运城学院应用数学系2017一2018学年第一学期期末考试抽象代数B 一、填空题（每空3分，共30分) 1、在群G中元素a和b满足条件 1)对任意的x∈G,有ax=xa=x: 2)b为单位元。 则a、b的关系为a=b 2、设0=(42735)是一个轮换，则σ的逆为(53724)。 3、设群G的阶为n,G的元素a的阶为m,那么m与n间的关系为一mln一 4、已知群G中的元素a的阶等于30，则a2的阶等于5。 5、设H是有限群G的子群，且G有左陪集分类{H,aH,bH,cH}。如果H=6, 那么G的阶为24 6、规定实数集R上的运算×为a×b=4ab(等号右边的运算是普通乘法)，则对于结 合率和交换率而言，这个运算满足结合率、交换率。 7、实数集G关于乘法：a·b=a+b+4是群，那么5的逆元是-13。 8、H是群G的正规子群，商群%中a的逆元为H一· 9、整数加群Z有2个生成元。 l0、设a、b、c和x都是群G中的元素，且x2a=bxc,acx=Xac,那么x= be"a-1 二、简答题（每小题10分，共40分) 11、G是交换群，证明G中有限阶元的集合组成G的子群。 证明：令H={a∈Ga的阶有限}。廿a,b∈H,设a的阶为n,b的阶为m,则由 (ab)mn=amnbmn-=e,知ab的阶有限，即ab∈H;.6分 又由a=e,得(al)=(al)a=e,所以al∈H: 所以H是G的子群。.4分 12、设H是G的子群，且H含于G的中心，如果商群C升是循环群，证明G是 交换群。 证明：由HSC(G)知道H是G的正规子群，所以G升是商群。 由么是循环群，可设h=(aH),a∈G。任取xy∈G,考虑xy所在的陪集 xH,yH,则存在整数k,l,使得xH=(aH=aH,yH=(aH=aH。.4分 所以存在c1,c2∈C(G),满足X=ac1,y=ac2。.3分 所以Xy=ac1ac2=aac1c2=aac1c2=ac2ac1yX。故G是交换群。.3分 13、设有置换σ=(1345)(1245)，t=(234)(456)∈S6,将t。写成不相交轮换的乘 积的形式，并确定它的奇偶性
运城学院应用数学系 2017—2018 学年第一学期期末考试抽象代数 B 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、在群 G 中元素 a 和 b 满足条件 1) 对任意的 x∈G，有 ax=xa=x； 2) b 为单位元。 则 a、b 的关系为 a=b 。 2、设 σ=(4 2 7 3 5)是一个轮换，则 σ 的逆为 (5 3 7 2 4) 。 3、设群 G 的阶为 n，G 的元素 a 的阶为 m，那么 m 与 n 间的关系为 mn 。 4、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 30，则 a 12的阶等于 5 。 5、设 H 是有限群 G 的子群，且 G 有左陪集分类{H，aH，bH，cH}。如果|H| = 6， 那么 G 的阶为 24 6、规定实数集 R 上的运算×为 a×b=4ab(等号右边的运算是普通乘法)，则对于结 合率和交换率而言，这个运算满足 结合率、交换率 。 7、实数集 G 关于乘法·：a · b = a + b + 4 是群，那么 5 的逆元是 –13 。 8、H 是群 G 的正规子群，商群 G H 中 aH 的逆元为 a -1H 。 9、整数加群 Z 有 2 个生成元。 10、设 a、b、c 和 x 都是群 G 中的元素，且 x 2 a = bxc-1，acx = xac，那么 x = bc-1 a -1 。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、G 是交换群，证明 G 中有限阶元的集合组成 G 的子群。 证明：令 H a G a { 的阶有限}。 a b H , ，设 a 的阶为 n，b 的阶为 m，则由 (ab)mn=amnb mn=e，知 ab 的阶有限，即 ab∈H；......6 分 又由 a n =e，得(a-1 ) n =(a-1 ) n a n =e，所以 a -1∈H； 所以 H 是 G 的子群。......4 分 12、设 H 是 G 的子群，且 H 含于 G 的中心，如果商群 G H 是循环群，证明 G 是 交换群。 