高等数学教案 第十二章无穷级数 第三节幂级数 教学内容：函数项级数的收敛域、和函数、收敛半径的概念；幂级数的收敛半径、收敛区 间及收敛域的求法：幂级数在其收敛区间内的基本性质 教学目标：了解函数项级数的收敛域及和函数的概念：理解幂级数收敛半径的概念，并掌 握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本 性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数， 并会由此求出某些常数项级数的和 教学重点：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域 教学难点：函数项级数的收敛域及和函数 教学方法：讲授法 作业：P2771,2 教学过程： 一、函数项级数的概念 函数项级数：给定一个定义在区间I上的函数列{(x)},由这函数列构成的表达式 41(x)+42(x)+4(x)+…+4n(x)+… 称为定义在区间1上的（函数项）级数，记为∑4(x). n=l 收敛点与发散点：对于区间1内的一定点，若常数项级数卫，()收敛，则称 n=1 点，是级数24，()的收敛点。若常数项级数24，()发散，则称点0是级数24，)的 n=1 n=1 n=1 发散点 收敛域与发散域：函数项级数2山，()的所有收敛点的全体称为它的收敛域，所有发散 n=1 点的全体称为它的发散域 和函数：在收敛域上，函数项级数2，)的和是x的函数5(x,5(x)称为函数项级 n三1 数24，()的和函数，并写成s()-24,). n=1 =1 在收敛域上，函数项级数∑“，(x)的和是x的函数s(x),s(x)称为函数项级数 ∑4，(x)的和函数，并写成s(x)=∑4，(x).这函数的定义就是级数的收敛域， 1
高等数学教案 第十二章无穷级数 部分和：函数项级数乏u,)的前n项的部分和记作s,(x),函数项级数∑4，() n=1 的前n项的部分和记作S,(x),即 sn(x)=41(x)+u2(x)+…+un(2x) 在收敛域上有lims(x)=s(x)或sn(x)→s(x)(n→o)· 余项：函数项级数24，()的和函数s(x)与部分和5，(x)的差(x)=s(x)-S,(x) n=1 叫做函数项级数之，()的余项。函数项级数∑4，(x)的余项记为(x),它是和函数 1= s(x)与部分和sn(x)的差r(x)=s(x)-Sn(x).在收敛域上有limr(x)=0. 》可 二、幂级数及其收敛性 幂级数：函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数，这种形式的级数称为幂级数，它的形式是 a+ax+a2x2+…+anx"+… 其中常数a,a,a2,…,an,…,叫做幂级数的系数 幂级数的例子： 1+x+x2+x3+…+x"+…, 1+x+ x2+…+ 2 n! 注：幂级数的一般形式是 a+a,(x-x)+a2(x-x)2+…+an(x-x)”+…, 经变换1=x-x。t=x-x就得a0+a,t+a2t2+…+ant”+…· 幂级数 1+x+x2+x3+…+x”+… 可以看成是公比为x的几何级数.当x<1时它是收敛的；当x≥1时，它是发散的. 因此它的收敛 域为(-1,1)，在收敛域内有 ,1=1+x+x2+x3+…+x”+… 1-x 定理1阿贝尔定理如果级数2a,”当xxk40)时收敛，则适合不等式 n=0 -2
高等数学教案 第十二章无穷级数 以x,的一切x使这幂级数发散 证先设，是幂级数2a,X”的收敛点，即级数24，收敛.根据级数收敛的必 n=0 7=0 要条件，有lim a6=0,于是存在一个常数M,使 |axg”|≤Mn=0,1,2,·. 这样级数2aX”的的一般项的绝对值 n=0 a,rHo,9Ho,6Hr≤M1r Xo 因为当xo使级数收敛，则根据本定理的第一部分，级数当x=时应收敛，这与所设矛盾.定 理得证。 推论如果级数2a,”不是仅在点x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛， n=0 则必有一个完全确定的正数R存在，使得 当|xR时，幂级数发散； 当=R与=-R时，幂级数可能收敛也可能发散， 收敛半径与收敛区间：正数R通常叫做幂级数乏a,x”的收敛半径.开区间(-R,) 1=0 叫做幂级数2a,x”的收敛区间。再由幂级数在×+R处的收敛性就可以决定它的收敛域.幂 n=0 级数之a,”的收敛域是(-R,R或-RR、(R刷、[-R,R]之一 i=0 规定：若幂级数 a”只在X=0收敛，则规定收敛半径R=0,若幂级数上a,”对 n=0 =0 一切x都收敛，则规定收敛半径R=+oo,这时收敛域为(-0，+o. 定理2 -3
