高等数学教案 第七章微分方程 第四节一阶线性微分方程 教学内容：1、一阶线性微分方程的形式与解法： 2、伯努利方程的形式与解法 教学目标：1、掌握一阶线性微分方程的形式与解法： 2、掌握伯努利方程的形式与解法 教学重点：一阶线性微分方程的形式与解法 教学难点：伯努利方程的形式与解法 教学方法：理论课与习题课相结合 作业：P3151(3),(6),(9);2(5):6:*8(1),(3),(5) 教学过程： 一、线性方程： 1.一阶线性常数微分方程的定义： 形如y'+P(x)y=Q(x)(P(x),Q(x)为已知函数的微分方程称为一阶线性微分 方程。 当Q(x)=0时，方程y'+P(x)y=0称为一阶齐次线性微分方程： 当Q(x)≠0时，方程y'+P(x)y=Q(x)称为一阶非齐次线性微分方程。 2.一阶齐次线性微分方程y+P(x)y=0的解法：其是可分离变量的方程，因此可以 整理、积分得到通解。 例1求微分方程少 的通解。 V1-x 解：此方程是一阶齐次线性微分方程， 分离变量，得： y v1-x2 两边积分，得：ny=arcsin x+C, 所以，原方程的通解为：y=Cearsinx,(C是任意常数)。 3.一阶非齐次线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的解法： 拉格朗日(Lagrange)常数变易法求解。 具体做法： ①用分离变量法求对应的齐次线性微分方程y'+P(xy=0的通解：y=CeP ②常数变易(C(x)潜换C):设y=CeP达 为非齐次线性微分方程的解：
高等数学教案 第七章微分方程 ⑧将其代入方程y+Py=Q,得：C'(x)eP=Q(x),即： C'()=Q(xe,两边积分，得：C)=小Q(krk+C。并写出原方程 的通解为：-杰+Cka 一般解法步骤： 第一步：先求出对应的齐次方程的通解y=CeP() 第二步：根据所求的通解设出非齐次方程的解：y=C(P达 (常数变易)： 第三步：把所设解代入非齐次线性微分方程，解出C(x),并写出通 例2.解方程y'+y=ex。 解：此方程是一阶非齐次线性微分方程，用常数变易法。 该方程的对应齐次方程为y'+y=0,其通解是：y=Ce-。 常数变易：设y=C(x)是原方程的通解，代入原方程并化简，得：C(x)】=1, 两边积分，得：C(x)=x+C, 所以，原方程的通解为：y=(x+C)e. 例3.求边2 dx x+l 2=x+)2的通解。（学生课堂练习） 1 例4.求微分方程y'= 的通解。y'+P(x)y=Q(x) xcosy+sin 2y dx 解：原方程变形为： =xcosy+sin2y(*),此时可以把x看作y的函数， dy 显然它是一阶非齐次线性微分方程，对应的齐次方程为 =xcosy的通解： y x=Cesiny。 常数变易：设x=C(y)em'是方程(*)的解，代入方程(*)并化简得： C(y)=e-sim sin2y, 两边积分得：C(y)=-2(siny+1)e-m'+C, 所以原方程通解为：x=-2(siny+1)+Cem(C是任意常数)。 2
高等数学教案 第七章微分方程 二、伯努利方程： 1、伯努利方程的定义及其解法： 形如：y'+P(x)y=Q(x)y”的方程叫伯努里(Bernoul1i)方程。对于此方程： 当n=0或=1时，这是一阶线性方程（奇次或非奇次)，容易得到通解。 当n≠0或n≠1时，方程不是线性的，但是可以通过变量替换，化成线性的。 具体做法如下： 第一步：方程两端同时除以y'得：y少+P(x)y-"=Q(x)）(: d 第二步：引入新的未知函数z=y-,有止=0-my"少即：1.止=y d dx 1-n dx dx 第三步：将其代入(*)式整理得： +1-mP(xz=(-n0(: x 第四步：此方程是线性方程，求出通解后再用y-”替换z即得到伯努里方程的通解。 2、举例应用： 例5求方程少+上=any'的通解。 dx x 解：显然这是一伯努里方程， 方程两端同时除以y得y:少+二=a山， dx x 令2=y,则=（←1y2少，代入上式得到：也-三=-anx dx dx dx x 此线性方程的通解为：=C-仙 再用y换，得到原方程的通解：C-=1。 2 例6P313).解方程少=1 (学生课堂练习)。 dx x+v 三、本节小结： 这一节我们主要学习了求解线性方程和伯努里方程的方法，重点是用拉格朗日常数变易 法解一阶非齐次线性微分方程。 3