高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 第六节多元函数微分学的几何应用 教学内容：曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，曲面的切平面与法线方程。 教学目标：理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求曲线的切线和法平面及 曲面的切平面与法线的方程。 教学重点：空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的方程。 教学难点：曲线切线、曲面切平面的切向量。 教学方法：新课讲授法 作业：p891,2,3,4,5,6,7,8,9,10. 教学过程： 一、空间曲线的切线与法平面 1.空间曲线Γ的方程 x=p(t),y=中(t),z=w(t),(a≤t≤B) 的情形 设 x=(t),y=d(t),z=@(t), (u≤t≤B) (1) 都可导 在曲线上取对应于t=t。的一点M(xo,yo,z。)及邻近的对应于1=t。+△1的一点 M'(x。+△x,y。+△y,z。+△z).则曲线的割线MM'的方程是 x-0=y-0=2-0 △x△y△z 当M'沿着T趋于M时，割线MM'的极限位置MT就是曲线T在点M处的切线.用 △t除上式的各分母，得 x-x0=y-0=3-0 Ar Ay△z △t △t △t 令M'→M这时（△t→O),通过对上式取极限，即得曲线在点M处的切线方程为
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 x-=y-%=2- (2) p'(o)中'(t。)o'(t) 这里当然要假定p(t。),'(t),o'(t,)不能都为零.如果个别为零，则应按空间解析几何 有关直线的对称式方程的说明来理解， 切线的方向向量称为曲线的切向量.向量 T={p'(t,),'(t),⊙(t)} 就是曲线「在点M处的一个切向量. 通过点M而与切线垂直的平面称为曲线在点M处的法平面，它是通过点 M(x,y。,zo)而以T为法向量的平面，因此这法平面的方程为 (to)(x-xo)+(to)(y-yo)+@(to)(z-z)=O (3) 例1求曲线x=1,y=12,z=13在点(1,1,1)处的切线及法平面方程. 解因为x,=1,y,=2t,z',=3t2,而点(1,1,1)，所对应的参数1=1，所以 T=(1,2,3) 于是，切线方程为 x-1=y-1-2-1 1 23 法平面方程为 (x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0, 即 x+2y+3z=6. 2.空间曲线「的方程为 [y=p0的情形 z=(x) 取x为参数，它就可以表为参数方程的形式 x=x y=o(x) z=(x) 若p(x),(x)都在x=x。处可导，那末根据上面的讨论可知T={L,p'(x),中'(x)},因此曲 线在点M(x,yo,zo)处的切线方程为 2
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 X-x0=y-y0=2-20 (4) 1p'(x)'(x) 在点M(xo,yo,zo)处的法平面方程为 (x-xo)+p'(x)y-yo)+'(x)(z-zo)=0 (5) F(x,y,z)=0 3.空间曲线下的方程为 的情形 G(x,y,z)=0 设M(xo,yo,2o)是曲线「上的一个点，又设F,G有对各个变量有连续偏导数，且 (F,G) ≠0 y,2) 这时方程组(6)在点M(x。,yo,2o)的某一邻域内确定了一组函数y=(x),z=(x).要求曲 线下在点M处的切线方程和法平面方程，只要求出p'(x),(x),然后代入(4)、(5)两式就行 了.为此，我们在恒等式 F[x,p(x),(x)]≡0， G[x,p(x),(x)]=0 两边分别对x求全导数，得 aF oF dy+Fd也=0 Ox dy dx oz dx 0G OG dy 0G dz =0 Oz dx 由假设可知，在点M的某个邻域内 J= (F.G)+0 0(y,z) FF F.F 故可解得 =p'(x)= G.G, d G,G, 味 F ='(x)= F dx F、 F G G G,G. 于是T={L,p'(x),中'(x)}是曲线在点M处的一个切向量，这里 3
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 F F F G. (xo)= G:lo G, '(x)= G F, F F,F. G, G.0 G 分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点M(x。,yo,z)的值.把上面的切向量T乘以 F ,得 T= G, 这也是曲线「在点M处的一个切向量，由此可写出曲线「在点M(x,yo,z,)处的切线方程 为 X-X0 y-yo 2-20 F. (7) G G. G, 曲线T在点M(xo,yo,zo)处的法平面方程为 F F.F (x- x)+ G y-y)+ G (2-z)=0. (8) 如果 &(F,G) =0而 (F,G) (F,G) 中至少有一个不等于零，我们可得同样的结果. a(y,z)o a(z,x)0’(x,y)l0 例2求曲线x2+y2+z2=6,x+y+z=0在点(1，-2,1)处的切线及法平面方程. 解将所给方程的两边对x求导并移项，得 dxdx 少+=-1 dx dx 由此得 4
