运城学院应用数学系2019年1月抽象代数试题及答案（A) 一、填空题（每空3分，共30分） 1、已知群G中的元素a的阶等于36，则al6的阶等于9。 2、设o=(521)是一个轮换，则o的逆为(125)。 3、规定实数集R上的运算×为a×b=a+b2,则对于结合率和交换率而言，这个运 算满足交换率。 4、在同构的意义下有2个6阶群。 5、设a、b和x都是群G中的元素，且xaxb=xb2,则用a、b可将x表示为ab_ 6、设G=(a)是10阶循环群，则G的子群有4_个。 7、若一个置换群中含有k个元素，则其中偶置换有k或k2个。 8、设p是群G到群G的同态映射，a∈G,p(a)=a,那么p(al)=_a-l。 9、在3次对称群S3中，H={(1),(123),(132)}是S3的一个正规子群，则商群 G/H中的元素(13)H=12),(13),(23}· 10、在整数集上，规定两个运算：a①b=a+b-1和aob=a+b-ab,则2田2。= -1。 二、证明、简答题（每小题10分，共40分) 11、设G是一个群，x,y∈G,k是正整数，证明若(yx=xyx,则yy。 证明：由xyxl=(yxl)=xyx'xyxxyx=xyy...yx=xyx,得xyxl=Xyxl,再 由消去律得yy。..10分 12、设G是群，u是G中取定的一个元素，与u可交换的元素组成集合Gu), 证明G(u)是G的子群。 证明：对任意的a,电G,有au=ua,bu=ub,所以 (ab)u=a(bu)Fa(ub)(au)b=(ua)b=u(ab),即abeG(u),又由au=ua得a'aua'=a'uaal,即 ua=au,所以a1∈G(u)。故G(u是G的子群。...10分 13、将置换7= 234567 写成不相连轮换的乘积，并求它的阶。 7126543 解：1=(1732)(46)..5分 阶为4和2的最小公倍数，即4.5分 14、设φ是从群G到群G的满同态映射，e是G的单位元，记e的像为e,即 e=p(e),证明e是G的单位元。 证明：对任意的āeG,由于p是满射，所以存在a∈G,使得ā=p(a),所以有
运城学院应用数学系 2019 年 1 月抽象代数试题及答案（A） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 36，则 a 16的阶等于 9 。 2、设 σ=(5 2 1)是一个轮换，则 σ 的逆为 (1 2 5) 。 3、规定实数集 R 上的运算×为 a×b=a2 +b2，则对于结合率和交换率而言，这个运 算满足 交换率 。 4、在同构的意义下有 2 个 6 阶群。 5、设 a、b 和 x 都是群 G 中的元素，且 xaxb=xb2，则用 a、b 可将 x 表示为 a -1 b 。 6、设 G= a 是 10 阶循环群，则 G 的子群有 4 个。 7、若一个置换群中含有 k 个元素，则其中偶置换有 k 或 k/2 个。 8、设 φ 是群 G 到群 G 的同态映射，a∈G，( ) a a ，那么 1 ( ) a = 1 a 。 9、在 3 次对称群 S3 中，H＝{(1)，(123)，(132)}是 S3 的一个正规子群，则商群 G/H 中的元素(13)H＝ {(12)，(13)，(23)} 。 10、在整数集上，规定两个运算： a b a b 1 和 a b a b ab ，则 (2 2) 2 = -1 。 二、证明、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、设 G 是一个群， x y G , ，k 是正整数，证明若(xyx-1 ) k =xyx -1，则 y k =y。 证明：由 xyx -1 =(xyx-1 ) k =xyx -1 xyx -1 …xyx -1 = xyy…yx -1 =xy k x -1，得 xyx -1 =xy k x -1，再 由消去律得 y k =y。……10 分 12、设 G 是群，u 是 G 中取定的一个元素，与 u 可交换的元素组成集合 G(u)， 证明 G(u)是 G 的子群。 证明： 对任意的 a b G u , ( ) ， 有 au=ua ， bu=ub ， 所 以 (ab)u=a(bu)=a(ub)=(au)b=(ua)b=u(ab)，即 ab G u ( ) ，又由 au=ua 得 a -1 aua-1 =a-1 uaa-1，即 ua-1 =a-1 u，所以 1 a G u( ) 。