近世代数 学习辅导与习题选解 ■杨子胥编 高等教育出版社
目 录 第一章基本概念…………………………………………1 一、主要内容(1)二、释疑解难(1)三、习题1.1解答(2) 2映射与变换……4 一、主要内容(4)二、释疑解难(4)三、习题1.2解答(7) 3代数运算…8 一、主要内容(8)二、释疑解难(8)三、习题1.3解答(8) 4运算律.. 一、主要内容(9)二、释疑解难(9)三、习题1.4解答(11) 5同态与同构……………………12 一、主要内容(12)二、释疑解难(13)三、习题1.5解答(14) 6等价关系与集合的分类………………15 一、主要内容(15)二、释疑解难(15)三、习题1.6解答(16) 第二章群……………………………………………·…23 1群的定义和初步性质23 一、主要内容(23)二、释疑解难(23)三、习题2.1解答(27) 2群中元素的阶………………30 一、主要内容(30)二、释疑解难(30)三、习题2.2解答(32) $3子.群………………………………………………35 一、主要内容(35)二、释疑解难(35)三、习题2.3解答(36)
目录 一、主要内容(39)二、释疑解难(39)三、习题2.4解答(40) 一、主要内容(44)二、释疑解难(44)三、习题2.5解答(45) $6置换群…·………·…·…46 一、主要内容(46)二、释疑解难(47)三、习题2.6解答(48) 7陪集、指数和 Lagrange定理50 一、主要内容(50)二、释疑解难(50)三、习题2.7解答(52) 第三章正规子群和群的同态与同构………………69 $1群同态与同构的简单性质……………………69 一、主要内容(69)二、释疑解难(69)三、习题3.1解答(70) 2正规子群和商群…………73 一、主要内容(73)二、释疑解难(73)三、习题3.2解答(75) §3群同态基本定理…………………………·…77 一、主要内容(77)二、释疑解难(77)三、习题3.3解答(78) $4群的同构定理…………………81 一、主要内容(81)二、释疑解难(81)三、习题3.4解答(83) 5群的自同构群…86 一、主要内容(86)二、释疑解难(86)三、习题3.5解答(88) 6共轭关系与正规化子……………90 一、主要内容(90)二、释疑解难(90)三、习题3.6解答(92) §7群的直积…·……………………·……·…94 一、主要内容(94)二、释疑解难(95)三、习题3.7解答(98) §8 Sylow 定理 ……….… 101 一、主要内容(101)二、释疑解难(101)三、习题3.8解答(103) §9有限交换群………………106 一、主要内容(106)二、释疑解难(107)三、习题3.9解答(109) 第四章环与域…·……·…···127 1环的定义…··127
目录 Ⅲ 一、主要内容(127)二、释疑解难(127)三、习题4.1解答(130) 2环的零因子和特征………………………133 一、主要内容(133)二、释疑解难(133)三、习题4.2解答(135) 3除环和域…………138 一、主要内容(138)二、释疑解难(139)三、习题4.3解答(140) 4环的同态与同构142 一、主要内容(142)二、释疑解难(142)三、习题4.4解答(143) 5模n剩余环…………146 一、主要内容(146)二、释疑解难(147)三、习题4.5解答(148) 一、主要内容(151)二、释疑解难(151)三、习题4.6解答(153) 7商环与环同态基本定理………………………156 一、主要内容(156)二、释疑解难(157)三、习题4.7解答(157) 8素理想和极大理想………………160 一、主要内容(160)二、释疑解难(160)三、习题4.8解答(161) 9环与域上的多项式环…………………164 一、主要内容(164)二、释疑解难(164)三、习题4.9解答(164) 10分式城……………………………166 一、主要内容(166)二、释疑解难(166)三、习题4.10解答(168) §11环的直和……………………………169 一、主要内容(169)二、释疑解难(170)三、习题4.11解答(171) '12非交换环……………·176 一、主要内容(176)二、释疑解难(176)三、习题4.12解答(176) 第五章惟一分解整环……………………195 $1相伴元和不可约元…195 一、主要内容(195)二、释疑解难(195)三、习题5.1解答(196) 2惟一分解整环定义和性质……………………………198 一、主要内容(198)二、释疑解难(198)三、习题5.2解答(199) $3主理想整环………………………201