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 -x y -x 2-X dk1-1 x-y d y-z y-2 11 11 y =0, d =-1. dx. dxla.-2. 从而 T={L,0,-1}, 故所求切线方程为 x-1=y+2=-1 10 -1 法平面方程为 (x-1)+0×(y+2)-(z-1)=0, 即 x-z=0. 二、曲面的切平面与法线 1.隐式方程情形 我们先讨论由隐式给出曲面方程 F(x,y,z)=0 (9) 的情形，然后把由显式给出的曲面方程z=∫(x,y)作为它的特殊情形. 设曲面∑由方程(9)给出，M(xo,yo,zo)是曲面∑上的一点，并设函数F(x,y,z)的偏 导数在该点连续且不同时为零.在曲面Σ上，通过点M任意引一条曲线（图8一8），假定 曲线的参数方程为 x=p(t),y=(t),z=o(t), (10) t=t对应于点M(xo,yo,2o)且p(t),'(t),o(t)不全为零，则由(2)式可得这曲线的切线 方程为 x-x0=y-y0=2-20 (1o)(1)@(to) 因为曲线「完全在曲面Σ上，所以有恒等式F[(t),(t),(t)]≡0，又因F(x,y,z)在 点(xo,yo,zo)处有连续偏导数，且p(t。),'(t),⊙'(t)都存在，所以这恒等式左边的复合函 5
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 数在t=t。时有全导数，且这全导数等于零： dFp0.0.ol=0, 即有 F(xo,vo,Zo)(to)+F(xo:Yo;Zo)(to)+F(xo,yo,Zo)@(to)=0 (11) 引入向量n={F(xyo,z0),F(x,yo,zo),F(xp,yo,zo)}, 则(11)式表示曲线(10)在点M处的切向量T={p'(t。),'(t),o'(t)}与向量n垂直.因为 曲线(I0)是曲面上通过点M的任意一条曲线，它们在点M的切线都与同一个向量n垂直， 所以曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上（图8一8）.这个平面称 为曲面∑在点M的切平面，这切平面的方程是 F:(Xo>Yo,Zo)(x-Xo)+F,(xo,Yo,Zo)(y-yo)+F:(xo,Yo,Zo)(z-20)=0 (12) 通过点M(x,yo,2)而垂直于切平面(12)的直线称为曲面在该点的法线.法线方程是 x-X。 y-yo 2-20 (13) F(Xo,Yo,Zo)F (xo,Yo,Zo)F (xo,Yo,Zo) 垂直于曲面上切平面的向量（即切平面的法线向量）称为曲面的法向量，向量 n={F(x,yo,2o),F(xo,yo,o),F(xo,yo,2o)}就是曲面∑在点M处的一个法 向量. 2.显式方程情形 设曲面方程为 z=f(x,y) (14) 网 F(x,y,z)=f(x,y)-z), 可见 F(x,y,z)=f(x,y),F,(x,y,z)=f,(x,y),F(x,y,z)=-1. 于是，当函数f(x,y)的偏导数f(x,y)、f(x,y)在点(x,yo)连续时，曲面(14)在点 M(xo,yo,zo)处的法向量为 6
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 n=(f(x,y)f(x,o),-1) 切平面方程为 f(xo:Yo)(x-xo)+f(xo,yo)(y-yo)-(z-Zo)=0, 或 z-Z0=f(xo,yo)(x-xo)+f(Xo;yo)(y-Yo) (15) 而法线方程为 x-0=y-y0=2-z0 f(,)f,(x)-1 这里顺便指出，方程(15)右端恰好是函数z=(x,y)在点(x,y)的全微分，而左端是 切平面上点的竖坐标的增量.因此，函数z=(x,y)在点(x。,y)的全微分，在几何上表示 曲面z=(x,y)在点(xo,yo,2。)处的切平面上点的竖坐标的增量 如果用，B,y表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它 与z轴的正向所成的角y是一锐角，则法向量的方向余弦为 -f, -f coSa=- cos B=- V1+f+f 1+f2+f coSy= V1+f+f月 这里，把f(xo,yo),f(xo,yo)分别简记为f,f 例3求球面x2+y2+z2=14在点(1,2,3)处的切平面及法线方程. 解F(x,y,z)=x2+y2+z2-14, n={F,F,F,}={2x,2y,2z} 川l23=2,4,6}. 所以在点(1,2,3)处此球面的切平面方程为 2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0, >
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 即 x+2y+3z-14=0, 法线方程为 x-1=y-2_2-3 12 3 即 123 由此可见，法线经过原点（即球心） 小结：本节在空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线两方面研究 了微分法的应用.利用导函数的儿何性质，针对空间曲线的一般表现方式， 给出了空间曲线的切向量，从而确定了空间曲线的切线与法平面方程：同 时针对由隐式给出的曲面方程，推导出曲面的切平面与法线方程，并给出 了曲面法向量的方向角. 8