高等数学教案 第七章微分方程 第六节高阶线性微分方程 教学内容：1、二阶线性微分方程举例： 2、二阶线性微分方程解的结构； 3、常数变易法 教学目标：熟练掌握二阶线性微分方程的求解方法 教学重点：二阶线性微分方程的求解方法 教学难点：常数变易法 教学方法：讲练结合 作业：P3311,3,4(2),(⑤：*6,8 教学过程： 本节和下一节，我们学习实际问题中应用较多的高阶线性微分方程，讨论时以二阶线性 微分方程为主。 一、二阶线性微分方程举例： 例1.设有一个弹簧，他的上端固定，下端挂一个质量为m的物体，当物体处于静止状 态时，作用在物体上的重力与弹性力大小相等、方向相反。这个位置就是物体的平衡位置， 如果给物体一个出速度。≠0，通过分析，我们得到在有阻尼情况下物体自由振动的微分 方程： d-x n+k2x=0。 2+2 如果物体还受到铅直干扰力F=H sin pt作用，则 d2x +2n本+kx=h5血p1h=,这就是强迫振动的微分方程 例2.设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路，其中R、L及C 为常数，电源电动势是时间t的函数：E=E,snot,这里Em、o也是常数。通过分析， 我们得到串联电路的振荡方程 d+26+2=C di Esin ot。 定义：从上面我们得到形如☆+心】 +Q(x)y=f(x)的方程，我们称为二 dx 阶线性微分方程。 当方程右端f)=0时，即 ,2+P(x)少+O(x)y=0,我们称为三阶线性齐次微■ dx 分方程：
高等数学教案 第七章微分方程 当方程右端f)≠0时，即十 在2+PC)+Ox)y=x)·我们称为二阶线性罪 dx 齐次微分方程。 二、二阶线性微分方程解的结构： （一）二阶齐次线性微分方程 在2+Px+Ox)y=0(*) dx 定理1如果函数y,(x)和y2(x)是方程(*)的两个解，那么 y=Cy(x)+C2y2(x)(C1,C,为任意常数)是(*)的解。 说明：①定理没有说y=Cy,(x)+C2y2(x)是通解； ②可以看出，齐次线性微分方程的解符合叠加原理。 定理2如果函数y(x)和y,(x)是方程(*)的两个线性无关的特解，那么 y=Cy (x)+C2y2(x) (C1,C2为任意常数)是(*)的通解。 前面我们学习了函数线性相关、无关的定义，在此基础上我们有： 定理1-2（合）（二阶齐次线性微分方程的解的叠加原理）如果函数y,(x)和y,(x)是 方程(*)的两个解，那么y=Cy,(x)+C2y2(x)(C,C,为任意常数)是(*)的 解：且当y,(x)和y,(x)线性无关时，y=Cy,(x)+C2y2(x)是齐次线性微分方程(*) 的通解。 证明：（带入验证即可得到证明，略）。 例3.求方程y"+y=0的通解。 解：这是二阶线性齐次方程（这里P(x)=0,Q(x)=1), 容易验证：y1=cosx,y2=sinx是方程的两个解，且 上=sinX=tanx≠常数，即线性无关。 y cosx 所以，方程的通解为：y=C,cosx+C,sinx(其中C、C,是任意常数)。 从定理2不难推广到n阶奇次线性方程， 推论：如果y(x),y2(x),yn(x)是n阶奇次线性方程 y0+a,(x)ym-+…+an-(x)y"+an(x)y=0的n个线性无关的解，那么此方程的通 解为y=Cy,(x)+C2y2(x)+.+Cnyn(x),其中C1,C2,Cn是任意常数。 (二)二阶非齐次线性微分方程+P()少+Qxy=f)一(*) 2 d 2
高等数学教案 第七章微分方程 定理3.设y°(x)是二阶非奇次线性微分方程(*)的一个特解，Y(x)是其奇次方程(*) 的通解，那么y=Y(x)+y(x)是(*)的通解。 证明：（代入验证可以得到，略）。 例4.已知y(x)=x2-2方程y"+y=x2的特解，求方程的通解。 解：此方程为二阶非奇次线性微分方程， 对应的奇次方程为y"+y=0,其通解为y=C,cosx+C2sinx(其中C、C2是 任意常数) 由定理3可得原方程通解为：y=C,cosx+C2sinx+x2-2(其中C、C2是任 意常数)。 例4中非奇次线性微分方程的特解给出了，如果在求非奇次线性微分方程的时候并没 有给出特解，在处理问题的时候就需要自己求出来，下面给出一个求非奇次线性微分方程特 解的定理。 定理4.设非奇次线性微分方程(*)的右端f(x)是几个函数之和的形式， +P要+ep=i+5, 如y dx 而y1(x)与y2(x)分别是方程 d+p d +Q(x)y=(x)与 d2y c42 +P)少+0y=,)的特解，那么)+，)就是原方程的特解。 dx 证明：（代入验证即可得到，略）。 说明：①这一定理通常称为非奇次线性微分方程的解的叠加原理。 ②定理3、4可以推广到n阶非奇次线性方程（由学生自己完成)。 (三)常数变易法解二阶非奇次线性微分方程 前面我们利用常数变易法解一阶非齐次线性微分方程，将对应奇次方程通解中的C换 成C(x),对于二阶非奇次线性微分方程同样可以利用常数变易法。比如， +P)少+Q(xy=0的通解是 d42 Yx)=Cy()+C2y,(x)，那么 d'y 气+P(x+O()y=fx)的通解为 d Y(x)=C(x)y,(x)+C2(x)y2(x). 至于如何解出C(x)、C,(x)有兴趣的同学课下自学，这里的说明只作为了解。 三、本节小结： 这一节我们重点学习了二阶线性微分方程的定义和二阶线性微分方程解的结构的相关
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