习题一 1.1写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合： (1)随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）： 设事件A表示：平均得分在80分以上。 (2)随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和： 设事件A表示：第一颗掷得5点： 设事件B表示：三颗骰子点数之和不超过8点。 (3)随机试验：一个口袋中有5只球，编号分别为1,2,3,4,5，从中取三个球： 设事件A表示：取出的三个球中最小的号码为1。 (4)随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数： 设事件A表示：至多只要投50次。 (5)随机试验：将长度为1的线段任意分为三段，依次观察各段的长度。 1.2在分别标有号码18的八张卡片中任抽一张 (1)写出该随机试验的样本点和样本空间： (2)设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的 卡片”，事件C为“抽得一张标号能被3整除的卡片”。 试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？ (a)AB:(b)A+B:(⊙B:(dA-B:(⊙BC:(DB+C。 13设A、B、C是样本空间的事件，把下列事件用A、B、C表示出来： (1)A发生： (2)A不发生，但B、C至少有一个发生： (3)三个事件恰有一个发生： (4)三个事件中至少有两个发生： (5)三个事件都不发生： (6)三个事件最多有一个发生： (7)三个事件不都发生。 1.4设2={1,2,3，…，10}，A={2,3,5},B={3,5,7},C={1,3,4,7乃，求下列事件： (1)AB: (2)A(BC) 1.5设A、B是随机事件，试证：(A-B)+(B-A)=AB+AB。 1.6在11张卡片上分别写上Probability这11个字母，从中任意抽取7张，求其排列结果为 ability的概率。 1.7电话号码由6位数字组成，每个数字可以是0,1,2，…，9中的任一个数字（但第一 位不能为0)，求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。 1.8把10本不同的书任意在书架上放成一排，求其中指定的3本书恰好放在一起的概率。 32
３２ 习题一 1.1 写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合： （1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）； 设事件 A 表示：平均得分在 80 分以上。 （2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和； 设事件 A 表示：第一颗掷得 5 点； 设事件 B 表示：三颗骰子点数之和不超过 8 点。 （3）随机试验：一个口袋中有 5 只球，编号分别为 1，2，3，4，5，从中取三个球； 设事件 A 表示：取出的三个球中最小的号码为 1。 （4）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数； 设事件 A 表示：至多只要投 50 次。 （5）随机试验：将长度为 1 的线段任意分为三段，依次观察各段的长度。 1.2 在分别标有号码 1~8 的八张卡片中任抽一张。 （1）写出该随机试验的样本点和样本空间； （2）设事件 A 为“抽得一张标号不大于 4 的卡片”，事件 B 为“抽得一张标号为偶数的 卡片”，事件 C 为“抽得一张标号能被 3 整除的卡片”。 试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？ （a） AB ； (b) A + B ； (c) B ； (d) A − B ； (e) ； (f) B +C 。 1.3 设 、 B 、C 是样本空间的事件，把下列事件用 A 、 B 、C 表示出来： （1） 发生； （2） 不发生，但 B 、C 至少有一个发生； （3）三个事件恰有一个发生； （4）三个事件中至少有两个发生； （5）三个事件都不发生； （6）三个事件最多有一个发生； （7）三个事件不都发生。 1.4 设 = {1,2,3, ,10}， A = {2,3,5}， B = {3,5,7}，C = {1,3,4,7} ，求下列事件： （1） A B ； （2） 。 1.5 设 、 B 是随机事件，试证： (A − B) + (B − A) = AB + A B 。 1.6 在 11 张卡片上分别写上 Probability 这 11 个字母，从中任意抽取 7 张，求其排列结果为 ability 的概率。 1.7 电话号码由 6 位数字组成，每个数字可以是 0，1，2，…，9 中的任一个数字（但第一 位不能为 0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。 1.8 把 10 本不同的书任意在书架上放成一排，求其中指定的 3 本书恰好放在一起的概率。 BC A A A A(BC) A