证明：由 H C G ( ) 知道 H 是 G 的正规子群，所以 G H 是商群。 由 G H 是循环群，可设 G aH H ，a∈G。任取 x, y∈G，考虑 x, y 所在的陪集 xH, yH，则存在整数 k, l，使得 xH=(aH)k =a kH，yH=(aH)l =a lH。……4 分 所以存在 c1, c2∈C(G)，满足 x=a k c1，y=a l c2。……3 分 所以 x y =a k c1a l c2=a k a l c1c2 =a l a k c1c2= a l c2a k c1=yx。故 G 是交换群。……3 分 13、设有置换 σ = (1345)(1245)，τ = (234)(456)∈S6，将 τ -1 σ 写成不相交轮换的乘 积的形式，并确定它的奇偶性
，4分 rro=02345 6 64312 =(16524)。.4分 是偶置换。…2分 14、设0是群G到群G的满同态映射，K=kerp,a,b∈G,证明若p(a)=o(b), 则aK=bK。 证明：由o(a)=p(b)得ē=o(a)p(b)=p(ab),所以ab∈K,所以aK=bK。10 分 三、解答题（每小题10分，共30分） 15(应用题)、写出12阶循环群〈的所有子群。 解：1阶子群为{e}, 2阶子群为{e,a}, 3阶子群为{e,a,a}, 4阶子群为{e,a,a,a}, 6阶子群为{e,a,a,a,a,a}, 12阶子群为a）。 l6(证明题)、证明数集Z[的={a+bia,b∈Z关于数的加法与乘法构成一个有单 位元的交换环。 证明：I)任给a=a+bi,B=c+di∈Z,a,b,c,d∈Z,则 a+β=(a+c)+(b+d)i∈Z[i门 a邱=(ac-bd)+(ad+bc)i∈Z[i 所以，数的加法与乘法是Z[的的代数运算。.2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以Z的 的加法与乘法也满足这些运算律。2分 3)因为0=0+0i∈Z[,且对任意的a=a+bi∈Z[i,有0+a=a+0=a,所以 0为Z的的零元。2分 4)对任意的a=a+bi∈Z[i门，有-a=-a-bi=(-a)+(-b)i∈Z[i),且a+(-a)=0, 所以，a=a+bi∈Z[的的负元为(-a)+(-b)i∈Z[门。2分 5)因为1=1+0i∈Z[问，且对任意的a=a+bi∈Z[i,有1a=al=u,所以数1 为Z[的的单位元。2分 证毕。 17(拓展题)、使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换
解： 1 2 3 4 5 6 1 3 4 5 6 2 ， 1 1 2 3 4 5 6 1 6 2 3 4 5 ，......4 分 1 1 2 3 4 5 6 (16524) 6 4 3 1 2 5 。......4 分 是偶置换。......2 分 14、设 φ 是群 G 到群 G 的满同态映射，K = kerφ，a，b∈G，证明若 φ(a) = φ(b)， 则 aK = bK。 证明：由 φ(a) = φ(b)得 ē = φ(a) -1 φ(b) = φ(a-1 b)，所以 a -1 b∈K，所以 aK = bK。......10 分 三、解答题（每小题 10 分，共 30 分） 15(应用题)、写出 12 阶循环群 a 的所有子群。 解：1 阶子群为 {e}， 2 阶子群为 6 {e,a }， 3 阶子群为 4 8 {e,a ,a }， 4 阶子群为 3 6 9 {e,a ,a ,a }， 6 阶子群为 2 4 6 8 10 {e,a ,a ,a ,a ,a }， 12 阶子群为 a 。 16(证明题)、证明数集 Z[i] = {a + bi | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一个有单 位元的交换环。 