高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 第七节曲率 教学内容： 1、弧微分： 2、曲率及计算公式： 3、曲率圆与曲率半径。 教学目标： 1、理解弧微分公式： 2、掌握曲率及计算公式： 3、深刻理解曲率圆与曲率半径。 教学重点： 弧微分；曲率及计算公式：曲率圆与曲率半径。 教学难点： 弧微分；曲率及计算公式：曲率圆与曲率半径。 教学方法：讲练结合教学法 作 业：7m1,2,3,4,5. 教学过程： 一、弧微分 设函数x)在区间(a,b)内具有连续导数.在曲线y=x)上取固定点Mo(xo,y)作为度量弧 长的基点，并规定依x增大的方向作为曲线的正向.对曲线上任一点M(x,y),规定有向弧段 M。M的值s(简称为弧s)如下：s的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段M。M的方向与 曲线的正向一致时s>0,相反时s<0.显然，弧s=M。M是x的函数：s=sx),而且sx)是x的单 调增加函数.下面来求s(x)的导数及微分 设x,△x为(a,b)内两个邻近的点，它们在曲线=x)上的对应点为M,N,并设对应于x 的增量△x,弧s的增量为△s,于是
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 MN 因为lim IMNI lim lMN=l,又im x0MNI NM MN Ar0△x 因此 士+y”. dx 由于=s)是单调增加函数，从而虫>0，=√+y户.于是=+y产k.这就是弧微分公 dx dx 式 因为当△x0时，△~MN,△x又△s与同号，所以 ds=lim A5 =lim -+0- dAr0△xAr0|△rl 因此 ds=+y'2dx, 这就是弧微分公式. 二、曲率及其计算公式 曲线弯曲程度的直观描述： 设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点M。作为度量弧s的基点.设曲线上点M对 应于弧s,在点M处切线的倾角为，曲线上另外一点N对应于弧s+△s,在点N处切线的倾 角为a+△a 我们用比值Ag 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段MN的平均弯曲程 △s 度 记F=AaL 称下为弧段MN的平均曲率. AS 记K=lim △a 4s-0△s? 称K为曲线C在点M处的曲率. 在m怨=密存在的条作下，K- 曲率的计算公式： 设曲线的直角坐标方程是=x),且x)具有二阶导数（这时'(x)连续，从而曲线是光滑 的).因为tan a=)',所以 sec-a da=y"dx, 2
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 dk= p" sec2a +ana=中y. 又知d=√1+y2k,从而得曲率的计算公式 K快 例1.计算直线y=ax+b上任一点的曲率。 例2.计算半径为R的圆上任一点的曲率， 讨论： 1.计算直线=ax+b上任一点的曲率 提示：设直线方程为=+b,则y=a,y"=0.于是K=0. 2.若曲线的参数方程为x=(0),y=)给，那么曲率如何计算？ 提示：k=lp'0w"0-p'0w0 [02(t)+w2(t)F2 3.计算半径为R的圆上任一点的曲率， 提示：圆的参数方程为x=R cos 1,,=R sin t. 例1.计算等双曲线xy=1在点(1,1)处的曲率. 解：由y士，得y=京，广是因此y儿l,y2曲线g在点1必 的曲率为 2 12 0+y2)00+-02=2=2 例4抛物线)y=ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大？ 解：由)y=ax2+bx+c,得 y'=2ax+b,y"=2a, 代入曲率公式，得 2a K-[+2ax+b 显然，当2ax+b-0时曲率最大 曲率最大时，一品云，对应的点为抛物线的顶点.因此，抛物线在顶点处的曲率最大， 最大曲率为K=2d. 三、曲率圆与曲率半径 设曲线在点Mx,y)处的曲率为K(K0).在点M处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点 D,使DM=K=P.以D为圆心，ρ为半径作圆，这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆，曲率圆 3
高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心，曲率圆的半径p叫做曲线在点M处的曲率半径. 设曲线在点M处的曲率为K(K≠O),在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为 p=K1的圆，则这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆，其圆心叫做曲率中心，其半径ρ叫做曲 率半径。 曲线在点M处的曲率K(K0)与曲线在点M处的曲率半径p有如下关系： p=太，K=2 p 例3设工件表面的截线为抛物线-0.4x2.现在要用砂轮磨削其内表面.问用直径多大 的砂轮才比较合适？ 解砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 y=0.8x,y"=0.8, yk-0=0,y"10=0.8. 把它们代入曲率公式，得 K=- y"1 +y2=0.8. 抛物线顶点处的曲率半径为 K=1.25. 所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.50单位长