高等数学教案 第十章重积分 第四节二重积分的应用 教学内容：几何上的应用--平面图形的面积、体积 物理上的应用---平面薄片的重心、转动惯量 教学目标：会用二重积分表示平面图形的面积和几何体的体积并计算： 会用二重积分计算平面薄片的重心、转动惯量。 教学重点：面积、体积、重心、转动惯量的二重积分表示 教学难点：会用重积分计算求一些儿何量和物理量 教学方法：讲授 作业：课后习题 教学过程： 一、元素法的推广： 有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理.这种元素法也可推广到二重积分 的应用中.如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性（就是说，当闭区域D分成许多 小闭区域时，所求量V相应地分成许多部分量，且等于部分量之和)，并且在闭区域D内任 取一个直径很小的闭区域do时，相应的部分量可近似地表示为f代x)do的形式，其中(x )在do内，则称f(x)do为所求量U的元素，记为d,以它为被积表达式，在闭区域D 上积分： U=川f(,)do,这就是所求量的积分表达式. 0 二、曲面的面积 设曲面S由方程=f(x,)给出，D为曲面S在xOy面上的投影区域，函数f(x)在 D上具有连续偏导数￡(x)和f(x).现求曲面的面积A. 在区域D内任取一点P八x),并在区域D内取一包含点P(x,)的小闭区域o,其面积 也记为dc.在曲面S上点M(xyf(x))处做曲面S的切平面T再做以小区域do的边界 曲线为准线、母线平行于z轴的柱面.将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的 小块曲面面积的近似值，记为dA.又设切平面T的法向量与z轴所成的角为y,则 dA=dG=√+(x,)+fx,)do,这就是曲面S的面积元素.于是曲面S的面积为 cosy_ A=小+f)+fx,dG,或A 0z2+( 设dA为曲面S上点M处的面积元素，dA在xOy面上的投影为小闭区域dc,M在xOy面 上的投影为点P(x),因为曲面上点M处的法向量为(-f,-6,1),所以
高等数学教案 第十章重积分 dA=nldo=+(xy)+(x,y)do 提示：dA与xOy面的夹角为(n,^),dAcos(n,)=do, nk=n cos(n,'k)=1,cos(n,k)=n- 讨论：若曲面方程为=g(y,z)或=h(么，)，则曲面的面积如何求？ 4=++t,或A + 其中D是曲面在rOz面上的投影区域，D,是曲面在zOx面上的投影区域. 例1求半径为R的球的表面积， 解上半球面方程为z=√R2-x2-y2,+≤. 因为z对x和对y的偏导数在DX+y≤R上无界，所以上半球面面积不能直接求出.因 此先求在区域0：+≤a(a<0上的部分球面面积，然后取极限. =2πR(R-VR2-a2) 于是上半球面面积为1im2πR(R-√R2-a2)=2πR2. 口→R 整个球面面积为 A=2A=4πR」 提示： -X -y R2-x2-y'列R2-x2-y2' 1+()+(2= R R2-x2-y2 解球面的面积A为上半球面面积的两倍 上半球面的方程为z=√R2-x2-y2,而 -X -V 成R2-x2-y2’0R2-x2-y2 所以 A=2++ 2R-2faof =2∬mR --4rR/R2-pR-4rk2. 例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地面的高度为=36000km,运行的角速度与地 2
高等数学教案 第十章重积分 球自转的角速度相同.试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值（地球半径 R6400km). 解取地心为坐标原点，地心到通讯卫星中心的连线为z轴，建立坐标系.通讯卫星覆 盖的曲面Σ是上半球面被半顶角为a的圆锥面所截得的部分.Σ的方程为z=√R2-x2-y2, x+y≤Ysina. 于是通讯卫星的覆盖面积为 dxdy 其中D={(x)|X+y≤Rsin'a是曲面Σ在xOy面上的投影区域.利用极坐标，得 由于cosa= h代入上式得4=2成0-分-2R期 R R+h 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 A h 36-106 4R22R+历266+6.49105*42.5%. 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔x角度的通 讯卫星就可以覆盖儿乎地球全部表面」 三、质心 设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域D在点P(x)处的面密度为p(x,),假定u(x )在D上连续.现在要求该薄片的质心坐标. 在闭区域D上任取一点P(x,),及包含点P(x)的一直径很小的闭区域do(其面积 也记为do,则平面薄片对x轴和对y轴的力矩（仅考虑大小）元素分别为dM=yu(x)do, dM=xu(x月do. 平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为 M,=yu(x,y)do,M=xu(x.y)do 设平面薄片的质心坐标为(，)，平面薄片的质量为M则有 xM=Mv,M=Mx.于是 [xu(x.yda [yu(x.y)da M M X- M 4xd = M u(x,y)do 在闭区域D上任取包含点P(x,)小的闭区域do(其面积也记为do),则平面薄片对x轴和
高等数学教案 第十章重积分 对y轴的力矩元素分别为 du=yu(x,y)do,dl=xu(x,y)do. 平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为 M=yu(x,ydo,M=da 设平面薄片的质心坐标为（亿，），平面薄片的质量为M则有 x·M=M,M=Mx. ∬r(x,ado Syux.y)da M 于是x= M M u(x,y)do M [u(x.y)da 提示：将P(x)点处的面积元素o看成是包含点P的直径得小的闭区域.D上任取一 点P(x,),及包含的一直径很小的闭区域do(其面积也记为do),则平面薄片对x轴和对y 轴的力矩（仅考虑大小）元素分别为 讨论：如果平面薄片是均匀的，即面密度是常数，则平面薄片的质心（称为形心）如何 求？ Sxdo 求平面图形的形心公式为x=D y=D do D D 例3求位于两圆p-2sin0和p-4sin0之间的均匀薄片的质心. 解因为闭区域D对称于y轴，所以质心C(,)必位于y轴上，于是元=0 因为 da-sinal Sfyda [1o=π22-π12=3m,所以= 7元_1. 所求形心是C0,? n 四、转动惯量 设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域D在点P(x)处的面密度为(x,),假定 p(x,)在D上连续.现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量 在闭区域D上任取一点P八x),及包含点P(x)的一直径很小的闭区域do(其面积 也记为do),则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为dI=y4(x y)do,dl=xu(x,y)do. 整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为 4
高等数学教案 第十章重积分 I,=y2u(x,y)do,I=2u(x.y)da 0 例5求半径为a的均匀半圆薄片（面密度为常量山对于其直径边的转动惯量 解取坐标系如图，则薄片所占闭区域D可表示为 上(x）|+≤a,20 而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量I, I=do-up2sin20-pdpde -ufsin0dofpdp=usin20do 其中M=方02u为半圆湾片的质量 5