高等数学教案 第十二章无穷级数 第十二章 无穷级数 第一节常数项级数的概念和性质 教学内容：常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，基本性质，几何级数 教学目标：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收 敛的必要条件，掌握几何级数的收敛性及求和公式 教学重点：收敛和发散的定义 教学难点：根据定义判定级数的敛散性：收敛的必要条件 教学方法：讲授法 作 业：P2554,5 教学过程： 一、问题的提出 引例：计算半径为R的圆的面积A 圆内接正六边形的面积a, 圆内接正十二边形的面积a,+a2 圆内接正二十四边形的面积a,+a2+a 圆内接正3×2”边形的面积a1+a2+…+a A≈a1+a2+…+an n→o,a1+a2+…+an→A 称和式a,+a2+…+an+…为无穷级数. 二、常数项级数的概念 一般地，如果给定一个数列 41,42,43y…,4n), 则由这数列构成的表达式 41+42+43+…·+14。+· 高等数学课程组
高等数学教案 第十二章无穷级数 叫做（常数项）无穷级数，简称常数项)级数，记为∑4，即 =】 4n=M+43+3+…+n+ n= 其中第n项un叫做级数的一般项. 级数的部分和：作级数2，的前n项和5，-之4，=4十，+十+w,称为级数2，的部 =1 i=1 =1 分和. 定义如果级数立，的部分和数列，}有极限5，即1imS,=5,则称无穷级数∑4n收敛， n=1 7→0 M=1 这时极限s叫做这级数的和，并写成 4n=41+2+43+…+4n+…; 如果8}没有极限，则称无穷级数∑4n发散。 n=l 余项：当级数∑4n收敛时，其部分和sn是级数∑4，的和s的近似值，它们之间的差值 =] n=1 n=S-Sa=n+l+un+2十… 叫做级数∑4n的余项， =1 例1讨论等比级数（几何级数） 2ag”=a+ag+ag2++ag+… n= 的敛散性，其中a≠0，q叫做级数的公比. 解如果q≠1，则部分和 Sn=a+ag+ag2+...+agm-1_a-ag"_a agm 1-91-91-9 当1l1时，因为m5品g所以此时损数三ag收致其和为品g n-0 高等数学课程组
高等数学教案 第十二章无穷级数 当191>1时，因为m5,=0,所以此时级数2ag发散 79 n=0 如果Ig1=1,则当g=1时，5=n03,因此级数2ag”发散： 70 当q=-1时，级数∑ag”成为 n=0 a-a+a-a+… 因为5n随着n为奇数或偶数而等于a或零，所以sn的极限不存在，从而这时级数∑ag”也 n=0 发散. 综上所达，知果111，则级数立cg收敛，其和为台)如果Ia1,则级数三a发 n=0 =0 散 例2证明级数 1+2+3+…+n+… 是发散的。 证此级数的部分和为 m=l+2+3+…+n=nn+D 2 显然，lim s=o,因此所给级数是发散的. 700 例3判别无穷级数 的收敛性。 解由于 111 4a-m(n+D)n n+l 因此 111 82233.4+ n(n+1) =0-*g*+片hl 从而 高等数学课程组
高等数学教案 第十二章无穷级数 lim s lim (1-- 1)=1, n-0 n+1 所以这级数收敛，它的和是1. 三、收敛级数的基本性质 性质1如果级数∑4n收敛于和5，则它的各项同乘以一个常数k所得的级数∑k,也 h=1 M=1 收敛且其和为k:.如果级数立，收敛于和，则级数，也收敛，且其和为ks) n=1 =1 这是因为，设∑4n与∑kn的部分和分别为sn与m则 n=】 =1 lim on lim (ku+kuz+...kun)=k lim (u +uz+...un)=k lim s =ks 7→00 7→00 7→00 7→00 这表明级数∑kn收敛，且和为ks. n=l 9 性质2如果级数∑n、】 ,分别收敛于和5、G则级数∑u,士，)也收敛，且其和 =1 n=1 为s±o. 这是因为，如果，、元，、，士y)的部分和分别为s、、则 n= = lim=lim[(u1±)+(u2±2)+…+(un±yn)] n-→ n-o =lim[(41+u2+…+4n)士(4+y2+…+yn)] =lim(Sn±on)=s±o. n-+00 性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性. 比如，级数，1+1+1 -223+34+…+ 、+…是收敛的， n(n+1 级数100+22名写名+…+ 十…也是收敛的， (n+1) 级数、 1 3445+…+ 1 、+…也是收敛的. n(n+1 性质4如果级数∑4n收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和 n=1 不变.应注意的问题：如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也 高等数学课程组
高等数学教案 第十二章无穷级数 收敛.例如，级数 (1-1)+(1-1)+.收敛于零，但级数1-1+1-1+.却是发散的. 推论：如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散， 性质5级数收敛的必要条件)如果24，收敛，则它的一般项，趋于，即mW=0. n=1 (性质5的等价命题：若1imu.≠0，则级数∑4n发散) 7= 证设级数∑4n的部分和为sn,且lim s=S,则 打=1 n-0∞ lim un lim (s-s1)=lim s-lim S-1=s-s=0. →0 力→00 7→0 应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例4证明调和级数 1=1+++…+1+ n=]n 23 是发散的. 证假若级数头收敛且其和为55是它的部分和。 n=in 显然有lim s=s及limS2m=S.于是lim(s2m-Ssn)=0 n-→0 但另一方面， …叶分+六+ 2n 2n2n 2n2' 故1im(5n-S,)≠0，矛盾.这矛盾说明级数1必定发散 in 高等数学课程组