1.9为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组10队）进行比赛。求最强的两 个队被分在不同组内的概率。 1.10在桥牌比赛中，把52张牌任意分给东、南、西、北四家（每家13张），求北家的13 张牌中： (1)恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率。 (2)恰有大牌A、K、Q、J各一张，其余为小牌的概率。 111从0,1,2，…，9十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： (1)A={三个数字中既不含0，也不含5}： (2)A,={三个数字中不同时含有0和5}： (3)A,={三个数字中含有0，但不含5}。 1.12一学生宿舍有6名学生，求： (1)6个人的生日都在星期天的概率： (2)6个人的生日都不在星期天的概率： (3)6个人的生日不都在星期天的概率。 1.13将长为a的细棒折成三段，求这三段能构成三角形的概率。 1.14A、B是随机事件，已知P(A)=a,P(B)=b,P(AB)=c,求： (1)P(A+B):(2)P(AB):(3)P(AB):(4)P(A+B)。 1.15设A、B、C是事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(BC)=P(AC)=1/8, P(AB)=0,求A、B、C都不发生的概率。 1.16设A、B是随机事件，且满足P(AB)=P(AB)和P(A)=p,求P(B)。 1.17设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，己知取出的两件中至少有一件是不合 格品，问：两件都是不合格品的概率是多少？ 1.18两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是 0.02。加工出来的零件放在一起，并且己知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。 (1)求任意取出的零件是合格品的概率。 (2)如果已知任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率。 33
３３ 1.9 为了减少比赛场次，把 20 个球队任意分成两组（每组 10 队）进行比赛。求最强的两 个队被分在不同组内的概率。 1.10 在桥牌比赛中，把 52 张牌任意分给东、南、西、北四家（每家 13 张），求北家的 13 张牌中： （1）恰有 5 张黑桃、4 张红心、3 张方块、1 张草花的概率。 （2）恰有大牌 A、K、Q、J 各一张，其余为小牌的概率。 1.11 从 0，1，2，…，9 十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： （1） {三个数字中既不含 0，也不含 5}； （2） A2 = {三个数字中不同时含有 0 和 5}； （3） A3 = {三个数字中含有 0，但不含 5}。 1.12 一学生宿舍有 6 名学生，求： （1）6 个人的生日都在星期天的概率； （2）6 个人的生日都不在星期天的概率； （3）6 个人的生日不都在星期天的概率。 1.13 将长为 a 的细棒折成三段，求这三段能构成三角形的概率。 1.14 、 B 是随机事件，已知 P(A) = a， P(B) = b ， P(AB) = c ，求： （1） P(A + B) ； （2） P(A B) ； （3） P(AB) ； （4） P(A + B) 。 1.15 设 、 B 、C 是事件，已知 P(A) = P(B) = P(C) = 1/ 4 ， P(BC) = P(AC) = 1/8 ， P(AB) = 0 ，求 、 B 、C 都不发生的概率。 1.16 设 、 是随机事件，且满足 P(AB) = P(A B) 和 ，求 P(B) 。 1.17 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知取出的两件中至少有一件是不合 格品，问：两件都是不合格品的概率是多少？ 1.18 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是 0.03，第二台出现废品的概率是 0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。 （1）求任意取出的零件是合格品的概率。 （2）如果已知任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率。 A1 = A A A A B P(A) = p
