高等数学教案 第七章微分方程 第七节常系数齐次线性微分方程 教学内容：二阶常系数线性微分方程的求解方法 教学目标：熟练掌握二阶常系数线性微分方程的求解方法 教学重点：二阶常系数线性微分方程的求解方法 教学难点：有一对共轭复根时的通解形式 教学方法：讲练结合 作业：P3401(3),(6),(10):2(2),(3),(6):3 教学过程： 我们先讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法，再把二阶的方程推广到阶方程。 一、二阶常系数线性微分方程的定义及其性质： (一)相关定义：定义1.二阶常系数齐次线性微分方程、二阶变系数齐次线性微分 方程：在二阶齐次线性微分方程y"+P(x)y'+Q(x)y=0中，如果y、y的系数 P(x以Q(x)均为常数，即形如y”+py'+qy=0(P,9为常数)的方程称为二 阶常系数齐次线性微分方程，如果P(x)Q(x)不全为常数，则称 y"+P(x)y'+Q(x)y=0为二阶变系数齐次线性微分方程。 对应着上节我们学习的齐次线性微分方程解的叠加原理定理，对于常系数的齐次线性微 分方程我们仍然有这样的定理： 定理1（二阶常系数齐次线性微分方程解的叠加原理）如果函数y,y2是二阶齐次线 性常系数微分方程y”+py'+qy=0的两个解，那么函数 y=Cy,+C2y2(C1,C2为任意常数)也是该方程的解，并且当y1,y2线性无关时，函数 y=Cy,+C2y2就是该方程的通解。 证明：（略）。 定义2.特征方程、特征根： 设p,9是常数，关于P的一元二次方程r2+pr+q=0称为二阶常系数齐次线性 微分方程y”+Py'+9y=0的特征方程，它的两个根，2称为该二阶常系数齐次线 性微分方程的特征根。 二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法： (一)解法步骤： 第一步：写出微分方程y”+py'+9y=0(p,q为常数)的特征方程
高等数学教案 第七章微分方程 r2+pr+q=0: 第二步：求出特征方程的两个根：片，： 第三步：按下表写出其通解： 特征方程的根 通解形式 两个不等的实根：片≠2 y=Ce+C,e 两个相等的实根：片=r= y=(C+C2x)e 一对共轭复根：i2=a土p y=e“(Ccos+C,sin) (二)举例应用： 例1.求方程y"-4y'=0的通解。 解：该方程的特征方程为：r2-4r=0,解得特征根为：片=0,52=4， 所以，其通解为：y=C,+C,e4r(C1,C2为任意常数)。 例2.求方程y”-9y'+9y=0的通解。 解：该方程的特征方程为：2-6r+9=0,解得特征根为：5=5=3， 所以，其通解为：y=(C,+C2x)ex(C,C,为任意常数)。 例3.求方程y”+4y'+13y=0的通解。 解：该方程的特征方程为：2+4r+13=0,解得特征根为：r=一2±3i, 所以，其通解为：y=(4cos3x+A,sin3x)e2x,(4,A为任意常数)。 例4.求方程y”-4y'+3y=0满足初始条件 y(0)=6 的特解。 y'(0)=10 解：该方程的特征方程为：r2-4r+3=0,解得特征根为：片=1,52=3， 其通解为：y=C,e+C,e3x且y'=C,e+3C,e3x。 y(0)=C1+C2=6 C1=4 又由初始条件 解得： y'(0)=C1+3C2=10 C2=2 所以，所求特解为y=4e+2e3r 三、n阶常系数齐次线性微分方程： (一)相关定义： n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是 ym+p,ym-+p2y-2)++P-y+Pny=0(*)（p1,P2,P都是常数)。 2
高等数学教案 第七章微分方程 有时我们用记号D(微分算子)表示对x求导的运算，把少记作Dy dx 把"2记作D"y,并把方程(*)记作：(D”+pD++pD+P.y=0(*) d 记：L(D)=D”+P,D++Pn-D+Pn叫微分算子D的n次多项式。于是，方程 (*)可以记作L(D)y=0。 这里，r”+P,r+…+P-r+Pn=0是微分方程的特征方程，且可以验证y=e 就是(*)的一个解。 根据特征方程的根，可以写出其对应微分方程的解如下： 特征方程的根 微分方程通解中的对应项 单实根r 给出一项：Ce 一对单复根 1,2=a±Bi 给出两项：e“(C cos Bx+C2sinx) k重实根r 给出k项：em(C,+C2x++C4x-l) 一对k重复根 给出2k项： 八，2=a±Bi e[(C +Cx+...+Cx)cos+(D+Dx+...+Dx)sin 这样就得到n阶常系数齐次线性微分方程通解：y=Cy+C2y2++Cnyn。 (二)应用举例： 例5.求方程y④-2y"+5y"=0的通解。 解：微分方程的特征方程为：r4-2r3+5r2=0,特征根为： 1=52=0 3.4=1±2i 所给微分方程的通解：y=C1+C2x+e(C3cos2x+C4sin2x)。 例6求微分方宏+0=0的适银，共中月20. 解：这里的特征方程为r4+B4=0, 由于r4+B4=r4+2r2B2+B4-2r2B2=(r2+B2)2-2r2B2 =2+B2+V2rB)(2+B2-V2rB)-0
高等数学教案 第七章微分方程 1.2= (1±i) 所以特征方程的根： V2 B 34 √ -(1±) 因此，方程的通解为： o=e万(C,cos 你 +e(C,cos +C2 sin +Ca sin 2 四、本节小结： 本节的主要内容是二阶常系数线性微分方程的定义及其性质和二阶常系数齐次线性 微分方程的解法。 4