高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 第五节对坐标的曲面积分 教学内容：有向曲面及曲面元素的投影： 对坐标的曲面积分的概念与性质： 对坐标的曲面积分的计算法 两类曲面积分之间联系。 教学目标：理解对坐标的曲面积分的概念和性质， 掌握对坐标的曲面积分的计算方法 了解两类曲面积分之间联系。 教学重点：对坐标的曲面积分的计算方法 教学难点：有向曲面及曲面元素的投影 对坐标的曲面积分的计算法 教学方法：讲授 作 业：课后习题 教学过程： 一、有向曲面及曲面元素的投影 有向曲面：通常我们遇到的曲面都是双侧的.例如由方程=z(x)表示的曲面分为上 侧与下侧.设n=(cosa,cosB,cos)为曲面上的法向量，在曲面的上侧cos>0,在曲面的下 侧cos火0.闭曲面有内侧与外侧之分.类似地，如果曲面的方程为=r(乙，，则曲面分为左 侧与右侧，在曲面的右侧cos公0，在曲面的左侧cos及0.如果曲面的方程为仁x(y),则 曲面分为前侧与后侧，在曲面的前侧cosa心0，在曲面的后侧cos0 (△S)y (△O)y cosy<0, 0 coSy≡0 其中cos=0也就是（△σ），=0的情形.类似地可以定义△S在yOz面及在zOx面上的投影（△S)x 及（△S. 二、对坐标的曲面积分的概念与性质 1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x2)=(P八x八2)），Q(x2),R(xyz)） 给出，Σ是速度场中的一片有向曲面，函数P(xy2)、Q(x,)、R(xy2）都在Σ上连 续，求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量，即流量Φ
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 分析：如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域，且流体在这闭区域上各点处的流速 为（常向量）？又设为该平面的单位法向量，那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成 一个底面积为A、斜高为的斜柱体 当(g)=6号时，4心，这时我们仍把n称为流体通过闭区城A流向n所指一侧的 流量，它表示流体通过闭区域A实际上流向-n所指一侧，且流向-n所指一侧的流量为-Arn. 因此，不论(g)为何值，流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均为An, 对一般的有向曲面∑，对稳定流动的不可压缩流体的 速度场v=(P(x,y,z),Q(x,y,z)R(x,y,z) 用“大化小，常代变，近似和，取极限” 把曲面Σ分成n小块：△S,△S,··,△S(△S同时也代表第i小块曲面的面积).在Σ 是光滑的和v是连续的前提下，只要△S的直径很小，我们就可以用△S上任一点(5，，G) 处的流速 =v(5,1,5)=P八5,75)i+Q5,7,5）j升R(5,7,5)k 代替△S上其它各点处的流速，以该点(5，，5)处曲面Σ的单位法向量 n=cosa i+CosB,产cosyk代替AS上其它各点处的单位法向量.从而得通过△S,流向指定侧的流量 的近似值为n△S,(=1,2,···,d 于是，通过Σ流向指定侧的流量D≈yAS, i=l -P()cosa,+O(5)cosB+R(56)cosy1AS. i=1 但 cosar△S≈(AS)W,cosB△S≈（△S）m,cos△S≈（△S)w, 故中≈∑P(5,,5)AS)z+Q(5,,5)AS,)zx+R(5,1,5i)AS)]; i= 令入→0取上述和的极限，就得到流量Φ的精确值这样的极限还会在其它问题中遇到.抽去 具体意义，就得出对坐标的曲面积分的概念 提示：把△S,看成是一小块平面，其法线向量为，则通过△S流向指定侧的流量近似地 等于一个斜柱体的体积。 此斜柱体的斜高为v,高为cos(,n)=rn,体积为rn△S. 因为n=cosa,i+C0sB:升cos为k 2