故 G(u)是 G 的子群。……10 分 13、将置换 1 2 3 4 5 6 7 7 1 2 6 5 4 3 写成不相连轮换的乘积，并求它的阶。 解：η = (1 7 3 2)(4 6)......5 分 阶为 4 和 2 的最小公倍数，即 4。......5 分 14、设 φ 是从群 G 到群 G 的满同态映射，e 是 G 的单位元，记 e 的像为 e ，即 e e ( ) ，证明 e 是 G 的单位元。 证明：对任意的 a G ，由于 φ 是满射，所以存在 a G ，使得 a a ( ) ，所以有
ae=p(a)p(e)=p(ae)=p(a)=a,即e是G的单位元。..10分 三、应用、探索题（每小题10分，共30分） 15、写出6阶循环群G=(a)的自同构群AutG。 解：G=(a)={e,a,a,d,a,ar},其自同构群含有两个元素，AutG={a,B},其 中a= agg。-,n=￠gg e a d a a'a e a aaaa ..10分 16、设R为所有有理数对(x1,x2)组成的集合，加法和乘法分别为 (a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2) (a1,a2)b1,b2)=(ab1,a2b2) 容易知道R是环，回答下列问题：R的零元是谁？元素(X,y)的负元是谁？R是否可换？ R有无单位元？哪些元素可逆？ 解：R的零元是(0,0)，元素(x,y)的负元是(-X,y),R可换，R的单位元是(1,1)， 当y0时元素化阿逆，造元为（月。 ..10分 .-ta.b.c.d.a c1 d 在M上考虑矩阵乘法，对其进行详细全面研究。 解：有乘法表 ● d a 6 d b b a d c c c d a b d d b 所以矩阵乘法是M上运算，自然满足结合律，是单位元，每个元素的逆元是自 己，所以是群。 是交换群。 a的阶为1，b、c、d的阶为2。 有两个平凡子群{a}、M,有3个2阶非平凡子群{a,b}、{a,c}、{a,d}. 此群与Klein4元群同构，非循环群。其自同构群与S3同构。 ..能够答对是群，再加上任何两条得10分，否则酌情减分
a e a e ae a a ( ) ( ) ( ) ( ) ，即 e 是 G 的单位元。……10 分 三、应用、探索题（每小题 10 分，共 30 分） 15、写出 6 阶循环群 G a 的自同构群 AutG。 解： 2 3 4 5 G a e, a, a , a , a , a { } ，其自同构群含有两个元素， AutG , { } ，其 中 2 3 4 5 2 3 4 5 e a a a a a e a a a a a ， 2 3 4 5 5 4 3 2 e a a a a a e a a a a a 。……10 分 16、设 R 为所有有理数对(x1, x2)组成的集合，加法和乘法分别为 (a1, a2)+(b1, b2)=(a1+b1, a2+b2) (a1, a2)(b1, b2)=(a1b1, a2b2) 容易知道 R 是环，回答下列问题：R 的零元是谁？元素(x, y)的负元是谁？R 是否可换？ R 有无单位元？哪些元素可逆？ 解：R 的零元是(0, 0)，元素(x, y)的负元是(-x, -y)，R 可换，R 的单位元是(1, 1)， 当 xy≠0 时元素(x, y)可逆，逆元为 1 1 ( , ) x y 。……10 分 17、设 M={a, b, c, d}，其中 1 0 0 1 a ， 1 0 0 1 b ， 1 0 0 1 c ， 1 0 0 1 d ， 在 M 上考虑矩阵乘法，对其进行详细全面研究。 解：有乘法表 a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a 所以矩阵乘法是 M 上运算，自然满足结合律，a 是单位元，每个元素的逆元是自 己，所以是群。 是交换群。 a 的阶为 1，b、c、d 的阶为 2。 有两个平凡子群{a}、M，有 3 个 2 阶非平凡子群{a, b}、{a, c}、{a, d}。 此群与 Klein4 元群同构，非循环群。其自同构群与 S3 同构。 ……能够答对是群，再加上任何两条得 10 分，否则酌情减分