第三章平面与空间直线 教学目的：掌握并熟练应用平面与空间直线的各种形式的方程以及它们 相互关系的各种解析表示：熟练掌握把各种有关决定平面和直线的几何条件 转换成平面和直线的解析方程的方法：牢记并熟练应用一些计算公式。 3.1平面的方程 教学目的 1、掌握平面的点位式方程和点法式方程的决定条件和求解过程。 2、掌握平面的一般方程形式，理解在直角坐标系下，一般方程中一 次项系数的几何意义。 3、掌握特殊平面的一般方程的特征。 4、掌握平面的一般方程化为法式方程的步骤，理解法式方程中系数 和常数项的几何意义。 教学重点 平面的一般方程形式，理解在直角坐标系下，一般方程中一次项系 数的几何意义。 教学难点 平面的一般方程化为法式方程的步骤，理解法式方程中系数和常数 项的几何意义。 教学内容 1.由平面上一点与平面的方位向量决定的平面方程 在空间给定了一点M。与两个不共线的向量ab,那么通过点M。且与向 量ab平行的平面元就唯一地被确定，向量ab叫做平面元的方位向量，显然 任何一对与平面π平行的不共线向量都可以作为平面π的方位向量。 在空间，取标架Oe,e,8},并设点M的径矢OM.=力，平面π上的 任意一点M的径矢为OM=r(图3-1)
图3-1 显然点M在平面π上的充要条件为向量MoM与a,b共面，因为a,b不共线， 所以这个共面的条件可以写成： MoM=ua+vb, 又因为M,M=r-,所以上式可改写为： r-r=ua+vb 即 r=r+ua+vb, (3.1-1) 方程(3.1-)叫做平面的向量式参数方程，其中4，V为参数. 如果设点M,M的坐标分别为(，，（化，2）那么 ={xo,20},r={x,y,z} 并设 a={X,Y,Z},b={X2,Y2,Z2}, 那么由(3.1-1)得 x=xo+Xu+X2v; y=yo+Yu+rv, z=20+Z4+Z2y (3.1-2) (3.1-2)叫做平面π的坐标式参数方程，其中4，V为参数。 从(.1-)或”-=4a+b两边与a×b作数性积，消去参数“，V得 (r-o,a,b)=0, (3.1-3) 从(3.1-2)消去参数4，V得 x-x0y-y。z-20 X yZ=0, X,Y,Z (3.1-4) (3.1-1)，3.1-2)，(3.1-3)，(3.1-4)都叫做平面的点位式方程
例1 已知不共线三点M,,M,☑M,(,,2,M,(x,)。 求通过M,M,M三点的平面π的方程 解 取平面π的方位向量a=MM,b=MM3,并设点M(c,y,2)为 平面π上的任意上一点（图32），那么 图32 r OM={x,y,z), 5=OM,={x,y,z},(i=1,2,3) a=MM2=5-片={x2-x,y3-,z2-z1}, b=MM3=5-片={x-x,3-M,23-z1} 因此平面π的向量式参数方程为： r=5+M(5-5)+v(5-5) 坐标式参数方程为： x=x+4(x2-x)+(x3-x) y=y+(2-y)+v(y-), 2=z1+4(z2-)+(z3-21 (3.1-6) 从(3.1-5)与3.1-6)分别消去参数4，v得 (r-5,3-5,5-5)=0 (3.1-7) 与 x-x y-y 2-z1 X2-x1 y2-y1 22-z1=0: x3-x1y3-y1z3-z1 (3.1-8) (3.1-8)又可改为
x y z y z =0 y2 Z2 X3 y3 Z3 (3.1-8) 方程3.1-5)-(3.1-8)都叫做平面的三点式方程 作为三点式的特例，如果已知三点为平面与三坐标轴的交点 M,(a0,0,M,0,b,0),M,0,0,c其中abc≠0）（图3-3）， A0.0.c 0..c 阳3-3 那么由3.1-8)得 x-a y z -a b0=0, -a 0 c 把它展开可写成 bcx+acy abz abc, 由于abc≠0，上式可改写为 x+y+2=1, a b c 3.1-9) (仔.1-9)叫做平面的截距式方程，其中a,b,c分别叫做平面在三坐标轴上的截 距 2.平面的一般方程 因为空间任一平面都可以用它上面的一点M,(化，，2)和它的方位向量 a={X,Y,Z,b={X,Y,乙}确定.因而任一平面都可以用方程6.1-4) 表示，把(3.1-4)展开就可写成： Ax+By+Cz+D=0, (3.1-10) 其中