1.19已知5%的男性和0.25%的女性患有色盲，随机选取一人，经查确定为色盲。求此人是 男性的概率（假定男性和女性各占总人数的一半）。 1.20设A、B是随机事件，且满足P(BA)=P(BA),证明事件A、B是相互独立的。 121设A、B是随机事件，且P(A)>0,P(B)>0。证明事件A、B相互独立与互不 相容不能同时成立。 1.22三人独立地破译一个密码，他们各自能译出的概率分别为a,b,c,问三人中至少 有一人能将此密码译出的概率是多少？ 1.23设A、B是随机事件，假定P(A)=0.4,而P(A+B)=0.7,令P(B)=p。 (1)p取何值时才能使A、B互不相容？ (2)p取何值时才能使A、B相互独立？ 1.24一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9， 第二台等于0.8，第三台等于0.7。求：在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的 概率。 1.25已知某篮球运动员每次投篮的命中率为0.7，求该运动员五次投篮，至少投中两次的 概率（假设各次投篮都是独立的随机事件）。 1.26某工厂生产过程中出现次品的概率为0.05，对某批产品检验时，用如下方法：随机取 50个，如果发现其中的次品不多于一个，则认为该批产品是合格的。问：用这种方法认为该 批产品合格的概率是多少？ 1.27已知每支枪射击飞机时，击中飞机的概率为p=0.004,各支枪能否击中飞机是相互 独立的。求： (1)250支枪同时进行射击，飞机至少被击中一次的概率： (2)需要多少支枪同时进行射击，才能以99%以上的概率保证至少击中一次飞机？ 1.28甲、乙、丙三人相互独立地向同一飞机射击，设每个人击中飞机的概率都是0.4。如果 只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2：如果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6： 如果三人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。 34
３４ 1.19 已知 5%的男性和 0.25%的女性患有色盲，随机选取一人，经查确定为色盲。求此人是 男性的概率（假定男性和女性各占总人数的一半）。 1.20 设 、 B 是随机事件，且满足 P(B A) = P(B A) ，证明事件 、 B 是相互独立的。 1.21 设 、 B 是随机事件，且 P(A) 0 ， P(B) 0 。证明事件 、 B 相互独立与互不 相容不能同时成立。 1.22 三人独立地破译一个密码，他们各自能译出的概率分别为 a ，b ，c ，问三人中至少 有一人能将此密码译出的概率是多少？ 1.23 设 、 B 是随机事件，假定 P(A) = 0.4 ，而 P(A + B) = 0.7 ，令 P(B) = p 。 （1） p 取何值时才能使 、 B 互不相容？ （2） p 取何值时才能使 、 B 相互独立？ 1.24 一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于 0.9， 第二台等于 0.8，第三台等于 0.7。求：在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的 概率。 1.25 已知某篮球运动员每次投篮的命中率为 0.7，求该运动员五次投篮，至少投中两次的 概率（假设各次投篮都是独立的随机事件）。 1.26 某工厂生产过程中出现次品的概率为 0.05，对某批产品检验时，用如下方法：随机取 50 个，如果发现其中的次品不多于一个，则认为该批产品是合格的。问：用这种方法认为该 批产品合格的概率是多少？ 1.27 已知每支枪射击飞机时，击中飞机的概率为 p = 0.004 ，各支枪能否击中飞机是相互 独立的。求： （1）250 支枪同时进行射击，飞机至少被击中一次的概率； （2）需要多少支枪同时进行射击，才能以 99%以上的概率保证至少击中一次飞机？ 1.28 甲、乙、丙三人相互独立地向同一飞机射击，设每个人击中飞机的概率都是 0.4。如果 只有一人击中，则飞机被击落的概率为 0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率为 0.6； 如果三人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。 A A A A A A A
习题解答 习题一 1.1(1)样本空间可以表示为2={01,2,3，…，100}：事件A={81,82,…,100}。 (2)样本空间可以表示为2={3,4,5，…，18}：事件A={7,8,…,17},B={3,4,…,8}。 (3)样本空间可以表示为2={1,2,3)，(1,2,4)，(，1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)， (2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}:事件A={1,2.3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}。 (4)样本空间可以表示为2={10,11,12，}：事件A={10,11,12,…,50}。 (5)样本空间可以表示为2={(x,y,x+y+二=1，x>0,y>0,z>0}。 1.2(1)设样本点0，表示“抽到i号卡片”(i=1,2,…,8),样本空间可以表示为 2={01,02,…,0g}: (2)AB={02,⊙，}表示“抽到标号不大于4且是偶数的卡片”： A+B={01,⊙2，@3，⊙4，⊙6,0g}表示“抽到标号不大于4或者是偶数的卡片”： B={01,03,0,0,}表示“抽到标号是奇数的卡片”： A-B=AB={⊙，⊙3}表示“抽到标号不大于4而且是奇数的卡片”： BC={@1,02,0,04,0,01,0s}表示“抽到标号不能同时既是偶数又能被3整除 (即标号不是6的倍数)的卡片”： B+C=BC={@1,0,07}表示“抽到标号是奇数而且不能能被3整除的卡片”。 1.3(1)A: (2)A(BC+BC+BC)A(B+C): (3)ABC+ABC+ABC: 35
