高等数学教案 第六章定积分的应用 第三节定积分在物理学上的应用 教学内容：一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力 教学目标：使学生进一步理解元素法，能利用元素法建立如变力沿直线所作的功、水压力及 引力等物理量的积分表达式，并通过积分求得这些量的值。 教学重点与难点：用元素法建立实际问题的积分表达式 教学方法：讲授 作 业：P2911,2,5,6,10 教学过程： 一、变力沿直线所作的功 例1把一个带电荷量+9的点电荷放在r轴上坐标原点O处，它产生一个电场.这个电 场对周围的电荷有作用力.由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 O为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为 F=k9(k是常数). 当这个单位正电荷在电场中从=a处沿r轴移动到=b(<b)处时，计算电场力F对它所作的 功 解在r轴上，当单位正电荷从r移动到+r时， 电场力对它所作的功近似为k9山， 即功元素为dm=k马h. 于是所求的功为 w=g=[老-q合为 例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体.在等温条件下，由于气体的膨 胀，把容器中的一个活塞（面积为S9从点α处推移到点b处.计算在移动过程中，气体压力所 作的功 解取坐标系（见课P288,图6-28所示）.活塞的位置可以用坐标x来表示.由物理学 知道，一定量的气体在等温条件下，压强P与体积V的乘积是常数k,即
高等数学教案 第六章定积分的应用 pt或p台 因为=xS,所以作在活塞上的力为 F=p.S=k.S=k 当活塞从x移动到x+时，变力所作的功近似为冬在，即功元素为dw=上k. 于是所求的功为 m-本=n此=n合 a 例3一圆柱形的贮水桶高为5m,底圆半径为3m,桶内盛满了水.试问要把桶内的水全 部吸出需作多少功？ 解作x轴（见课本P289,图6-29所示）.取深度x为积分变量.它的变化区间为[0,5]， 相应于[0,5]上任小区间，x+d]的一薄层水的高度为d.水的比重为9.8kN/m,因此如x的 单位为m,这薄层水的重力为9.8π3k.这薄层水吸出桶外需作的功近似地为 dW=88.2πxdk, 此即功元素.于是所求的功为 F=小882a=8258=82r空 二、水压力 从物理学知道，在水深为h处的压强为p=h,这里Y是水的比重.如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为 P=pA. 如果这个平板铅直放置在水中，那么，由于水深不同的点处压强p不相等，所以平板所 受水的压力就不能用上述方法计算 例4一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水.设桶的底半径为R, 水的密度为P,计算桶的一个端面上所受的压力. 解桶的一个端面是圆片，与水接触的是下半圆.取坐标系（见课本P290,图6-30(b) 所示). 在水深x处于圆片上取一窄条，其宽为，得压力元素为 dP=2pgxvR2-xdx. 所求压力为 2
高等数学教案 第六章定积分的应用 P=f2pgxR2-xd=-p8"(R2-x)d(R2-x2) =gR2-6-2警e 三、引力 从物理学知道，质量分别为m1、m2,相距为r的两质点间的引力的大小为 F=Gm 2, 其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点连线方向. 如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化 的，且各点对该质点的引力的方向也是变化的，就不能用上述公式来计算 例5设有一长度为1、线密度为P的均匀细直棒，在其中垂线上距棒α单位处有一质量 为m的质点M.试计算该棒对质点M的引力. 解取坐标系（见课本P291,图6-31所示).使棒位于y轴上，质点M位于x轴上，棒 的中点为原点O.由对称性知，引力在垂直方向上的分量为零，所以只需求引力在水平方向 的分量.取y为积分变量，它的变化区间为-1在-分为上y点取长为小的一小段， 其质量为，与M相距r=√a2+y2.于是在水平方向上，引力元素为 dF =G mpdy -a a2+y2a2+y2 =-G、amp (a2+y2)32 于是得引力在水平方向的分力为 F.=-EG ampdy a21,213/2=-2Gnm 1 aV4a2+12 由对称性知，引力在铅直方向分力为F,=0 3
