高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 第八节多元函数的极值及其求法 教学内容：多元函数极值的定义，多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法。 教学目标：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求 极值方法，并能够解决实际问题.熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值. 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学方法：新课讲授法 作业：p891,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12 教学过程： 一、多元函数的极值及最大值、最小值 1.多元函数的极值 定义设函数z=f(x,y)在点(xo,y。)的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 (x,yo)的点，如果都适合不等式 f(x,y)f(xo,yo)) 则称函数f(x,y)在点(xo,y)有极大值f(x,y)(或极小值f(xo,y)). 极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点： 例1函数z=3x2+4y2在点(0,0)处有极小值.因为对于点(0,0)的任一邻域内异于 (0,0)的点，函数值都为正，而在点(0,0)处的函数值为零.从几何上看这是显然的，因为 点(0,0,0)是开口朝上的椭圆抛物面z=3x2+4y2的顶点. 例2函数z=-√x2+y2在点(0,0)处有极大值.因为在点(0,0)处函数值为零，而对 于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0)的点，函数值都为负，点(0,0,0)是位于xOy平面下方 的锥面z=-Vx2+y2的顶点。 例3函数z=xy在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值.因为在点(0,0)处的 函数值为零，而在点(0,0)的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 定理1（必要条件）设函数z=f(x,y)在点(xo,y)具有偏导数，且在点(xo,yo)处 有极值，则它在该点的偏导数必然为零： f(xo,Yo)=0,f (xo,yo)=0 证不妨设z=f(x,y)在点(x。,y。)处有极大值.依极大值的定义，在点(xo,y。)的某 邻域内异于(x。,y)的点都适合不等式 f(x,y)0时具有极值，且当A0时有极小值； (2)AC-B0,则函数具有极值，且当fx0时有极小值. -2-
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 极值的求法： 第一步：解方程组 f(x,y)=0,fx,y)=0, 求得一切实数解，即可得一切驻点. 第二步：对于每一个驻点(xo,o,求出二阶偏导数的值A、B和C 第三步：定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定xo,%)是否是极值、是极大值还 是极小值。 例1求函数x,)=x+y-3xy的极值， f(x,y)=3x2-3y=0 解解方程组 f(x,y)=3y2-3x=0' 求得x=1,0,y=1,0于是得驻点为(1,1)、(0,0) 再求出二阶偏导数 f(x,y)=6x,f,y=-3,f(化y)=6y. 在点(1,1)处，AC-B2=66-(一3)2=27>0，又A>0,所以函数在(1,1)处有极小值 1,1)=-1 在点(0,0)处，AC-B=-9<0,所以0,0)不是极值. 注：与一元函数类似，不是驻点的点也可能是极值点， 例如，函数z=-√x2+y2在点(0,0)处有极大值，但(0,0)不是函数的驻点.因此，在考 虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也 应当考虑. 2.多元函数的最值 与一元函数类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最值.我们知道，如果函数 f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上必能取得最大值和最小值，最大值点和 最小值点既可能在D的内部，也可能在D的边界上.我们假定，函数在D上连续、在D内 可微且只有有限个驻点，这时如果函数在D内部取得最大值（最小值），则这个最大值（最 小值)也是函数的极大值（极小值） 求函数最大值和最小值的方法：将函数f(x,y)在D内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值.在实际问题 -3-
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 中，如果知道最大值（最小值）一定在D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，那么 可以肯定该驻点处的函数值就是函数在D上的最大值（最小值）. 例2某厂要用铁板作成一个体积为2m3的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取怎 样的尺寸时，才能使用料最省. y 解设水箱的长为x(m),宽为y(m),则其高应为二(m),此水箱所用材料的面积 y 2 2 A=2(xy+y二+x y 2. 即 A=2(+2+3) (x>0,y>0) x V 可见材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点 (x,y). 网 、=2(0y-22)=0, 4,=2x-3)=0 2 1 解这方程组，得： x=2,y=2 从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小. 二、条件极值拉格朗日乘数法 上面所讨论的极值问题对于函数的自变量除了限制在函数的定义域内以外，并无其它 条件，这类极值称为无条件极值.但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条 件的极值问题称为条件极值.条件极佳值保化为无条件极值，但在很多情形下，将条件 极值化为无条件极值并不简单 拉格朗日乘数法要找函数z=f(x,y)在附加条件(x,y)=0下的可能极值点，可以 先构造辅助函数 F(x,y)=f(x,y)+2(x,y) 其中入为某一常数求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立 -4
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 f(x,y)+中(x,y)=0 f(x,y)+(x,y)=0 (1) (x,y)=0 由这方程组解出x,y及入，则其中x,y就是函数f(x,y)在附加条件下(x,y)=0的可 能极值点的坐标。 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.例如，要求函数 u=f(x,y,z,t) 在附加条件 (x,y,z,)=0,y(x,y,z,)=0 (2) 下的极值，可以先构造辅助函数 L(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+(x,y,z,t)+hw(x,y,z,t) 其中入，元2均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求 解，这样得出的x、y、z、t就是函数f(x,y,z,)在附加条件(2)下的可能极值点的坐标. 至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判 定 例3求表面积为α2而体积为最大的长方体的体积. 解设长方体的三棱长为x,y,z,则问题就是在条件 W(x,y,z)=2xy+2yz+2xz-a2=0 (3) 下，求函数 V=z(x>0,y>0,z>0) 的最大值.构造辅助函数 L(x,y,z,A)=xyz+(2xy+2yz+2xz-a2) 求其对x、y、z的偏导数，并使之为零，得到 z+2(y+z)=0 xz+2(x+z)=0 (4 xy+2(0y+z)=0 -5-
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 再与(3)联立求解. 因x、y、z都不等于零，所以由(11)可得 X=x+2 y_x+y yy+z Z x+Z 由以上两式解得x=y=z 将此代入式3)，便得x=y=:=6。 6 这是唯一可能的极值点.因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的 极值点处取得.。也就是说，表面积为。的长方体中，以校长为 a的正方体的体积为最 6 大，最大体积r=6 d. 6 小结：本节研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题.在介绍多元函数 极值的定义后，介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤，讨论了二元函数 的最值问题和实际问题的最值问题，最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法 及应用. -6