３５ 习题解答 习题一 1.1（1）样本空间可以表示为 ；事件 A = {81,82, ,100} 。 （2）样本空间可以表示为 ；事件 A = {7,8, ,17}，B = {3,4, ,8}。 （3）样本空间可以表示为 = {(1,2,3),(1,2,4),(,1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4), (2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)} ；事件 A = {(1,2.3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}。 （4）样本空间可以表示为 = {10,11,12, } ；事件 A = {10,11,12, ,50}。 （5）样本空间可以表示为 ={(x, y,z) x + y + z =1, x 0, y 0,z 0}。 1.2 （1）设样本点 i 表示“抽到 i 号卡片”( i = 1, 2, ,8 )，样本空间可以表示为 { , , , } = 1 2 8 ； （2） { , } AB = 2 4 表示“抽到标号不大于 4 且是偶数的卡片”； { , , , , , } A+ B = 1 2 3 4 6 8 表示“抽到标号不大于 4 或者是偶数的卡片”； { , , , } B = 1 3 5 7 表示“抽到标号是奇数的卡片”； { , } A − B = AB = 1 3 表示“抽到标号不大于 4 而且是奇数的卡片”； { , , , , , , } BC = 1 2 3 4 5 7 8 表示“抽到标号不能同时既是偶数又能被 3 整除 （即标号不是 6 的倍数）的卡片”； { , , } B +C = B C = 1 5 7 表示“抽到标号是奇数而且不能能被 3 整除的卡片”。 1.3（1） ； （2） A(BC + BC + BC) 或 A(B +C) ； （3） A B C + A B C + A B C ； = {0，1,2,3, ,100} = {3,4,5, ,18} A
(4)ABCABCABC+ABCAB+AC+BC: (5)ABC或A+B+C: (6)ABC+ABC+ABC+ABC BC+AC+AB: (7)ABC或A+B+C。 1.4(1)AB=A+B={2,3,5,7: (2)A(BC)=A+BC={1,3,4,6,7,89,10}. 1.5由事件差的定义、德摩根定律及分配律可知： (A-B)+(B-A)=AB+BA=(A+B(B+A) =AB+AA+BB+BA=AB+AB。 1.6在11张卡片中任意抽7张，依次排成一列，有P1种不同的方法。 要得到ability,每次取一张卡片，如果取卡时，这种字母的卡片只有1张，则只有1种 取法，如果取卡时，这种字母的卡片有2张，则有2种取法。所以， P{连抽7张，排列结果为abiy}=1x2×2×1x1x1x1。 1 P☑ 415800 1.7由6位数字组成的首位不能为0的有重复的排列（作为电话号码）共有9×10种，其 中满足条件的（电话号码是由完全不相同的数字组成）的有9×9×8×7×6×5种。 所以，所求概率为： P(满足条件的电话号码}=9×9×8×7×6x5_9×8×7x6×5】 9×105 105 =0.1512。 1.810本不同的书任意在书架上放成一排，排法的总数为P0=10!。 为了使指定的3本书放在一起，我们可以想象把这三本书“捆绑”在一起作为一个整体 看待，于是10本书就变成了8个物体，8个物体的排法总数有P8=8!种：但这3本书还可 以有P=3!种排法，所以，满足条件的排法共有8！×3！种。 因此，所求概率 36
３６ （4） ABC + ABC + ABC + ABC 或 AB+ AC+ BC ； （5） A B C 或 A+ B +C ； （6） A B C + A B C + A B C + A B C 或 B C + A C + A B ； （7） ABC 或 A + B + C 。 1.4（1） A B = A+ B ={2,3,5,7} ； （2） A(BC) = A + BC = {1,3,4,6,7,8,9,10}。 1.5 由事件差的定义、德摩根定律及分配律可知： (A− B) + (B − A) = AB + BA = (A + B)(B + A) = A B + AA+ BB + BA = AB + A B 。 1.6 在 11 张卡片中任意抽 7 张，依次排成一列，有 7 P11 种不同的方法。 