证明：1) 任给 α = a + bi, β = c + di∈Z[i]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d)i∈Z[i] αβ = (ac - bd) + (ad + bc)i∈Z[i] 所以，数的加法与乘法是 Z[i]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[i] 的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分 3) 因为 0 = 0 + 0i∈Z[i]，且对任意的 α = a + bi∈Z[i]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[i]的零元。......2 分 4) 对任意的 α = a + bi∈Z[i]，有-α = -a – bi = (-a) + (-b)i∈Z[i]，且 α + (-α) = 0， 所以，α = a + bi∈Z[i]的负元为(-a) + (-b)i∈Z[i]。......2 分 5) 因为 1 = 1 + 0i∈Z[i]，且对任意的 α = a + bi∈Z[i]，有 1α = α1 = α，所以数 1 为 Z[i]的单位元。......2 分 证毕。 17(拓展题)、使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换
正方形的四个顶点分别用1、2、3、4来表示（如图），于是正方形的每一对称变换 可用一个4元置换来表示。 绕中心O旋转90度（逆时针方向，下同） 14、2 的变换是正方形的一个对称变换，它使得顶点 1变为2,2变为3,3变为4,4变为1，因此 这个对称变换可以表示为？，= 1234 (2341 类似的，绕中心0旋转180度、270度、360 度的变换都是正方形的对称变换，绕中心O 旋转180度、360度的变换分别为 12341234 0= 341291234 关于4条对称轴的翻转也都是正方形 的对称变换，如关于对称轴11的翻转，将顶点1变为2,2变为1,3变为4,4变为3， 因此这个对称变换可以表示为？= 1234 类似的，关于对称轴12的翻转为 2143 123 4 0%=4321) 事实上，正方形的对称变换只有上面提到的8个，它们组成的集合是S4的一个 子群，称为正方形的对称变换群，或二面体群，记为D4。 问题：写出正方形绕中心O旋转270度的对称变换φ4；写出正方形关于对称轴 13、14的翻转p7和pg。 解：正方形绕中心0旋转270度的对称变换0，=4123 1234 关于对称轴13 的翻转为0，= 1234 1234 1432 关于对称轴14的翻转0-3214 答对1个4分，答对2个7分，答对3个10分
正方形的四个顶点分别用 1、2、3、4 来表示(如图)，于是正方形的每一对称变换 可用一个 4 元置换来表示。 绕中心 O 旋转 90 度(逆时针方向，下同) 的变换是正方形的一个对称变换，它使得顶点 1 变为 2，2 变为 3，3 变为 4，4 变为 1，因此 这个对称变换可以表示为 2 1 2 3 4 2 3 4 1 。 类似的，绕中心 O 旋转 180 度、270 度、360 度的变换都是正方形的对称变换，绕中心 O 旋 转 180 度 、 360 度 的 变 换 分 别 为 3 1 2 3 4 3 4 1 2 、 1 1 2 3 4 1 2 3 4 。 关于 4 条对称轴的翻转也都是正方形 的对称变换，如关于对称轴 l1 的翻转，将顶点 1 变为 2，2 变为 1，3 变为 4，4 变为 3， 因此这个对称变换可以表示为 5 1 2 3 4 2 1 4 3 。类似的，关于对称轴 l2 的翻转为 6 1 2 3 4 4 3 2 1 。 事实上，正方形的对称变换只有上面提到的 8 个，它们组成的集合是 S4 的一个 子群，称为正方形的对称变换群，或二面体群，记为 D4。 问题：写出正方形绕中心 O 旋转 270 度的对称变换 φ4；写出正方形关于对称轴 l3、l4 的翻转 φ7 和 φ8。 解：正方形绕中心 O 旋转 270 度的对称变换 4 1 2 3 4 4 1 2 3 ，关于对称轴 l3 的翻转为 7 1 2 3 4 1 4 3 2 ，关于对称轴 l4 的翻转 8 1 2 3 4 3 2 1 4 。 ......答对 1 个 4 分，答对 2 个 7 分，答对 3 个 10 分