高等数学教案 第七章微分方程 第七章微分方程 第一节常微分方程的基本概念 教学内容：微分方程，阶，解，通解，初始条件等概念。 教学目标：1、理解微分方程的相关概念； 2、会验证所给函数是否为某个微分方程的解： 3、能根据条件写出相应的微分方程 教学重点：微分方程，阶，解，通解，初始条件等概念 教学难点：根据条件写出相应的微分方程 教学方法：讲授法 作业：P2981-6 教学过程： 一、有关微分方程的基本概念： 定义1.微分方程、常微分方程、常微分方程的阶、高阶常微分方程： ①含有未知函数、未知函数的导数（或微分）与自变量之间的关系的方程称为微分方程。 ②未知函数是一元的微分方程为常微分方程。 ③常微分方程中所含未知函数导数的最高阶数，称为该常微分方程的阶。 ④通常把二阶及二阶以上的常微分方程称为高阶常微分方程。 例1：微分方程y'-3y+2x=0→常微分方程→1阶： 微分方程y”-6y+7y=e3x→2阶，高阶微分方程。 定义2.微分方程的（通）解、特解、初始条件与初值问题： ①如果将函数y=f(x)代入微分方程能使方程成为恒等式，则称函数y=f(x)为该微 分方程的解。 ②如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与该方程的阶数相同，则称 这样的解为常微分方程的通解。不含任意常数的解称为常微分方程的特解。 ③用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为求解通解中任意常数的条件，称为 初始条件。因而，一阶常微分方程的初始条件为：」 y(xo)=yo (xo,y为已知数)： y(xo)=yo 二阶常微分方程的初始条件为： ,(x,y6为已知数) y(xo)=v 求常微分方程满足初始条件的特解的问题，称为初值问题。 例2.①函数y=C,e+C,e2x(C,C,为任意常数为二阶常微分方程
高等数学教案 第七章微分方程 y"-3y'+2y=0的通解： ②函数y=-e*+e2x为方程y”-3y'+2y=0满足初始条件y(0)=0,y'(0)=1的 特解。（学生验证） 定义3.线性常微分方程： 如果微分方程中所含未知函数及各阶导数的项全是一次项，则称该微分方程为线性微分 方程。 例3.方程y'+y=0是一阶线性常微分方程；方程y”-6y'+7y=e3x是二阶线性常 微分方程： 但方程y”-3yy'=2x不是线性常微分方程. 定义4.线性相关、线性无关： 刚才我们已经验证：函数y=Ce+C,e2x(C,C,为任意常数为二阶常微分方程 y”-3y'+2y=0的通解，这里C,C,为什么是任意常数？引出定义： 设y1=y,(x),y2=y2(x)是定义在(a,b)内的函数，对任意的x∈(a,b)总有 ky,+k2y2=0(k1,k2是数)。当k1,k2不全为零时，称函数y,y2在区间(a,b)内线性相 关：当k=k2=0时，称函数y1,y2在区间(a,b)内线性无关。同样，对于n个函数我们相 应的可以得到他们线性相关、无关的定义。 例4.(1)e与3ex线性相关： (2)e与e2x线性无关，因此，函数y=C,e"+C,e2x中任意常数C,与C,是独立 的。 二、本节小结 本讲重点是有关微分方程的基本概念