要得到 ability，每次取一张卡片，如果取卡时，这种字母的卡片只有 1 张，则只有 1 种 取法，如果取卡时，这种字母的卡片有 2 张，则有 2 种取法。所以， P {连抽 7 张，排列结果为 ability}= 415800 1 2 2 1 1 1 1 1 7 11 = P 。 1.7 由 6 位数字组成的首位不能为 0 的有重复的排列（作为电话号码）共有 5 910 种，其 中满足条件的（电话号码是由完全不相同的数字组成）的有 998765 种。 所以，所求概率为： P {满足条件的电话号码} 0.1512 10 9 8 7 6 5 9 10 9 9 8 7 6 5 5 5 = = = 。 1.8 10 本不同的书任意在书架上放成一排，排法的总数为 10! 10 P10 = 。 为了使指定的 3 本书放在一起，我们可以想象把这三本书“捆绑”在一起作为一个整体 看待，于是 10 本书就变成了 8 个物体，8 个物体的排法总数有 8! 8 P8 = 种；但这 3 本书还可 以有 3! 3 P3 = 种排法，所以，满足条件的排法共有 8 ! 3! 种。 因此，所求概率
P(其中指定的3本书怡好放在一起}=8x3_1 101=15 ≈0.0667。 1.9解法一我们先来求把20个球队任意分成两组的方法数。注意到每种这样的分法可以 这样得到：从20个球队中任意取出其中的10个队作为一组（剩下的为另一组）。所以共有 C28种不同的分法。 再求满足要求“最强的两个队被分在不同组内”的分法数。每种这样的分法可以这样求 得：先从2个强队中任意取出1个队，有C,种取法，再从18个不是强队的球队中任意取出 9个队，有C种取法，这样取出的10个队作为一组（剩下的为另一组）。所以共有CC 种不同分法。 因此，所求概率为 P{最强的两个队被分在不同组内}= ≈0.5263。 解法二将20个球队任意分成两组（每组10队），可以看作是有两个组，每个组有10个 空位子，共有20个空位子，从这20个空位子中任意选2个位子放强队（其余位子自然是放 其他的队)，共有C种不同做法。 最强的两个队被分在不同组内，相当先于从第一个组的10个空位子中任意选1个位子 放1个强队，再从第二个组的10个空位子中任意选1个位子放1个强队（其余位子自然是 放其他的队)，有CC1种不同做法。 因此，所求概率为 P最强的两个队被分在不同组内}-C%C型-10 0.5263。 C191 1.10北家的13张牌是52张牌中取出13张的组合，共有C种可能。 (1)恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花，相当于从13张黑桃、13张红心、 13张方块、13张草花中分别取5、4、3、1张，组合数是：CCC3C。所以， P恰有5黑桃4红心3方块1草花！-CCCC~0O054. C (2)北家的13张牌中恰有大牌A、K、Q、J各一张，相当于先要从4张A、4张K、4 张Q、4张J中各取1张，有CC4C4C4=4×4×4×4=44种不同取法，再从36张小牌中 取9张，有C6种不同取法，这种情况的组合数是：4×C6。所以， 37
３７ P {其中指定的 3 本书恰好放在一起}= 0.0667 15 1 10! 8! 3! = 。 1.9 解法一 我们先来求把 20 个球队任意分成两组的方法数。注意到每种这样的分法可以 这样得到：从 20 个球队中任意取出其中的 10 个队作为一组（剩下的为另一组）。所以共有 10 C20 种不同的分法。 再求满足要求“最强的两个队被分在不同组内”的分法数。每种这样的分法可以这样求 得：先从 2 个强队中任意取出 1 个队，有 1 C2 种取法，再从 18 个不是强队的球队中任意取出 9 个队，有 9 C18 种取法，这样取出的 10 个队作为一组（剩下的为另一组）。所以共有 9 18 1 C2C 种不同分法。 因此，所求概率为 P {最强的两个队被分在不同组内}= 0.5263 19 10 10 20 9 18 1 2 = C C C 。 解法二 将 20 个球队任意分成两组（每组 10 队），可以看作是有两个组，每个组有 10 个 空位子，共有 20 个空位子，从这 20 个空位子中任意选 2 个位子放强队（其余位子自然是放 其他的队），共有 2 C20 种不同做法。 最强的两个队被分在不同组内，相当先于从第一个组的 10 个空位子中任意选 1 个位子 放 1 个强队，再从第二个组的 10 个空位子中任意选 1 个位子放 1 个强队（其余位子自然是 放其他的队），有 1 10 1 C10C 种不同做法。 因此，所求概率为 P {最强的两个队被分在不同组内}= 0.5263 19 10 2 20 1 10 1 10 = C C C 。 1.10 北家的 13 张牌是 52 张牌中取出 13 张的组合，共有 13 C52 种可能。 （1）恰有 5 张黑桃、4 张红心、3 张方块、1 张草花，相当于从 13 张黑桃、13 张红心、 13 张方块、13 张草花中分别取 5、4、3、1 张，组合数是： 1 13 3 13 4 13 5 C13C C C 。所以， P {恰有 5 黑桃 4 红心 3 方块 1 草花}= 0.0054 13 52 1 13 3 13 4 13 5 13 C C C C C 。 （2）北家的 13 张牌中恰有大牌 A、K、Q、J 各一张，相当于先要从 4 张 A、4 张 K、4 张 Q、4 张 J 中各取 1 张，有 1 4 1 4 1 4 1 C4C C C = 4 4 4 4 4 = 4 种不同取法，再从 36 张小牌中 取 9 张，有 9 C36 种不同取法，这种情况的组合数是： 9 36 4 4 C 。所以