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 v=v(5,7,5)=P(5,n,5)i+Q5,,G)j升R(5,,5)k rn△S=[P八5,7，S）cosa+Q(5,7,S）cosB+R5,,5)cosY]△S, 公 cosarAS≈（△S）a,cosBrAS≈(AS）r,cosyrAS≈(AS)r, 所以VrnAS≈P(5,n,5)(△S)+Q(5,7S)(△S》+R(5,,S）(△S》w. 对于Σ上的一个小块o,显然在△t时间内流过σ的是一个弯曲的柱体.它的体积近似于 以o为底，而高为(M△t)cos(gn)=n△t 的柱体的体积：V.nA tA.S,这里=(cosa,cosB,cos是o上的单位法向量，△S表示o的面 积.所以单位时间内流向σ指定侧的流体的质量近似于AS(P(xy2)cos叶Qx乃， z)cosB+(xyz)cosy)△S.如果把曲面∑分成n小块G(=1,2,···,n),单位时 间内流向Σ指定侧的流体的质量近似于 u≈∑{P(x,z)Cosa%+Qx,y,z)cosB+R(x,y,z)cosY}△S. i= 按对面积的曲面积分的定义， =P(x,y,2)cosa+Q(xy,z)cosB+R(x,y,z)cosyidS=[V.ndS 抽去流体物理内容，我们抽象出对坐标的曲面积分的概念 定义设Σ为光滑的有向曲面，函数R(x5z)在Σ上有界.把Σ任意分成n块小曲面 △S,(△S同时也代表第i小块曲面的面积).在xOy面上的投影为（△S),(5,7,5)是△S 上任意取定的一点.如果当各小块曲面的直径的最大值无0时.m之RG,,5AS →0 总存在，则称此极限为函数R(xy)在有向曲面Σ上对坐标x、y的曲面积分，记作 JRGx.y.Xdxdy [fR(x.y.)ddy-limR.5D)(AS) λ0e 其中(x5z)叫做被积函数，Σ叫做积分曲面类似地 ∬Px,y,z)ddb=Iim∑P5,n,SaS)e 元01 O(x,y.2)dzdx=im5)(A5) 1>0=1 定义设Σ是空间内一个光滑的曲面，=(cosa,cosB,cos)是其上的单位法向量，V(x )=(P(x乃)，Q(x马)，(x乃z)是确在Σ上的向量场.如果下列各式右端的积分 存在，我们定义 Pdvd-P)cosadS. 3
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 d-(cosBdS, RGx,)dbdy-J[RGxy,)cosydS 并称小P(xy2)d边为P在曲面Σ上对坐标人z的曲面积分， 〔e(x,y,2dzk为Q在曲 面Σ上对坐标么x的曲面积分， 川R(x,y,z)kd为R在曲面Σ上对坐标人z的曲面积分 其中PQR叫做被积函数，Σ叫做积分曲面.以上三个积分也称为第二类曲面积分 对坐标的曲面积分的存在性： 出现较多的是 oc.y.xb-R. -P(x.)dyd=+Qx.y.dadk+R(x.y.dd 流向Σ指定侧的流量Φ可表示为 Φ=∬P(x.y.)dvd+-0x,ybdt+Rk,y,zhd 规定：如果Σ是分片光滑的有向曲面，我们规定函数在Σ上对坐标的曲面积分等于函数 在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和， 对坐标的曲面积分的性质： 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质.例如(1)如果把Σ分成Σ： 和2，则 ∬Phdb+eddk+Rdk =J∬Pt+Obi+Rd+j∬Pt+Qb+Rhd (2)设Σ是有向曲面，-Σ表示与Σ取相反侧的有向曲面，则 ∬Pdt+Qdbk+Rhd= Pdydz+Odzdx+Rdxdy - 这是因为如果=(cosa,cosB,cos是Σ的单位法向量，则-∑上的单位法向量是-n=( Cosa,-c0sB,-c0s》 ∬Pddk+Qubk+Rd -Σ --iP(x.y.z)cosa+Q(.y.)cosB+R(x.y.)cosyidS =-∬Ptdk+Oddk+Rhkd
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 二、对坐标的曲面积分的计算法 将曲面积分化为二重积分：设积分曲面Σ由方程=z(x)给出的，∑在xOy面上的投 影区域为D,，函数=z(xy)在D上具有一阶连续偏导数，被积函数(xy)在Σ上连 续，则有 Rxy,zdd=±x,y2x,ykd, 其中当Σ取上侧时，积分前取“+”；当Σ取下侧时，积分前取“-”. 这是因为 R.y.dsdy-im(S) 九0写 当∑取上侧时，cos>0所以（△S)w=(△o).又(5，，5）是∑上的一点，故5=z(5,n）. 从而2R5,54So=2R5,2(5aow i=l 令1→0取极限，就得到 R(x,y,z)dxdy=RIx,y,z(,y)xdy D 同理当Σ取下侧时，有 [[R(x.y,z)dxdy=-[[RIx.y,z(x.y)ldxdy D 因为当卫取上侧时，c0s>0,(△S》=(△o)m.当(5，，）e∑时，=z(5,n).从而 有 [[R(x.y,2)dxdy=lim >R()(AS )y -im)Rx.y.(x)dy D 同理当Σ取下侧时，有 [[R(x.y.z)dxdy=-[[RIx.y,z(x,y)xdy. 这是因为n=(cosa,cosB,cos)=±- 1 1+2+z 5{-2,-2,1}, 1 cosy= V1+2+2 dS=V1+z+z子y, j∬R(x,y.)dvdy=∬Rxy2)cosS=±∬x,yzc,dw, D 如果∑由=x(gz)给出，则有 P(x,y,z)dyd=Px(y,z).y,zldydz. 如果Σ由=y(么给出，则有(x,y,z)tdk=±川gx,(2,x,z水 5