高等数学教案 第十二章无穷级数 如果1im上p,其中an、on1是幂级数2a,x”的相邻两项的系数，则这幂级 n→00 an n=0 数的收敛半径 +00 p=0 R= 1 p≠0 0 0 P=+∞ 简要证明： n-→0 a十mH=pl lim an (1)如果0<K+0,则只当plx<1时幂级数收敛，故R=」 (2)如果p=0,则幂级数总是收敛的，故R=+0. (3)如果上+0，则只当x=0时幂级数收敛，故R=0. 例1求幂级数 2←1y=x-+ n= n ++（←1+ 2 的收敛半径与收敛域。 1 解 因为p=lim出非limn+1=l, 1→0am n-→001 n 所以收敛半径为R=1-1. 0 当=1时，幂级数成为（-)-11， 是收敛的； n=1 n 当=-1时幂级数成为 2-, 是发散的.因此，收敛域为(-1,1]. n= 例2求幂级数 non! 1 1+x+ 1x2+ 2 x+…+ xn... 3 n! 的收敛域 1 解因为p=im色出=imn+l四 +00, 所以收敛半径为R=+0,从而收敛域为(-0，+o. -4
高等数学教案 第十二章无穷级数 例3求幂级数x的收敛半径 n=0 解因为 p=lim|=lim号 n(n+I)！ =+00, n→∞nl 所以收敛半径为R=O,即级数仅在x=0处收敛 例4求幂级数2mx2”的收敛半径 n=o(nl)）2 解级数缺少奇次幂的项，定理2不能应用.可根据比值审敛法来求收敛半径： 幂级数的一般项记为4，()=2mx2” (2 因为imC=4x, n→mun(x) 当41即水号时级数收敛：当41即D时级数发散，所以收敛半径为 [2(n+1yx20r*0 提示： n+()_[n+1)]2 (2n+22n+0x2 4n(x) (2n)!2n (n+1)2 (al02 例5求幂级数，的收敛域 台2"n 解令t=x-1,上述级数变为” 台2"n 因为p=lim山=、 2”.n=1 n-→0an 2m+1.(n+1)2 所以收敛半径R=2: 当=2时，级数成为，此级数发散：当t=2时，级数成为 ,此级数收敛 n nn 因此级数2化的收敛域为-23<2.因为-2SX-1<2,即-15x<3,所以原级数的收敛域为[-1， 2n 3). -5-
高等数学教案 第十二章无穷级数 三、幂级数的运算 设幂级数之a,及2b,X”分别在区间-R,R刚及-R,R)内收敛，则在(-RR刷与-R,R) i=0 =0 中较小的区间内有 加法： "++b), =0 =0 =0 减法： 2anx”-2b”=2(a,-b,x, 7=0 n=0 n=0 设'幂级数∑anX及∑bx分别在区间(-R,R)及(-R,R')内收敛，则在(-R,R)与(-R,R) 中较小的区间内有 加法：∑anx+∑bX=∑(an+bn)x, 减法：∑anx”-∑bx=∑(an-bnx”. 乘法：(2anxn)-(2hnr)）=axbo+laxb1+ao4bolx+Hobt+ob1+o2bolx2+. +(aobn+a1bn-1+·+anbo)x+… 性质1幂级数a,x”的和函数sW在其收敛域1上连续。 H=0 如果幂级数在x=R(或x=-R)也收敛，则和函数sx)在(-R,(或[-R,R)连续 性质2幂级数2ax的和函数sx在其收敛域1上可积，并且有逐项积分公式 =0 5o-空rh-2or-2品ren =0n+1 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质3幂级数2a,x"的和函数sx)在其收敛区间(-R,)内可导，并且有逐项求导公 式 s'(x)=(a,x"Y=(ay=Ena,x"(lxIR) 7=0 n=0 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例6求幂级数之LX”的和函数。 m=0n+1 解求得幂级数的收敛域为[-1,1). 设和函数为sw,即s()=之n中，xe-11显然s0=1 -6-
高等数学教案 第十二章无穷级数 在xs)=受1x+1的两边求导得 n0n+1 w训-24y-2r =0 对上式从0到x积分，得 x=已k=-lh-. 于是，当x0时，有s)=-h0-).从而s6)= -1n(1-)0<xk1 1 x=0 因为含中r"-2中达 =52=5h=-h-, 所以，当x0时有s()=-n1-), 从而s(x)={ -1n(-x)0xk1 1 x=0 例7求级数←少的和 0n+1 解考虑幂级数乃1x”,此级数在-1,1)上收敛，设其和 n0n+11 函数为sw,则s(←1)=y m=0n+1 在例6中已得到-小于是-Hn2-=lh分即营- 三n+1 -7