高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 第二节偏导数 教学内容：偏导数的定义及其计算法，高阶偏导数. 教学目标：理解偏导数的概念，会求多元函数的偏导数和高阶偏导数， 教学重点：偏导数的定义，判断二元函数偏导数的存在性，多元函数的偏导数的计算. 教学难点：判断二元函数偏导数的存在性，计算多元函数的偏导数。 教学方法：新课讲授法 作 业：p621,2,3,4,6,7,8. 教学过程： 一、偏导数的定义及其计算法 1.偏导数的定义 回顾一元函数的导数的概念。 对于二元函数z=x,y),如果只有自变量x变化，而自变量y固定，这时它就是x的一 元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数z=x,)对于x的偏导数。 定义设函数z=x,y)在点(0,0)的某一邻域内有定义，当y固定在%而x在xo处有增 量△x时，相应地函数有增量 fxo+△x,yo)-x0,y%). 如果极限 lim f(xo+Ax,Yo)-f(o:Yo) △x→0 Ar 存在，则称此极限为函数2=x,y)在点(x,0)处对x的偏导数，记作 x=,xx=,或f(x00) y=yo 例如 f (xo,yo)=lim f(x+△x,o)-f(xo,yo) Ax→0 △x 类似地，函数z=x,y)在点(o,o)处对y的偏导数定义为 lim f(xo,%+△y)-f(xo,yo) △y0 △
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 记作 X=x0 zx=,或(xo,o) y=yo 偏导函数：如果函数=x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个 偏导数就是x、y的函数，它就称为函数=x,y)对自变量x的偏导函数，记作 oz of 亦’应，x,或f化，y). (x,y)=lim f(x+△x,y)-f(x,y) △X0 △x 类似地，可定义函数z=x,)对y的偏导函数，记为 ,或0). dz of (x.y)=lim I.y+Av)-f(x.y) 4'->0 △y 求斗时，只要把y暂时石作常量而对x求导数：求斗时，只要把x暂时看作常量而 Cx 对y求导数. 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数，例如三元函数=x,y,z)在点(x,y,2)处对x 的偏导数定义为 (x,y,z)=lim- f(x+△x,,z-f(x,y,z △x-0 △x 其中（化，y,z)是函数=x,八，z)的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数的微分法间 题、 2.偏导数的计算 例1求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数. 解把y看作常量，得 Oz=2x+3y 8x 把x看作常量，得 2=3x+2y d 将(1,2)代入上面的结果，就得 8=21+32=8, =31+2-2=7. 2
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 例2求z=x2sin2y的偏导数. 解 =2xsin 2y. 1=2x2c0s2y 例3设z=x(x>0,x≠），求证：应+1应=22. y dx Inx dy 证因为 z =x, Ox 2=x'Ix, Cy 所以 X0+1+1x+x=22 y ax Inx dy y Inx 例4求r=Vx2+y2+z2的偏导数。 解把y和z都看作常量，得 Or -x Vx2+y2+22 r 由于所给函数关于自变量的对称性，所以 ory or z 0yr’zr 例5已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常量)，求证： op Ov.OT=-1. ay aT ap 证因为 p影阳：g部丹T-货多只 P'OT p R'OpR 所以 ep.Ov.OT-_RT.R.V_RT--1. av aT ap v2 p R pT 这表明偏导数的记号是一个整体，不能看成分子与分母的商， 3.二元函数的偏导数的几何意义 设M,(xo,yo,f(xo,yo)为曲面z=f(x,y)上的一点，过M。作平面y=yo,截此曲 面得一曲线，此曲线在平面y=,上的方程为z=fx,,,则导数止fx,)儿，即 dx 3
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 偏导数∫，(xo,y),就是这曲线在点M。处的切线MT对x轴的斜率.同样，偏导数 ∫，(xo,yo)的几何意义是曲面被平面x=x。所截得的曲线在点M。处的切线MT,对y轴 的斜率。 我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续.但对于多元函 数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续，这是因为各偏导数存在 只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P时，函数值f(P)趋于f(P。),但不能保证点 P按任何方式趋于P,时，函数值f(P)都趋于f(P),例如，函数 =川=+少，x+y2≠0， 0, x2+y2=0, 在点(0,0)对x的偏导数为 f,(0,0)=l1im f0+△x,0)-f0,0=0 △x 同样有 f,(0,0)=lim f(0,0+△y)-f(0,0=0 △y-0 △y 但是我们在第一节中已经知道这函数在点(0,0)并不连续， 二、 高阶偏导数 设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数 正=f(x,, E 正=f,x,川， 那么在D内∫(x,y)、f,(x,y)都是x,y的函数.如果这两个函数的偏导数也存在，则 称它们是函数 z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数： 8(oz8z =f(x,y), ayax)axo -=f(x,y), 00z∂2z =f(x,y), =f(x,y) Oyax dy(av
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 其中第二、三个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及阶偏导数.二阶及二 阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 例6设z=x3y2-3y3-y+1,求 a2z∂2za2z 及 dyox axoy 02 a3. 解 2=3x2y2-3y3-y, =2x3y-9y2-x: Ox Oy 0z 02z dr2 =6xy2, =6x2y-9y2-1: Ovox ∂2z 022 =2x3-18xy: Oxoy =6x2y-9y2-1, ⊙3 0z dr3 =6y2. 我们看到例5中两个二阶混合偏导数相等，即0二=：这不是偶然的。事实上， Oyox Oxoy 我们有下述定理. 定理如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数 2z及 Oyox 三在区域D内连续， axo 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 例7验证函数z=nVx2+y2 满足方程 a2z,∂2z =0. 证因为z=nV2+y=n(x2+y2. 所以 0z Oz y xx2+y2’ 0yx2+y2, 022x2+y2)-x2xy2-x3 0x2(x2+y2)2 (r2+y2℉1 82z (x2+y2)-y2y x2-y2 02(x2+y2)2 (x2+y27 5
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 因此 a2z∂2z.y2-x2x2-y2 dx2 022+y2y2+2 明函数满足方移等0，中rP+士甲 例8 证 1ar-1.x=-X dx r2 Ox r2 r r3 021,3x.0r13x2 三一 三一 由于函数关于自变量的对称性，所以 ∂2u1+3y22u13z 因此 0"+0+0-3+3r+y+z)-3+3 ax202 &2 3 rs 3 0. 例7和例8中两个方程都叫做拉普拉斯Laplace)方程，它是数学物理方程中一种很重要 的方程。 小结：本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点）偏导数的定 义及存在条件和求法，这是多元函数微分学的基础
