高等数学教案 第十二章无穷级数 第十二章 无穷级数 第一节常数项级数的概念和性质 教学内容:常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,基本性质,几何级数 教学目标:理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收 敛的必要条件,掌握几何级数的收敛性及求和公式 教学重点:收敛和发散的定义 教学难点:根据定义判定级数的敛散性:收敛的必要条件 教学方法:讲授法 作 业:P2554,5 教学过程: 一、问题的提出 引例:计算半径为R的圆的面积A 圆内接正六边形的面积a, 圆内接正十二边形的面积a,+a2 圆内接正二十四边形的面积a,+a2+a 圆内接正3×2”边形的面积a1+a2+…+a A≈a1+a2+…+an n→o,a1+a2+…+an→A 称和式a,+a2+…+an+…为无穷级数. 二、常数项级数的概念 一般地,如果给定一个数列 41,42,43y…,4n), 则由这数列构成的表达式 41+42+43+…·+14。+· 高等数学课程组
高等数学教案 第十二章无穷级数 叫做(常数项)无穷级数,简称常数项)级数,记为∑4,即 =】 4n=M+43+3+…+n+ n= 其中第n项un叫做级数的一般项. 级数的部分和:作级数2,的前n项和5,-之4,=4十,+十+w,称为级数2,的部 =1 i=1 =1 分和. 定义如果级数立,的部分和数列,}有极限5,即1imS,=5,则称无穷级数∑4n收敛, n=1 7→0 M=1 这时极限s叫做这级数的和,并写成 4n=41+2+43+…+4n+…; 如果8}没有极限,则称无穷级数∑4n发散。 n=l 余项:当级数∑4n收敛时,其部分和sn是级数∑4,的和s的近似值,它们之间的差值 =] n=1 n=S-Sa=n+l+un+2十… 叫做级数∑4n的余项, =1 例1讨论等比级数(几何级数) 2ag”=a+ag+ag2++ag+… n= 的敛散性,其中a≠0,q叫做级数的公比. 解如果q≠1,则部分和 Sn=a+ag+ag2+...+agm-1_a-ag"_a agm 1-91-91-9 当1l1时,因为m5品g所以此时损数三ag收致其和为品g n-0 高等数学课程组
高等数学教案 第十二章无穷级数 当191>1时,因为m5,=0,所以此时级数2ag发散 79 n=0 如果Ig1=1,则当g=1时,5=n03,因此级数2ag”发散: 70 当q=-1时,级数∑ag”成为 n=0 a-a+a-a+… 因为5n随着n为奇数或偶数而等于a或零,所以sn的极限不存在,从而这时级数∑ag”也 n=0 发散. 综上所达,知果111,则级数立cg收敛,其和为台)如果Ia1,则级数三a发 n=0 =0 散 例2证明级数 1+2+3+…+n+… 是发散的。 证此级数的部分和为 m=l+2+3+…+n=nn+D 2 显然,lim s=o,因此所给级数是发散的. 700 例3判别无穷级数 的收敛性。 解由于 111 4a-m(n+D)n n+l 因此 111 82233.4+ n(n+1) =0-*g*+片hl 从而 高等数学课程组
高等数学教案 第十二章无穷级数 lim s lim (1-- 1)=1, n-0 n+1 所以这级数收敛,它的和是1. 三、收敛级数的基本性质 性质1如果级数∑4n收敛于和5,则它的各项同乘以一个常数k所得的级数∑k,也 h=1 M=1 收敛且其和为k:.如果级数立,收敛于和,则级数,也收敛,且其和为ks) n=1 =1 这是因为,设∑4n与∑kn的部分和分别为sn与m则 n=】 =1 lim on lim (ku+kuz+...kun)=k lim (u +uz+...un)=k lim s =ks 7→00 7→00 7→00 7→00 这表明级数∑kn收敛,且和为ks. n=l 9 性质2如果级数∑n、】 ,分别收敛于和5、G则级数∑u,士,)也收敛,且其和 =1 n=1 为s±o. 这是因为,如果,、元,、,士y)的部分和分别为s、、则 n= = lim=lim[(u1±)+(u2±2)+…+(un±yn)] n-→ n-o =lim[(41+u2+…+4n)士(4+y2+…+yn)] =lim(Sn±on)=s±o. n-+00 性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性. 比如,级数,1+1+1 -223+34+…+ 、+…是收敛的, n(n+1 级数100+22名写名+…+ 十…也是收敛的, (n+1) 级数、 1 3445+…+ 1 、+…也是收敛的. n(n+1 性质4如果级数∑4n收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和 n=1 不变.应注意的问题:如果加括号后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来的级数也 高等数学课程组
高等数学教案 第十二章无穷级数 收敛.例如,级数 (1-1)+(1-1)+.收敛于零,但级数1-1+1-1+.却是发散的. 推论:如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散, 性质5级数收敛的必要条件)如果24,收敛,则它的一般项,趋于,即mW=0. n=1 (性质5的等价命题:若1imu.≠0,则级数∑4n发散) 7= 证设级数∑4n的部分和为sn,且lim s=S,则 打=1 n-0∞ lim un lim (s-s1)=lim s-lim S-1=s-s=0. →0 力→00 7→0 应注意的问题:级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例4证明调和级数 1=1+++…+1+ n=]n 23 是发散的. 证假若级数头收敛且其和为55是它的部分和。 n=in 显然有lim s=s及limS2m=S.于是lim(s2m-Ssn)=0 n-→0 但另一方面, …叶分+六+ 2n 2n2n 2n2' 故1im(5n-S,)≠0,矛盾.这矛盾说明级数1必定发散 in 高等数学课程组