抽象代数3 YUNCHENGUNIVERSITY 运城学院
抽 象 代 数3 运 城 学 院
3.1群同态与同构的简单性质 1.理解同态、同构的定义 2.掌握同态的两个群之间的关系 3.理解在同构意义下6阶群只有6阶循环群及S3
3.1 群同态与同构的简单性质 1. 理解同态、同构的定义 2. 掌握同态的两个群之间的关系 3. 理解在同构意义下6阶群只有6阶循环群及S3
3.1群同态与同构的简单性质 设G和G是两个群，如果有一个由G到G的映射 p保持运算，即a,b∈G,有p(ab)=p(a)p(b),则 称φ是群G到群G的一个同态映射。 如果还是满射，称其为群G到G的满同态映射， 此时称群G与G同态，记作G~G 如果0还是双射，称其为群G到G的同构映射， 此时称群G与G同构，记作G三G。 自同态映射 自同构映射
3.1 群同态与同构的简单性质 设G和 是两个群，如果有一个由G到 的映射 φ保持运算，即 ，有φ(ab)=φ(a)φ(b)，则 称φ是群G到群 的一个同态映射。 如果φ还是满射，称其为群G到 的满同态映射， 此时称群G与 同态，记作 。 如果φ还是双射，称其为群G到 的同构映射， 此时称群G与 同构，记作 。 自同态映射 自同构映射 G G a b G , G G G G GG G G G
3.1群同态与同构的简单性质 定理：设G是一个群，G是一个代数系统，如 果G~G,则G是群。 两个代数系统同态， 如果前面的是群，则后面的也是群
3.1 群同态与同构的简单性质 定理：设G是一个群， 是一个代数系统，如 果 ，则 是群。 两个代数系统同态， 如果前面的是群，则后面的也是群。 G G G G
3.1群同态与同构的简单性质 )非满同态映射时，不一定有同样的结论。 2)非满同态映射时，可以限制成满同态映射，即 限制成p':G→0(G) x→p(x) 3)推论：设φ是群G到G的同态映射，则G的单 位元的像是G的单位元，G中元素a的逆元的像 是a的像的逆元。即同态映射将单位元映成单位 元，将互逆元映成互逆的元，p(a)=o(a)
3.1 群同态与同构的简单性质 1) 非满同态映射时，不一定有同样的结论。 2) 非满同态映射时，可以限制成满同态映射，即 限制成 3) 推论：设φ是群G到 的同态映射，则G的单 位元的像是 的单位元，G中元素a的逆元的像 是a的像的逆元。即同态映射将单位元映成单位 元，将互逆元映成互逆的元， 。 : ( ) ( ) G G x x → → G G 1 1 ( ) ( ) a a − − =
3.1群同态与同构的简单性质 4)定理反过来不对 5)易知若G、G都是代数系统，且G三G,则G 与G中有一个是群时另一个也是群
3.1 群同态与同构的简单性质 4) 定理反过来不对 5) 易知若G、 都是代数系统，且 ，则G 与 中有一个是群时另一个也是群。 G G G G
3.1群同态与同构的简单性质 定理：设φ是群G到G的一个同态映射，则 1)当H≤G时，有p(H≤G,且H~φHD: 2)当万≤G时，则o'()≤G,且在0之下诱导出 0()到H的一个同态映射。 定理：群G到群G的同态映射φ是单射G的 单位e的逆象只有e
3.1 群同态与同构的简单性质 定理：设φ是群G到 的一个同态映射，则 1) 当H≤G时，有 ，且H~φ(H)； 2) 当 时，则 ，且在φ之下诱导出 到 的一个同态映射。 定理：群G到群 的同态映射φ是单射 的 单位 的逆象只有e。 G ( ) H G H G -1 ( ) H G -1 ( ) H H G G e
3.1群同态与同构的简单性质 例：若6阶群G不是循环群，则G兰S3
3.1 群同态与同构的简单性质 例：若6阶群G不是循环群，则 G S 3
3.2正规子群和商群 1.理解正规子群的定义 2。了解正规子群的例子 3.掌握正规子群的性质 4.掌握商群的定义及性质 5.理解哈密顿群、单群的定义与简单性质
3.2 正规子群和商群 1. 理解正规子群的定义 2. 了解正规子群的例子 3. 掌握正规子群的性质 4. 掌握商群的定义及性质 5. 理解哈密顿群、单群的定义与简单性质
3.2正规子群和商群 设N是群G的子群，如果Va∈G有 aN=Na,即aNal=N 则称N是G的正规子群（不变子群）。 正规子群的一个左陪集也是一个右陪集，因此都 称为陪集。 若N是G的正规子群，记作N☒G 若N不是G的正规子群，记作W女G 若NG,但NG,记作NG
3.2 正规子群和商群 设N是群G的子群，如果 有 aN=Na，即aNa-1=N 则称N是G的正规子群(不变子群)。 正规子群的一个左陪集也是一个右陪集，因此都 称为陪集。 若N是G的正规子群，记作 若N不是G的正规子群，记作 若 ，但N≠G，记作 a G N G N G N G N G