高等数学教案 第四章不定积分 第二节换元积分法 教学内容：第一类换元法，第二类换元法 教学目标：使学生熟练掌握第一类换元法，掌握第二类换元法.会用线性函数和三角函数等 一些简单的初等函数作为换元函数来计算某些不定积分， 教学重点：熟练使用第一类换元法和变量代换法求不定积分 教学难点：如何根据具体的积分式子选择适当的第一类换元法和变量代换法， 教学方法：讲授 作 业：P2072(1)-(33) 教学过程： 把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的 积分法，称为换元积分法，简称换元法通常分成两类 一、第一类换元法（凑微分法） 设f(u)有原函数F(u),即 F(u)=f(u).f(u)du=F(u)+C 如果u=p(x)且设p(x)可微，那么，根据复合函数微分法，有 dFlo(x)]=fo(x)lo'(x)dx, 从而根据不定积分的定义就得 ((d=FT(+C=[Jf(du 于是有下述定理： 定理1设)具有原函数，=x)可导，则有换元公式 (xp(x)dx=[f(u)dul 被积表达式中的k可当作变量x的微分来对待，从而微分等式o(x)k=d:可以应用到被 积表达式中 在求积分「g(x)d时，如果函数g(x)可以化为gx)=几x)]@(x)的形式，那么 ig(dx=(x)(x)dxf(u)du
高等数学教案 第四章不定积分 例1∫2cos2xdc=Jcos2x(2x)ydk=cos2xd(2x) =cos udu =sin u+C=sin 2x+C. 例2j3+2=号3+2x6+2w=号3+26+2 =k=la+c-3+2+c 4 2xes'dx=Jer'(x2Y'dx=Jerd(x2)=fe"du =e"+C=er+C. 例5j-x=2i-(x2ys=-r2 =rd0-=22d加=+c =3-2+c. 例6求jn十字血 =f1dE=Larctan+c al+(aa (0). dx=arcsin x+C 例8求ea 解a。aha-4a -2alJx-ad(x-a)-fsiad(x+a -al-Inlx+all+CC. x+a 2
高等数学教案 第四章不定积分 例9x0+2n9 dx 益 2J 1+2Inx +2nx+C. 例10定=2ecaG=号e -2e+C. 3 含三角函数的积分： 11 [sin3 xdx=[sin2x-sinxdx=-[(1-cos2x)dcosx =-fdcosx+fcos2xdcosx =-cosx+cosx+C. 3 12 [sin2xcos5 xdx=[sin2xcos4xdsinx =sin2x(1-sin2x)2dsinx =[(sin2x-2sin4x+sin x)dsinx =sinx-sinx+mx+c. 例13求tan xdx 解 j小an xdx=jdk=-∫.dcosx cosx =-fdu=-Inlul+C =-In cos x+C 类似地可得∫cotxdx=In sinxl+C. 例14as-e25kk+小os2d -f+fcos2xd2x-x+isin2x+C. 例18求∫cscxdx 1 sinx 2sin5cos号 2 tancos2 de吃-nlan}+C 2 tan 2 3
高等数学教案 第四章不定积分 =In csc x-cotx |+C. 例19求[secxd=In secx+tanx|+C 解js小cxd=小esc6x+k=-injesc6r+-coi(r++c =In |secx tanx+C. 20 [cos3xcos2xdx=[(cosx+cos5x)dx sinx++C. 10 二、第二类换元法 定理2设x=y(t)是单调的、可导的函数，并且w'(t)≠0.又设f[y(t)]w'(t)具有原 函数，则有换元公式 Srods-d 其中w(x)为x=y(t)的反函数. 证设f[w(t)]w'(t)的原函数为①(t),记 D(t)=D[w-(x】=F(x) 利用复合函数及反函数的求导法则，得到 F')=地立=fw0w'o=fwe1=f) dt dx w'() 即Fx)是f(x)的原函数.所以有 Sf()d=F)+Cc- 例21求W2-xdk(a>0. 解设asi血t,受<1<受，那么 √a-r2=√a2-a2sin2i=acost,dk-acostd1,于是 adx=facost-acostdt -acod(+sin2)+C. 因为1=arcsin兰，5in21=2sin1cos1=2匠=卫，所t以 aa 小匠-rk=a+sin20+C=号aresin+2后-+c. 2 a 2
高等数学教案 第四章不定积分 例2求产 解设=aank-受a时，设x=asec1(0a,于是 =-之。=c =-ln(-x+/x2-a2)+C =I-g+C-Im(-x--d)+G. a2 其中C1=C-2na. 综合起米有 5
高等数学教案 第四章不定积分 结论： (1)在被积函数中，对以下的根式，可设置以下的变量替代式，以去掉根号. ax+b, 可设√ax+b=t Va2-x2, 可设x=asin t(a>0) √r2-a2, 可设r=asect(a>0)Vx2+a2, 可设x=atant (a>0) (2)要注意的是：当对新变量t的不定积分求出后，要代回原来的变量x. (3)倒代换一利用它常可消去被积函数的分母中的变量因子x. 例24求 va-xds (x-0) 解语x=1,那么水=一2，于是 1/)4 =-jay'-id= 2a小amyr1dam-ly 1 a-D+c@y +d 3a2 3a2x3 当<0时，有相同的结果。 补充公式 (16)tanxdx=-In|cosx|+C, (17)cotxax=In|sinx|+C, (18)fsecxdx=In|secx+tanx+C, (19)[cscxdx=In|cscx-cotx|+C, (20)rctanC. a a 2a=a2+c, 2a x+a d _=I(x+Vx2+a')+C, 6
高等数学教案 第四章不定积分 dx 例26求 V1+x-x2 d(x-) d 解 arcsin 2x-1