高等数学教案 第二章导数与微分 第四节隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 教学内容： 1、隐函数求导（要求会求一、二阶导数）； 2、参数式求导（会求二阶导数）： 3、对数求导法。 教学目标： 1、熟练掌握隐函数求导与参数式求导： 2、用对数求导法求解难幂指函数及连乘积、乘方、开方等形式的函数的求导问题。 教学重点： 隐函数求导与参数式求导。 教学难点： 隐函数求导与参数式求导。 教学方法：讲练结合教学法 作 业：11,234,5,67,8. 教学过程： 一、隐函数的导数 显函数：形如y=x)的函数称为显函数.例如)=sinx,y=nx++e 隐函数：由方程Fx,y)=0所确定的函数称为隐函数。 例如，方程x+y-1=0确定的隐函数为yy=1-x. 如果在方程Fx,y)=0中，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的 y值存在，那么就说方程Fx,y)=0在该区间内确定了一个隐函数， 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.隐函数的显化有时是有困难的，甚至是 不可能的.但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不 管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来 例1.求由方程e'+x-e=0所确定的隐函数y的导数. 解：把方程两边的每一项对x求导数得 (e'+(y-(e)'=-(0y, 即 e.y'+y+xy'=0
高等数学教案 第二章导数与微分 从而 y=-y+e0. x+ey 例2.求由方程y+2y-x-3x-0所确定的隐函数=x)在 x=0处的导数y儿k=0. 解：把方程两边分别对x求导数得 5yy+2y-1-21x6=0, 由此得 y'=1+21x6 5y4+2 因为当=0时，从原方程得y=0,所以 y儿wl分 例3求椭圆器+号1在仁多)处的切线方程 解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得 京+y=0. 从而 y'=-9g 16y 当2时，y5,代入上式得所求切线的斜率 =y12=-5 4 所求的切线方程为 y5-原x-2》,即5x+4-w5-0 4 解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得 言号y=0 将26，代入上式将 11 4+y=0, 于是 与=-5 4 所求的切线方程为 y-6-5a-2,即5x+4-N50 例4.求由方程x-y+siny=0所确定的隐函数y 的二阶导数. 2
高等数学教案 第二章导数与微分 解：方程两边对x求导，得 1+20s=0, 1-+L。 dx 于是 少2 dx2-cosy 上式两边再对x求导，得 d、-2siny dx -4sin y dx2(2-cosy)2 (2-cosy)3 对数求导法：这种方法是先在y=x)的两边取对数，然后再求出y的导数. 设y=),两边取对数，得 Iny=Infx), 两边对x求导，得 Ly=[Inf(x), y'=fx)-[In f(x)]'. 对数求导法适用于求幂指函数[(x)]的导数及多因子之 积和商的导数， 例5.求)y=sin x(>0)的导数. 解法一：两边取对数，得 lny=sinx·lnx, 上式两边对x求导，得 =cosx-Inx+sinx.I y 于是 (cos+sin =xsin(cos x.Inx+sin) 解法二：这种幂指函数的导数也可按下面的方法求： yx sin xe sin xInx y=esinrhnx(sinx.nx=xsin(cosxxn). 例6.求函数y= x-10c-2公的导数， V(x-3)x-4) 解：先在两边取对数（假定x>4),得
高等数学教案 第二章导数与微分 Iny-[ln(x-1)+lnGv-2)-ln(x-3)-ln(Gx-4)]. 上式两边对x求导，得 于是 结2点白 当x4,x<1,2<x<3三种情况讨论，但结果都是一样的. 二、由参数方程所确定的函数的导数 设y与x的函数关系是由参数方程x三Q确定的.则称此函数关系所表达的函数为由 y=v(t) 参数方程所确定的函数， 在实际问题中，需要计算由参数方程所确定的函数的导数.但从参数方程中消去参数1 有时会有困难.因此，我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设=)具有单调连续反函数仁p'(x),且此反函数能与函数y=()构成复合函数 =p'(x)],若x=()和=)都可导，则 _少dt_少1-y'① dx dt dx dt dx '(r) dt y 即 变-0或少=亚 dx o'(t)dxdx dt 若=)和=0都可导，则=少Q dx '(t) 例7.求椭圆=acos1在相应于1=卫点处的切线方程. ly=bsint 4 解：少=bsin=bcost=-bcou. dx (acost) -asint a 所求切线的斜率为少 a 切点的坐标为6=ac0s号= 2，%=bsin交=b2 4 2 切线方界为y-9总马. 2 a 即 br+ay-√2ab=0
高等数学教案 第二章导数与微分 x=vt 例8.抛射体运动轨迹的参数方程为 y=4-28r2 求抛射体在时刻1的运动速度的大小和方向.)=v21-g12 解：先求速度的大小 速度的水平分量与铅直分量分别为 x'(t0=y1,y'(t0=v2-g, 所以抛射体在时刻1的运动速度的大小为 v=x'0P+y'0P=√+(%2-gy. 再求速度的方向， 设a是切线的倾角，则轨道的切线方向为 tana=-少=y0=-g dx x'(t)v 己知=)，=)，如何求二阶导数y? 由x=0, Φ-Ψ0 dx p'(t) 2y=4少=4't="0p0-w0p'0.L=y'0p'0-v0p@ dx2 dx dxdr '(t)'dx p2(t) p't) o'3(t) 例9.计算由摆线的参数方程r=a-sin)所确定 y=a(1-cost)' 的函数y=)的二阶导数 解：少=但_【al-cost)asint x而at-im-a-cos-ocot吃(2nzn为整数， sint 装盖尝-盖w孕要2兰00w为整 dx 小记： 1、对参数方程确定的函数求二阶导数时应将函数变量之间的关系弄清楚，不要遗漏求 导的符合步骤： 2、对于幂指函数及多因子连乘函数，一般用对数求导法求导（先取对数再求导），这 样可达到化繁为简的目地： 5