因为A,b不共线，所以A,B,C不全为零，这表明空间任一平面都可以用关于 x,y,2的三元一次方程来表示。 反过来，也可以证明，任一关于变元x,八，2的一次方程(3.1-10)都表示一 个平面.事实上，因为A,B,C不全为零，不失一般性，可设A≠0，那么 (3.1-10)可改写成 4(x+凸+ABy+4C2=0, A 即 D X+ B -A 0 =0, 0 M-P0,0) 显然，它表示由点 A 和两个不共线向量{B,-A,0}和{C,0,-A所 决定的平面，因此我们证明了关于空间中平面的基本定理： 定理3.1.1空间中任一平面的方程都可表示成一个关于变数x,y,2的一 次方程；反过来，每一个关于变数x,,2的一次方程都表示一个平面. 方程(3.1-10)叫做平面的一般方程. 现在来讨论(3.1-10)的几种特殊情况，也就是当(3.1-10)中的某些系 数或常数项等于零时，平面对坐标系来说具有某种特殊位置的情况. 1°D=0,(3.1-10)变为Ax+By+C2=0,此时原点(0,0,0)满足 方程，因此平面通过原点：反过来，如果平面(3.1-10)通过原点，那么显然 有D=0 2°A,B,C中有一为零，例如C=0,(3.1-10)就变为 Ax+By+D=0. 当D≠0时，2轴上的任意(0,0,2)都不满足方程，所以平面与z轴平行：而 当D=0时，z轴上的每一点都满足方程，这时z轴在平面上，即平面通过z 轴，反过来容易知道，当平面(3.1-10)平行于z轴时D≠0，C=0:当 (3.1-10)通过z轴时，D=C=0 对于A=0或B=0的情况，可以得出类似的结论. 因此，由1°与2°我们有： 当且仅当D=0,平面(3.1-10)通过原点
当且仅当D≠0，C=0B=0域A=0),平面(3.1-10)平行于z轴y轴或 x轴)：当且仅当D=0,C=0(B=0或4=0)，平面仔.1-10)通过z轴y轴或 x轴). 3°A,B,C中有两个为零的情况，我们由1°与2°立刻可得下面的结论 当且仅当D≠0，B=C=0(A=C=0或A=B=0),平面6.1-10)平行 于0z坐标平面(xOz面或Oy面)：当且仅当 D=0,B=C=0(A=C=0或A=B=0),平面(3.1-10)即为Oz坐标面 (xOz面或xO少面). 例2 求通过点M,(2,-,)与M,(3,-2,),且平行于z轴的平面的方 程 解 设平行于z轴的平面方程为 Ax+Bv+D=0, 因为它又要通过M,(2,-1,与4,3，-2，，所以有 2A-B+D=0, 3A-2B+D=0, 由上两式得 A:B:D= -111 2.2-1 -21133-2 =1:1:(-1) 所以所求的平面方程为 x+y-1=0. 3. 平面的法式方程 如果在空间给定一点M和一个非零向量n,那么通过点M,且与向量n 垂直的平面也唯一地被确定.我们把与平面垂直的非零向量n叫做平面的法向 量或简称平面的法矢。在空间直角坐标系{O,i,j,?下，设点M。的径矢为 OM。=0,平面元上的任意一点M的径矢为OM=r(图34)， 阁3-4
显然点M在平面π上的充要条件是向量M,M=I-6与n垂直，这个条件可 写成： n(r-)=0. (3.1-11) 如果设n={4,B,C,M(,bM(x,2),那么 %={xo,yo,2o},r={x,y,z}, P-%={x-xo,y-o,z-z0}, 于是3.1-10又可表示成： A(x-x)+B0y-y)+C(z-2)=0. (3.1-12) 方程(3.1-1)与3.1-12)都叫做平面的点法式方程 如果记D=-(M。+B+C2o),那么(6.1-12)即成为 Ax+By+Cz+D=0. 由此可见，在直角坐标系下，平面π的一般方程3.1-10)中一次项系数 A,B,C有简明的几何意义，它们是平面π的一个法向量n的分量。 如果平面上的点Mo特殊地取自原点0向平面π所引垂线的垂足P,而π 的法向量取单位法向量n°，当平面不过原点时，n°的正向取做与向量OP相 同（图3-5）： 图3-5 当平面通过原点时，n”的正向在垂直于平面的两个方向中任意取定一个，设 OP=p, 那么点P的径矢OP=pm°，因此根据仔.1-1山)，由点P和法向量n决定的 平面π的方程为： n°(r-pn)=0, 式中r是平面π上任意点M的径矢，因为n”n°=1，所以上式可写成
