高等数学教案 第五章定积分 第三节定积分的换元法和分部积分法 教学内容：一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 教学目标：熟练掌握定积分的换元公式和分部积分公式，了解有关奇偶函数在关于原点对称 的区间上的定积分的性质 教学重点与难点：定积分的第二类换元积分法，利用换元法证明和定积分或积分上限函数有 关的恒等式. 教学方法：讲授 作业：P2531(1)-(16),3,4,7(1)-(7) 教学过程： 一、定积分的换元法 定理假设函数x)在区间a,b]上连续，函数x=)满足条件： (1)(a)）=a,()=b: (2)()在[a,B(或[B,a)上具有连续导数，且其值域不越出[a,b], 则有 fxk=/Ipo)）p'odt. 这个公式叫做定积分的换元公式. 证由假设知，x)在区间[a,b]上是连续的，因而是可积的；f[)](0在区间[a,)(或 [B,a)上也是连续的，因而是可积的. 假设Fx)是f(x)的一个原函数，则 [f(x)d=F(b)-F(c). 另一方面，因为{FLa0]}'=F'[(O]p(0)=f[】]p(0,所以Fa(0]是f[g)]p(O的一个原 函数，从而 [flo()kv()dr=FLqB)]-FIda)]-F(b)-F(a). 因此 f()d=dt. 例1计算Va2-x2dk(a>0). 解Va2-x2dkea▣官acost·acos1dh cosdcos2rdr
高等数学教案 第五章定积分 =p+n2或-ma2 提示：-=-a2sin1=acos1,=cos1.当x=0时0，当=a时1=号 例2计算官cos5 xsin.xdx. 解令仁cosx,则 cossinxd cosxdcos 巴-了ri=rdi=哈，=君 提示：当0时l,当x=受时0， cos'xsin xdx=-cos'xdcosx =哈cos00=石cos6号+若cos0=君 例3计算Vsin3x-sinxd sin'x-sin xd=sinxlcosxldx -fsn2xosxds-与sin2rosdh -sinixdsinx-sin xdsinx m-m延-号-(3-号 提示：Vsin3x-sin3x=Vsin3xl-sin2x)=sin2 cosx. 在[0，]上cos=cosx,在[丐，m上cos-cosx. 例4计算品血 2-1+2 解 2，h=fe+3h =+3-3+9-+训=号 提示：x=,h=dh当x0时l,当4时3. 2 例5证明：若fx)在[-a,ad上连续且为偶函数，则 已fd=2f6d. 2
高等数学教案 第五章定积分 证因为fx=心f+fwdk, 而，/k巴-fh=f-t=/-k, 所以 d=dx+fds =[f-)+f6=2fx)dk=2f0k. 讨论： 若)在[-a,d上连续且为奇函数，问fx)dc=? 提示：若f)为奇函数，则f(-x)+fx)=0,从而 已f=f-x)+fax=0. 例6若f)在[0,1]上连续，证明 (1)(sindf(cosd; 25sink=受(sin)d. 证（山）令x=号-1，则 f(sinyd=-￡sin号-h =官fs几in(号-ti=f(cosd (2)令x=π-5，则 xf((sinx)d=-(π-i)fIsin(π-th =(π-)f[sin(π-h=(z-fsin0)dt =πf(sint)dh-f(sin0dh =πf(sinx)dw-xf(sinx)dx, 所以 (sinx)d=受sin. 例9设函数f(x) xe-r' x20 1 1+cosx -1<x<0计算∫f-2k. 解设x-2=t,则
高等数学教案 第五章定积分 「ru-2w=f0h=1do7h+fe-a =am-5e写=am3方e+3 提示：设x-2=,则dk=d北，当x=1时=-1，当x=4时=2 二、定积分的分部积分法 设函数u()、v(c)在区间[a,b上具有连续导数(x)、v'(x),由 (w'=v+v得uv'=u-y,式两端在区间[a,b]上积分得 wdk=[twg-vdk,或udw=w哈-du. 这就是定积分的分部积分公式. 分部积分过程： mwk=udw=[wlt-心du=w-avdk=… 例10计算官arcsin,xdk。 解厚arcsinxd=[xarcsinx-xdarcsinx 指 最号年0-内 8贵+-1 例11计算ek 解令F=t,则 fefdx-2fe'rdr =2de =2e]。-2jed =2e-2[e]。=2. 例12设1n=sin”xdk,证明 0消a为正偶数时，么-分高子
高等数学教案 第五章定积分 (2)当n为大于1的正奇数时，1n=n-一l.1-34.2 nn-253 i证，=广sin"xdk=-sinxdcos =-cosxsin"cosxdsinx -(n-1)cos"xsin"-2xdx =(n-1)(sin"-2x-sin")dx -(n-D)sin"-2xdx-(n-D)sin"xdx (n-1)lm2(n-1)Mm, 由此得 1-12 g狐 h子0专 而o=k=号，=sinxds=l, 因此 12m=2m2m-3.2m-53.1.E 2m2m-22m-44221 子号 5
