高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 第三讲全微分 教学内容：全微分的定义，全微分存在的充分条件和必要条件。 教学目标：深刻理解全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。 教学重点：可微与偏导数存在之间的关系，多元函数的全微分。 教学难点：计算多元函数的全微分。 教学方法：新课讲授法 作业：p751,2,3,4,5. 教学过程： 一、全微分的定义 回顾一元函数的微分的概念 我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相 对于该自变量的变化率.根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得 f(x+△x,y)-f(x,y)≈f(x,y)△x, f(x,y+△y)-f(x,y)≈f(x,y)△y 上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的偏增量，而右端分别叫做二元函数对x和对 y的偏微分 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域内有定义，并设P'(x+△x,y+△y)为这邻 域内的任意一点，则称这两点的函数值之差f(x+△x,y+△y)-f(x,y)为函数在点P对应 于自变量增量△x、△y的全增量，记作△z,即 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) (1) 一般说来，计算全增量△z比较复杂.与一元函数的情形一样，我们希望用自变量的增 量△x、△y的线性函数来近似的代替函数的全增量△z,从而引入如下定义 定义如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)的全增量 △z=f(x+△x,y+Ay)-f(x,y) 可表示为 △z=A△r+B△y+o(p), (2)
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 其中A、B不依赖于△x、△y而仅与x、y有关，p=V(△x)子+(A)2,则称函数 z=f(x,y)在点P(x,y)可微分，而A△x+B△y称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的全微 分，记作dz,即d2=A△x+B△y. 在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在该点 连续.但是，如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分，由(2)式可得lim△z=0, D 从而 lim(x+△x,y+△y)=lim[(x,y)+△z]=f(x,y). △r0 △00 △0 因此，函数z=f(x,y)在点P(x,y)处连续. 下面讨论函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分的条件. 定理1（必要条件）如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分，则该函数在点P(x,y) 的偏导数空、三必定存在，且函数z=fx,)在点Px,)的全微分为 _Oz Ax+ dz oz by (3) 证设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.于是，P'(x+△x,y+△y)∈U(P),(2) 式总成立.特别当△y=0时(2)式也应成立，这时p=△x|,所以(2)式成为 f(x+△x,y)-f(x,y)=A·△x+o(I△xD· 上式两边各除以△x,再令△x→0而取极限，就得 lim f(x+△，)-fx,2=A, K+0 △x 从而偏导数 产存在且等于A.同理可证=B.所以(3》式成立.证毕。 C Cy 我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件.但对于多元函数来 说，情形就不同了.当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出 △y,但 az△x+ 它与△z之差并不一定是较P高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分.换句话说，各 2
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.例如，函数 x2+y2≠0， z=f(x,y) x2+y2 0. x2+y2=0 在点P(0,0)处有f(0,0)=0及f(0,0)=0,所以 △z-[f(0,0)·△x+f(0,0)·△y] △x·Ay V(A)2+(4)2 如果考虑点P'(x+△x,y+△y)沿着直线y=x趋于P(0,0),则 △x·△y V(④)2+(Ay)2 △x·△y △x·△x1 P (Ax)2+(Ay)2(△x)2+(△2 这表示p→0时，△z-[f(0,0)·△x+f(0,0)△y]并不是较p高阶的无穷小，因此函数在 点P(0,0)处的全微分并不存在，即函数在点P(0,0)处是不可微分的 由定理1及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件.但是，如 果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下面定理. 定理2（充分条件）如果函数：=fK,)的偏导数产、产在点Px,)逢铁，则函 数在该点可微分， 证我们只讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定偏导数在 点P(x,y)连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思（以后凡说到偏导数在 某一点连续均应如此理解).设点P(x+△x,y+△y)为这邻域内任意一点，考察函数的全增 量 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =[f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y+Ay)]+[f(x,y+Ay)-f(x,y)] 应用拉格朗日中值定理，得到 △2=f(x+△x,y+△y)-f(x,y+Ay)△r=f(x+△x,y+△y) (0<0<1) 3
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 又假设f(x,y)在点P(x,y)连续，所以上式可写为 f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)=f(x,y)△x+E,△x (4) 其中6，为△x、△y的函数，且当△x→0，△y→0时，6→0. 同理可证第二个方括号内的表达式可写为 f(x,y+Ay)-f(x,y)=f(x,y)Ay+Ay, (5) 其中6，为△y的函数，且当△y→0时，62→0. 由(4)、(5)式可见，在偏导数连续的假定下，全增量△z可以表示为 △2=f(x,y)Ax+f,(x,y)Ay+Er+E2Ay· (6) 容易看出 6,△r+82Ay ≤el+lel, 它是随着△x→0，△y→0即p→0而趋于零. 这就证明了z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的. 以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广到 三元和三元以上的多元函数， 习惯上，我们将自变量的增量△x、△y分别记作dk、少，并分别称为自变量x、y的 微分.这样，函数z=(x,y)的全微分就可以写为 oz dy dx+ (7) 8x 我们称 82 。二d与二少分别为函数z=f(x,y)对自变量x、y的偏微分，那么二 O dy 元函数的全微分等于它的两个偏微分之和，这一结论也称为二元函数的微分符合叠加原 理.叠加原理也适用于二元以上的函数.如果三元函数u=(x,y,z)可以微分，那么它的 全微分就等于它的三个偏微分之和，即 du aud也· ax dy
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 例1计算函数z=e”在点(2,1)处的全微分. 解因为 82 =ye & =xet Ox oy 02 -e2, 0z =2e2, ax刘 所以 dz =e'dx+2e'dy 例2计算函数u=x+sim+e严的全微分。 2 解因为 ou =1, +ze Ou Ox ay 2 2 ye*, 1 所以 dl=dk+(与cos s+ze)dy +ye"de. 2 ※二、全微分在近似计算中的应用 只简要介绍 当二元函数f(x,y)在点(x,y)的两个偏导数f(x,y),f,(x,y)连续，并且△，△y都 较小时，有近似等式 △2≈dz=f(x,y)d+f(x,y)dy 上式也可以写成 f(x+△x,y+△y)≈f(x,y)+f(x,y)+f(x,y)d少 与一元函数的情形类似，我们可以利用这两式对二元函数做计算和误差估计。 小结：本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点）全微分的定 义、存在条件和求法， 5