n°r-p=0 (3.1-13) (3.1-13)叫做平面的向量式法式方程。 如果设 r=fx,v,z,n=fcosa,cos B,cosy 那么由(3.1-13)得 xcosa+ycosB+zcosy-p=0. (3.1-14) (3.1-14叫做平面的坐标式法方程或简称法式方程. 平面的法式方程(3.1-14)是具有下列两个特征的一种一般方程：(1) 一次项的系数是单位法向量的分量，它们的平方和等于1：(2)因为P是原点 0到平面π的距离，所以常数项p≤0」 根据平面法式方程的两个特征，我们不难把平面的一般方程(3.1一10)， 即Ar+By+Cz+D=0化为平面的法式方程，事实上，n={A,B,C)是平面 的法向量，而r=OM={x,八，2，所以3.1-10)可写成 nr+D=0, (3.1-15) 把6.1-15)与3.1-13)比较可知，只要以 1 = ±n±√A2+B2+C2 乘(3.1-10)就可得法式方程 Ax By Cz D 十 =0, ±VA2+B2+C2±VA2+B2+C2±VA2+B2+C2±VA2+B2+C (3.1-16) 其中元的正负号选取一个，使它满足1D=-p≤0，或者说当D≠0时，取刀 的符号与D异号：当D=0时，元的符号可以任意选取（正的或负的） 我们在前面己指出，在直角坐标系下，平面的一般方程6.1-10)中一次 项的系数A,B,C为平面的一个法向量的分量，在这里我们又看到-D=卫 等于原点到这平面的距离.平面的一般方程3.1-10)乘上取定符号的入以 后，便可得到平面的法式方程(3.1-16)，通过我们称这个变形为方程 (3.1-10)的法式化，而因子 九= ±VA2+B2+C2(在取定符号后) 就叫做法式化因子 例3 已知两点M,仙，-2,3)与M,3,0,-),求线段MM的垂直平
分面兀的方程。 解 因为向量M,M,=2,2,-4=21,山，2}垂直于平面元，所以平面 π的一个法向量为 n={1,1,-2, 所求平面π又通过M,M2的中点M,(2,-),因此平面元的点法式方程 为 (x-2)+(y+1)-2(z-1)=0, 化简整理得所求平面π的方程为 x+y-2z+1=0 例4把平面π的方程3x-2y+6z+14=0化为法式方程，求得原点指向 平面π的单位法向量及其方向余弦，并求原点到平面的距离. 解 因为A=3,B=-2,C=6,D=14>0. 以取法式化因子 1 九= -√4A2+B2+C2-V32+(-22+6 7 1 将已知的一般方程乘上7，即得法式方程： 326 7x+y- 77 2-2=0 °=326 原点指向平面π的单位法向量为 77 cosa=-3。 COS= 6 它的方向余弦为 7 7,原点0到平面π的距离 为P=2
3.2平面与点的相关位置 教学目的 1、掌握空间平面与点的相关位置情形。 2、掌握用向量法定义到平面的距离的条件和公式。 3、了解三元一次不等式的几何意义。 教学重点 空间平面与点的相关位置情形。 教学难点 用向量法定义到平面的距离的条件和公式。 教学内容 空间中平面与点的相关位置，有且只有两种情况，就是点在平面上，或点 不在平面上，点在平面上的条件是点的坐标满足平面的方程.下面我们在直角 坐标系下来讨论点不在平面上的情况. 1. 点与平面间的距离 在求点与平面间的距离之前，我们先引进点关于平面的离差的概念， 定义3.2.1如果自点M。到平面元引垂线，其垂足为Q,那么向量 2M在平面π的单位法向量n°上的射影叫做点M与平面π间的离差，记做 6=射影.OM (3.2-1) 容易看出，空间的点与平面间的离差，当且仅当点M0位于平面π的单位 向量n°所指向的一侧，M,与n°同向（图36），离差δ>0，在平面π的 另一侧，M。与n°方向相反（图37），离差6<0，当且仅当M在平面元 上时，离差δ=0 一 图36 图8-7 显然，离差的绝对值⊙，就是点M,与平面π之间的距离d 定理3.2.1 点M与平面(3.1-13)间的离差为