目录 一、主要内容(201)二、释疑解难(202)三、习题5.3解答(202) $4欧氏环……204 一、主要内容(204)二、释疑解难(204)三、习题5.4解答(205) 5惟一分解整环的多项式扩张………………………208 一、主要内容(208)二、释疑解难(208)三、习题5.5解答(209) 第六章域的扩张…………………………………………218 1扩域和素域……218 一、主要内容(218)二、释疑解难(218)三、习题6.1解答(219) 一、主要内容(222)二、释疑解难(222)三、习题6.2解答(224) 3代数扩城…………………………………………227 一、主要内容(227)二、释疑解难(228)三、习题6.3解答(229) 4多项式的分裂域……………231 一、主要内容(231)二、释疑解难(232)三、习题6.4解答(233) 一、主要内容(236)二、释疑解难(236)三、习题6.5解答(237) $6可离………238 一、主要内容(238)二、释疑解难(239)三、习题6.6解答(240) 第七章有关历史资料……249 1群、环、发展史简介…………··249 2代数方程的根式解………………………253 3几位数学家简介………………257 阿贝尔、伽罗瓦、弗罗贝尼乌斯、哈密顿、诺特、阿廷、雅各布森 参考文献……………………·……………………·…·…·…·…266
第一章 基本概念 §1集 合 一、主要内容 1.集合的表示法，子集、真子集以及集合相等的概念 2.集合的交集与并集的定义及其简单性质：幂等性、交换性、 结合性和分配性，等， 二、释疑解难 1.集合的概念是德国数学家康托尔(G.Cantor,1845一1918) 于1894年所首先建立的.到现在，集合论不仅已成为数学中一个 专门理论和独立学科，而且广泛地应用到数学的各个分支中. 在近世代数中，不仅每章每节甚至几乎处处离不开集合，由此 可见集合在近世代数中的重要性.但这只是问题的一方面.另一方 面，我们在这里讲集合主要是为在近世代数中讲最基本的概念群、 环、域作准备，而并不是要对集合本身的理论作太多和深入的阐 述.这是因为，在近世代数中只用到集合的一些初步概念，诸如子 集、真子集、集合的相等、幂集、交集、并集以及集合的差、余集和它 们的简单性质，而并不用到其他
第一章基本橱念 2.读者可能会发现，不同的书对“集合”的定义总稍有差异 这是因为“集合”是数学中最原始的一个基本概念，要真正准确地 定义它则比较困难，所以一般的书中多采用先举实例后用归纳和 描述性的方法来定义“集合” 3.关于集合，要首先注意其元素的确定性.就是说，一个元素 是或不是属于这个集合，是完全确定而不能模棱两可的.例如，若 说某年级“全体高个子同学作成的集合”就不合适.除非事先定一 个“高个子”的严格标准，否则无法判断一个同学是不是“高个子”， 也就是是不是属于这个集合. 4.关于集合的相等.应注意集合相等的概念，例如，集合 A={1,2},B={2,1},C={1,1,2) 被认为是相等的集合，即A=B=C.亦即集合中的元素既不讲次 序也不讲重复.教材中所说两个集合相等就是这个意思.也就是 说： A=B←→A三B且B二A. 因此，条件“A二B且B二A”实际上可作为集合A与B相等的定 义 教材中所说的集合一般均指非空集合.但有时也可以是空集 合，对此应稍加留意即可. 三、习题1.1解答 1.证明本节的等式4). 证任取x∈A∩(BUC),则 x∈A且x∈BUC.从而x∈B或x∈C 若x∈B,则x∈A∩B.从而x∈(A∩B)U(A∩C).因此 A∩(BUC)二(A∩B)U(A∩C) 反之，任取x∈(A∩B)U(A∩C),类似可得x∈A∩(BUC). 故 (A∩B)U(A∩C)三A∩(BUC)