P恰有大牌A、K.0.J各-张-4xC、00380。 1.11从10个数字中任意选出3个不同数字，有C。种不同的选法。 (1)选出三个数字中既不含0，也不含5，相当于从除了0和5以外的其余8个数字中 住意选3个，有C种法法，所，P4D二号三： 15 (2)选出三个数字中不同时含有0和5，相当于全部C种选法中扣除同时含有0和5 的情形。同时含有0和5的情形，相当于先取1个0，再取1个5，再从其余8个数字中任 意选1个，有CCCg=Cg种选法，所以，P(A)= -C-4 15 (3)选出三个数字中含有0，但不含5，相当于先取一个0，再从除了0和5以外的8个 数字中任意选2个，有CC=C种选法，所以.P4)-C0 C-7 1.126个学生，每个人的生日可以是星期天、星期一、…、星期六中的任何一天，都有 7种不同的选择，所以，共有7°种不同的情形。 (1)6人生日都在星期天，每人只有一种选择，所以： P6人生日都在星期天}= 76: (2)6个人的生日都不在星期天，每人有除星期天外的6种选择，总共有66种情形。 66 P{6人生日都不在星期天)= 76: (3)6个人的生日不都在星期天，只要从全部76种情形中除去“6人生日都在星期天” 这一种情形就可以了。所以： P{6人生日不都在星期天}= 76。 1.13设三段长为x,y,2,它们满足x+y+z=a,x>0,y>0,z>0。上述条 件可简写为x>0,y>0,x+y0)。所以，样本空间为 2={(x,yx>0,y>0,x+y<a, 38
３８ P {恰有大牌 A、K、Q、J 各一张}= 0.0380 4 13 52 9 36 4 C C 。 1.11 从 10 个数字中任意选出 3 个不同数字，有 3 C10 种不同的选法。 （1）选出三个数字中既不含 0，也不含 5，相当于从除了 0 和 5 以外的其余 8 个数字中 任意选 3 个，有 3 C8 种选法，所以， 15 7 ( ) 3 10 3 8 1 = = C C P A ； （2）选出三个数字中不同时含有 0 和 5，相当于全部 3 C10 种选法中扣除同时含有 0 和 5 的情形。同时含有 0 和 5 的情形，相当于先取 1 个 0，再取 1 个 5，再从其余 8 个数字中任 意选 1 个，有 1 C1 1 C1 1 C8 1 = C8 种选法，所以， 15 14 ( ) 3 10 1 8 3 10 2 = − = C C C P A ； （3）选出三个数字中含有 0，但不含 5，相当于先取一个 0，再从除了 0 和 5 以外的 8 个 数字中任意选 2 个，有 1 C1 2 8 2 C8 = C 种选法，所以， 30 7 ( ) 3 10 2 8 3 = = C C P A 。 1.12 6 个学生，每个人的生日可以是星期天、星期一、……、星期六中的任何一天，都有 7 种不同的选择，所以，共有 6 7 种不同的情形。 （1）6 人生日都在星期天，每人只有一种选择，所以： {6 人生日都在星期天}= 6 7 1 ； （2）6 个人的生日都不在星期天，每人有除星期天外的 6 种选择，总共有 6 6 种情形。 P {6 人生日都不在星期天}= 6 6 7 6 ； （3）6 个人的生日不都在星期天，只要从全部 6 7 种情形中除去“6 人生日都在星期天” 这一种情形就可以了。所以： P {6 人生日不都在星期天}= 6 6 6 7 1 1 7 7 1 = − − 。 1.13 设三段长为 x ， y ， z ，它们满足 x + y + z = a ， x 0， y 0 ， z 0 。上述条 件可简写为 x 0， y 0， （由于 ）。所以，样本空间为 ， P x + y a z = a − x − y 0 ={(x, y) x 0, y 0, x + y a}
2对应的区域是一个直角边长为a的等腰直角三角形，面积为S。=a/2。 三段长要构成一个三角形，必须满足x+y>2,，y+2>x,x+2>y,由于 x+y=a a 2 0 z=a-x-y,上述条件等价于x+y>a/2,xa/2,x<a/2,y<a/2}, A对应的区域即图中的阴影部分，它的面积为S4=2/8。 因此，所求的概率为P)=S=Q2/8=1 Sa a2124 1.14(1)P(A+B)=P(AB)=1-P(AB)=1-c: (2)P(AB)=P(A+B)=1-P(A+B)=1-[P(A)+P(B)-P(AB] =1-a-b+c: (3)P(AB)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=b-c (4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1-a+b-(b-c)=1-a+c。 1.15因为ABC CAB,所以0≤P(ABC)≤P(AB)=0,可见必有P(ABC)=0: 因此，事件A、B、C都不发生的概率为 P(A.B.C)=P(A+B+C)=1-P(A+B+C) =1-[P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)] 39
