几何解释： 三、例题： 例1.证明1imn+y-=1」 月→0 分折：x-1=+P-非片 n 2
高等数学教案 第一章函数与极限 对于V0,要使x-1号 证明：因为Ve>0,3N=[∈N,当DN时，有 Ix-1=+1非上0,3N=哈-∈N,当心N时，有 lk0哈咔， '(n+102 所以1im。 -1) n∞(n+1)2 =0 例3.设gK1,证明等比数列 1,9,9,…,g, 的极限是0. 分析：对于任意给定的ε>0，要使 kw0=曰g-0=l"-k6, 只要>log6+1就可以了，故可取N=logg6+1]。 证明：因为对于任意给定的e>0,存在WN=[log6+1], 当>N时，有 |g1-0=lgl10，存在充分大的正整数水 2 使当>W时，同时有 3
高等数学教案 第一章函数与极限 1x-a牛 2 2 这是不可能的.所以只能有b 数列的有界性：对于数列{xm},如果存在着正数M,使得对一切x都满足不等式|x≤M 则称数列{x}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列 {x是无界的 定理2（收敛数列的有界性）如果数列{x}收敛，那么数列{x}一定有界. 证明：设数列{x}收敛，且收敛于a,根据数列极限的定义，对于=1，存在正整数水使对 于>W时的一切x。,不等式 |x-aN时， =(x -a)+a s x-a+a0(或xa-220. 推论如果数列{x}从某项起有x≥0（或x≤0），且数列{x}收敛于a那么20（或≤0）. 证明就x≥0情形证明.设数列{x}从M项起，即当心W时有x≥0.现在用反证法证明，或 a<0,则由定理3知，3N2eN,当少N:时，有x<0.取仁max{V,W2},当DN时，按假定 有xn≥0，按定理3有x<0,这引起矛盾.所以必有a≥0. 子数列：在数列{x}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到 的一个数列称为原数列{x}的子数列. 4
高等数学教案 第一章函数与极限 例如，数列{x:1,-1,1,-1,··,(-1)+.·的一子数列为{：-1，-1，-1，··，(-1)2 定理4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列{x}收敛于a,那么它的任一子数列也收 敛，且极限也是a, 证明：设数列{x}是数列(x}的任一子数列. 因为数列{x}收敛于a所以H>0,eN,当心W时，有x-<· 取水则当K时，n之N于是xm-a<· 这就证明了mx4=a 讨论： 1.对于某一正数o如果存在正整数W使得当少N时，有x-a<o.是否有x→a(n 00）. 2.如果数列{x}收敛，那么数列{x}一定有界.发散的数列是否一定无界？有界的数列是否 收敛？ 3.数列的子数列如果发散，原数列是否发散？数列的两个子数列收敛，但其极限不同，原 数列的收敛性如何？发散的数列的子数列都发散吗？ 4.如何判断数列1，-1,1，-1，·，，(（-1)4，··是发散的？