§1集 合 3 因此，A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C). 同理可得4)中另一等式. 2.若A∩B=A∩C,问：是否B=C?把∩改成U时又如何？ 解不一定有B=C.例如 A={1},B={1,2},C={1,3}. 把∩改成U后也不一定有B=C.例如 A={1},B={2},C={1,2}. 3.设A是有限集合，且|A|=n.证明：|P(A)|=2" 证因为|A|=n,故A的含k(0≤k≤n)个元素的子集共有 C个，从而A共有 2=(1+1)m=C9+C,+…+Cg 个子集，即|P(A)|=2". 4.设A,B是两个有限集合.证明： IAUB|+IA∩B|=|A|+1B. 证设A|=m,|B引=n,A∩B|=k,则显然 AUB=m+n-k, 由此即得要证的等式. 5.设A,B是两个集合.称集合 A-B={aa∈A,a在B} 为A与B的差集.特别，当Y三X时，用Y表示X一Y,并称为Y 在X中的余集.证明德·摩根(A·De Morgan,1806一1871)律： 若A,B二X,则 (AUB)'=A'∩B',(A∩B)'=A'UB'. 证 设x∈(AUB)',即x年AUB.故x在A且x在B.从而 x∈A'且x∈B'.故x∈A'∩B'. 从而(AUB)'二A'∩B.反推上去得A'∩B二(AUB)'.故得证. 另一等式可类似证明
第一章基本概念 §2映射与变换 一、主要内容 1.映射、单射、满射以及双射的定义和例子 2.变换、单射变换、满射变换以及双射变换的定义和例子，含 n个元素的集合有且仅有n！个双射变换. 有限集合双射变换的特殊符号和名称-一置换. 3.映射下元素或子集的象和逆象，映射的相等及逆映射等概 念 二、释疑解难 1.若p是集合X到Y的一个双射，则p有逆映射p,而p 是集合Y到X的一个双射，且根据映射的合成可知： oo=Ex, po=EY. 其中ex,ey分别为X与Y的恒等变换. 应注意，在这里不能写成pp=p91:因为乘积Pp是集合 X的一个变换，而P9是集合Y的一个变换，但X与Y可能是两 个不相干的集合，那么两个不相干的集合它们的变换怎么能谈得 上相等或不相等呢！因此，不要说不能写成”p=p驷，同样也 不能写成p'p≠pg1,因为一般而言，这是两个不可比较的对象： 当然，如果X=Y,即9是X的一个双射变换，则中与伞都是 X的双射变换，此时当然就有 o=1=Ex. 此外还应注意，如果口是集合X到Y的任意一个映射，又 B二Y,则p1(B)并不意味着P有逆映射中1（即p不一定是双 射).在这里，此时p'(B)只是一种符号，即B中所有元素在P之 下所有逆象作成的集合，它是X的一个子集，甚至可能是一个空
§2映射与变换 5 集.又若A二X,则有 A二91((A), P(p1(B)二B. 至于p1(9(A)与p(p1(B))之间一般无任何关系：因为 9(p(A)是X的子集，而p(1(B)是Y的子集；即使X=Y且 P是X的双射，也只能 9(p(A)=A,p(p1(B)=B, 此时P1((A))与(p1(B)即A与B都是X的子集，它们间也 不一定有什么包含关系. 2.关于在陕射（变换）下元素的象的表示法 设x是集合X到Y的一个映射，x∈X.则x在x之下的象 教材中用x(x)表示，这也是多数书中的表示法.但也有的书表示 成 (x)x或x (1) 的，不同的表示方法虽无实质性差别，但也会产生一些不同的影 响，主要体现在映射或变换的乘法上.例如，若σ是集合Y到Z的 一个映射，则按教材中的规定，乘积6π应为： ot(x)=0(t(I)). (2) 现在简称此为“自右向左乘法”. 若用(1)中两个表示法，则应为： (x)to=((x)t)a,Ii=(x"). (3) 应注意的是，当然不能写成(xr=((x)o)x及xr=(x),因为这 两个式子是毫无意义的（因为。是Y到Z的映射，而x∈X,故 (x)。与x°都无意义).另外易知，(3)中的两种表示法（分别称为 “自左向右乘法”及“指数表示法”)实质上是一样的.即使σ，π是同一 个集合的变换，那么“自右向左乘法”与“自左向右乘法”（及“指数表 示法”)也有差异，其最主要的是表现在置换的乘法上.例如，设 o=(g13-(6日) 则按教材中的规定（即“自右向左乘法”，亦即“先x后σ”）应为