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 说明：如果积分曲面∑取下侧，则 儿R(xy2)dxdy=-八Rx,yzx,)dkdy: 若∑：x=x(y,z),(yz)∈D,则有 儿P(x,y)dd证=±儿P(x,2),y.z)dydz前正后负 例1.计算曲面积分八r2山d+y2dkdk+z2d,其中Σ是长方体Q的整个表面的 外侧，2=(x乃z)|0≤a,0≤心b0≤z公c). 解：把2的上下面分别记为∑和∑；前后面分别记为∑和Σ；左右面分别记为和Σ. ∑：2=c(0≤a,0sb)的上侧；∑：Z=0(0sa,0ssb)的下侧； ∑s:=a(0≤sb,0szc）的前侧；∑：=0(0ssb,0≤zc)的后侧； Σ：=0(0<x≤a0≤z≤c）的左侧.6：=b(0≤x≤a0≤z≤c)的右侧； 除Σ、Σ外，其余四片曲面在yOz面上的投影为零，因此 ∬r4b=hb+∬rdd=r2k-odd=de 类似川y2dkd=bac,川z2d=c2ab于是所求积分为(a+b)abc. 例2计算川zd山，其中Σ是++i1外侧在20,20的部分. 解 把有向曲面Σ分成以下两部分：公，：z=V1-x2-y2(x20,20)的上侧，2： z=-V1-x2-y2(20,20)的下侧. 和∑：在xOy面上的投影区域都是D:X+≤1(20,20) 于是小ad=小ad+ad =小1-r2-严d-j(--2-ydk -2foy-x-ydrdy -2 dofr"sin0cos0-rErdr- 例3.设S是球面x2+y2+z2=1的外侧，计算 I-f2dydzdddxdy xcos2 x cos2y zcos2z 解：利用轮换对称性，有 6
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 [2dydz rr2dxdy crdzdx cdxdy-o xcos2x cos2y cos2 z 1=xd=了 dxdy =4πtanl zcos'z1-x2-y cos1-x2-y2 三、两类曲面积分之间的联系 设积分曲面Σ由方程2=z(x)给出的，Σ在xOy面上的投影区域为D,函数2=z(x, 在D上具有一阶连续偏导数，被积函数(x5)在Σ上连续.如果Σ取上侧，则有 Rx,yzd=∬Rxy2x,kd Do 另一方面，因上述有向曲面Σ的法向量的方向余弦为 -2x -Zy cosa= ，cosB= V1+2+ 1+2+，cosy V1+2+z 故由对面积的曲面积分计算公式有 ..)cos=jxy在hd D 由此可见，有∬R(x,y2td=jR,ycos7aS 如果Σ取下侧，则有小R(xy2d=-J小RLx,y,z(c,d.这时cosy= 1+z+23 因此∬R6x,y2)dkd=R(xyz)cosS, 类似地j∬Px,yzdt=j∬P(x,y,2 cosadS JO(.y.dzd=∬Px,y.)cos/d. 于是有IPdb+Qkdh+Rhd=(Pcos@+-QcosB+-Rcosy)dis, 其中cosa必、cosR、cosy是曲面Σ上点(x,马2)处法向量的方向余弦. 两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式： s=4ns,1= 其中4(PQ0,n=(cosa,cosB,cos》是曲面∑上点(x乃2)处的单位法向量， dS-ndS(dydz,dzdx,dxdy),称为有向曲面元，A,为向量A在向量n上的投影
高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 例4计算曲面积分 ∬e2+xdb-zdd,其中Σ是 曲面z=2+内介丁平面20及2之间的部分的下侧. 解 由两类曲面积分之间的关系，可得 2+dyd=(=2+coscdS-2+x)csa drdy. cosy 在曲面Σ上，提示：曲面上向下的法向量为(xy-1)) +r+,co7++r,=++y -1 cosa=- 故 〔小e2+dbvde-zh=e2+x-d =∬6x2+y2y+x(←x-(x2+y2) r+号r2+产-矿0 f(cwio+rhsr 解法二：由两类曲面积分之间的关系，可得 (+d-dbdy-(+)cosa-zcoslS =,(x2+y2y+x-x2+y2(- x2+y2≤4 =,42+yd+[2+2+ x2+y2≤4 x2+v2≤4 -docrdr 提示：，∬x2+y2yd=0 x2+2<4 8