３９ 对应的区域是一个直角边长为 a 的等腰直角三角形，面积为 / 2 2 S = a 。 三段长要构成一个三角形，必须满足 ， y + z x ， x + z y ，由于 z = a − x − y ，上述条件等价于 x + y a / 2 ， x a / 2， y a / 2 。 所以，所求事件 A ={三段长能构成三角形}= {(x, y) x + y a / 2, x a / 2, y a / 2}， 对应的区域即图中的阴影部分，它的面积为 /8 2 S A = a 。 因此，所求的概率为 4 1 / 2 /8 ( ) 2 2 = = = a a S S P A A 。 1.14 （1） P(A + B) = P(AB) = 1− P(AB) = 1− c ； （2） P(A B) = P(A + B) = 1− P(A + B) = 1−[P(A) + P(B) − P(AB)] =1− a −b + c ； （3） P(AB) = P(B − A) = P(B) − P(AB) = b − c ； （4） P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 1− a + b − (b − c) = 1− a + c 。 1.15 因为 ，所以 0 P(ABC) P(AB) = 0 ，可见必有 ； 因此，事件 、 B 、C 都不发生的概率为 P(A B C) = P(A + B + C) = 1− P(A + B + C) =1−[P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(BC) − P(AC) + P(ABC)] x + y z A ABC AB P(ABC) = 0 A
++-0-1-1 =1-( 4488 1.16由 P(AB)=P(A B)=P(A+B)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB) 得 P(B)=1-P(A)=1-p。 117记A=(取出的两件中有i件不合格品，则PA)=CC (i=0,1,2)。 o 在已知取出的两件中至少有一件是不合格品的前提下，两件都是不合格品的概率是： P4A+4)=P4)= P(A2) C/Cio PA+A)P4)+P4)CCg1C%+C1C品5° 1.18记A={取自第i台车床}(i=1,2)，B={任意取出的零件是合格品}。 (1)已知P(A)=2/3,P(A,)=1/3,P(BA)=0.97，,P(BA2)=0.98, 由全概率公式得 PB)=P4PB4)+P4JP(B4)3X0.97+X098=0.973 3 (2)在已知取出零件是废品的条件下，它是第二台车床加工的概率，也就是P(A,B)。 由贝叶斯公式可知 P4©)=PL4B-P4,)P⑧4) P(B) P(B) 其中，P(A)=1/3,P(BA2)=0.02,上面(1)中已求出P(B)=0.973,所以， P(B)=1-P(B)=1-0.973=0.027,代入上式，得 P4回=P4_P4)Pa4).002x 3_20 ≈0.247。 P(B)P(B) 0.02781 119设A={确定为色盲}，B={此人为男性}，B={此人为女性}。 由愿意可知P(B)=PE)=7,P4B)=0.05,P40)=0.025. 40
４０ = 2 1 0) 8 1 8 1 0 4 1 4 1 4 1 1− ( + + − − − + = 。 1.16 由 P(AB) = P(A B) = P(A + B) = 1− P(A + B) = 1− P(A) − P(B) + P(AB) 得 P(B) = 1− P(A) = 1− p 。 1.17 记 {取出的两件中有 i 件不合格品}，则 （ i = 0,1, 2 ）。 在已知取出的两件中至少有一件是不合格品的前提下，两件都是不合格品的概率是： 5 1 / / / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 10 2 4 2 10 1 6 1 4 2 10 2 4 1 2 2 1 2 2 2 1 2 = + = + = + + = C C C C C C C P A P A P A P A A P A P A A A 。 1.18 记 {取自第 i 台车床}（ i =1, 2 ） ， {任意取出的零件是合格品} 。 （1）已知 ， P(A2 ) =1/3， P(B A1 ) = 0.97 ， P(B A2 ) = 0.98 ， 由全概率公式得 P(B) = 0.98 0.973 3 1 0.97 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 P B A1 + P A2 P B A2 = + = 。 （2）在已知取出零件是废品的条件下，它是第二台车床加工的概率，也就是 ( ) P A2 B 。 由贝叶斯公式可知 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 P B P A P B A P B P A B P A B = = 。 其中， P(A2 ) =1/3， P(B A2 ) = 0.02 ，上面（1）中已求出 P(B) = 0.973 ，所以， P(B) =1− P(B) =1− 0.973 = 0.027 ，代入上式，得 0.247 81 20 0.027 3 1 0.02 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 = = = = P B P A P B A P B P A B P A B 。 1.19 设 A = { 确定为色盲 } ， B = { 此人为男性 } ， B = { 此人为女性 } 。 由题意可知 P(B) = P(B) = 2 1 ， P(AB) = 0.05， P(A B) = 0.0025。 Ai = 2 10 2 4 6 ( ) C C C P A i i i − = Ai = B = P(A1 ) = 2/3
由贝叶斯公式，得 1 P(B)P(AB) ×0.05 P(BA)= P(B)P(AB)+P(B)P(AB) 20=0.9524。 21 2×0.05+2×0.0025 1.20 由全概率公式和己知条件P(B吲A)=P(BA),得 P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA) =[P(A)+P(A)]P(BA)=P(BA), 所以，事件A、B是相互独立的。 1.21因为P(A)>0,P(B)>0,所以若A、B相互独立，则有P(AB)=P(A)P(B)>0: 若A、B互不相容，则有AB=☑，于是P(AB)=P(O)=0,与上面P(AB)>0矛盾，可 见A、B相互独立与A、B互不相容不能同时成立。 1.22记A={第i人译出密码}(i=1,2,3)。已知P(A)=a,P(A2)=b,P(A3)=c。 显然，A,、A2、A相互独立，所以，三人中至少有一人能将此密码译出的概率是 P(A+42+4)=P(A A2 A3)=1-P(A)P(A2)P(A;) =1-[1-P(A)J[1-P(A2[1-P(A】=1-(1-a1-b1-c)。 1.23(1)要使A、B互不相容，必须有 0.7=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+p, 所以，p=0.7-0.4=0.3。 (2)要使A、B相互独立，必须有P(AB)=P(A)P(B),从而 0.7=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.4+p-0.4p, 所以，p=0.5。 1.24记A={一小时内第i台车床需要工人照管}（i=1,2,3),这些事件显然是相互独立 的。 41
４１ 由贝叶斯公式，得 P(B A) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P B P A B P B P A B P B P A B + 21 20 0.0025 2 1 0.05 2 1 0.05 2 1 = + = ≈ 0.9524 。 1.20 由全概率公式和已知条件 P(B A) = P(B A) ，得 P(B) = P(A)P(B A) + P(A)P(B A) = P(A)P(B A) + P(A)P(B A) = [P(A) + P(A)]P(B A) = P(B A) ， 所以，事件 、 B 是相互独立的。 1.21 因为 P(A) 0 ，P(B) 0 ，所以若 、B 相互独立，则有 P(AB) = P(A)P(B) 0 ； 若 、B 互不相容，则有 AB = ，于是 P(AB) = P() = 0 ，与上面 P(AB) 0 矛盾，可 见 、 B 相互独立与 、 B 互不相容不能同时成立。 1.22 记 Ai = {第 i 人译出密码}（ i =1,2, 3 ）。已知 P(A1 ) = a ， P(A2 ) = b ， P(A ) = c 3 。 显然， A1、 A2、 A3 相互独立，所以，三人中至少有一人能将此密码译出的概率是 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) P A1 + A2 + A3 = P A1 A2 A3 = − P A1 P A2 P A3 1 [1 ( )][1 ( )][1 ( )] 1 (1 )(1 )(1 ) 1 2 3 = − − P A − P A − P A = − − a − b − c 。 1.23 （1）要使 、 B 互不相容，必须有 0.7 = P(A + B) = P(A) + P(B) = 0.4 + p ， 所以， p = 0.7 − 0.4 = 0.3。 （2）要使 、 B 相互独立，必须有 P(AB) = P(A)P(B) ，从而 0.7 = P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) = 0.4 + p − 0.4 p ， 所以， p = 0.5。 1.24 记 Ai = {一小时内第 i 台车床需要工人照管}（ i =1,2, 3 ），这些事件显然是相互独立 的。 A A A A A A A