运城学院应用数学系2017一2018学年第一学期期末考试抽象代数A 一、填空题（每空3分，共30分) 1、在群G中元素a和b满足条件 1)对任意的x∈G,有ax=xa=X: 2)存在y∈G,使b与yy。 则a、b的关系为a=b。 2、设0=(14736)是一个轮换，则σ的逆为(63741)。 3、设群G中元素a的阶为m,如果a=e,那么m与n间的关系为mn一。 4、已知群G中的元素a的阶等于30，则a的阶等于10。 5、群U0有4个生成元。 6、规定实数集R上的运算×为a×b=3ab(等号右边的运算是普通乘法)，则对于结 合率和交换率而言，这个运算满足结合率、交换率。 7、实数集G关于乘法：a·b=a+b+4是群，那么G中的单位元是4。 8、H是群G的正规子群，商群C%的单位元为H一。 9、设H是有限群G的子群，且G有左陪集分类{H,aH,bH,cH,dH。如果 H=6,那么G的阶为30。 l0、设a、b、c和x都是群G中的元素，且x2a=bxc,acx=xac,那么x= be"a-1 二、简答题（每小题10分，共40分) 11、设G是一个群，若对任意的a,b∈G,皆有(ab)2=ab2,证明G是交换群。 证明：对任意的a,b∈G,由(ab)2=ab得abab=aabb,两边同时左乘a',右乘 bl得a'ababb=a aabbb",即ba=ab,所以G是交换群。l0分 l2、群G的所有内自同构映射组成一个集合InnG,证明InnG是一个群。 证明：对任意的ta,t∈InnG,对任意的G中元素x有ta(x)=ta(t(X)=ta(bxb) =a(bxb")a=(ab)x(ab)=tab(x)。所以tab=Tab仍为G的一个内自同构。6分 易知te为恒等映射。 若ta∈InnG,则t。∈InnG,又由tt。=t.知道t,是ta的逆元。 所以nnG≤AutG,InnG是群。..4分 (123456, 123456,求g 设=214536325641正 .5分 。5分 14、设G是群，N是G的正规子群。证明：如果N及商群GN都是周期群，则 G也是周期群
运城学院应用数学系 2017—2018 学年第一学期期末考试抽象代数 A 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、在群 G 中元素 a 和 b 满足条件 1) 对任意的 x∈G，有 ax=xa=x； 2) 存在 y∈G，使 b=yy-1。 则 a、b 的关系为 a=b 。 2、设 σ=(1 4 7 3 6)是一个轮换，则 σ 的逆为 (6 3 7 4 1) 。 3、设群 G 中元素 a 的阶为 m，如果 a n =e，那么 m 与 n 间的关系为 mn 。 4、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 30，则 a 9 的阶等于 10 。 5、群 U10 有 4 个生成元。 6、规定实数集 R 上的运算×为 a×b=3ab(等号右边的运算是普通乘法)，则对于结 合率和交换率而言，这个运算满足 结合率、交换率 。 7、实数集 G 关于乘法·：a · b = a + b + 4 是群，那么 G 中的单位元是 –4 。 8、H 是群 G 的正规子群，商群 G H 的单位元为 H 。 9、设 H 是有限群 G 的子群，且 G 有左陪集分类{H，aH，bH，cH，dH}。如果 |H| = 6，那么 G 的阶为 30 。 10、设 a、b、c 和 x 都是群 G 中的元素，且 x 2 a = bxc-1，acx = xac，那么 x = bc-1 a -1 。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、设 G 是一个群，若对任意的 a, b∈G，皆有(ab)2 = a 2 b 2，证明 G 是交换群。 证明：对任意的 a, b∈G，由(ab)2 = a 2 b 2 得 abab = aabb，两边同时左乘 a -1，右乘 b -1 得 a -1 ababb-1 = a-1 aabbb-1，即 ba = ab，所以 G 是交换群。......10 分 12、群 G 的所有内自同构映射组成一个集合 InnG，证明 InnG 是一个群。 证明：对任意的 τa，τb ∈ InnG，对任意的 G 中元素 x 有 τaτb(x) = τa(τb(x)) = τa(bxb-1 ) = a(bxb-1 )a-1 = (ab)x(ab)-1 = τab(x)。所以 τaτb = τab 仍为 G 的一个内自同构。......6 分 易知 τe为恒等映射。 若 τa ∈ InnG，则 1 a ∈ InnG，又由 a e 1 a 知道 1 a 是 τa 的逆元。 所以 InnG ≤ AutG，InnG 是群。......4 分 13、设 1 2 3 4 5 6 2 1 4 5 3 6 ， 1 2 3 4 5 6 3 2 5 6 4 1 ，求 1 。 解： 1 1 2 3 4 5 6 2 1 5 3 4 6 ，......5 分 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 1 5 3 4 6 3 2 5 6 4 1 5 1 4 6 3 2 。......5 分 14、设 G 是群，N 是 G 的正规子群。证明：如果 N 及商群 G/N 都是周期群，则 G 也是周期群
证明：任取a∈G,则aN∈GN。但因为商群GN是周期群，故有正整数m使N =(aWm=aN,即a"∈N。5分 又因为N也是周期群，故又有正整数n,使e=(a)”=amm,从而a的阶有限，即 G是一个周期群。.5分 三、解答题（每小题10分，共30分） 15(应用题)、写出S3的所有子群。 解：S3共有6个子群，分别为{1)}、{(1)，(12)}、{(1)，(13)}、{(1)，(23)}、{(1)，(123)， (132)}、S3.10分 16(证明题)、证明数集Z√-2]={a+b√-21a,b∈Z}关于数的加法与乘法构成一 个有单位元的交换环。（注：√一2=√2i,其中i为虚数单位） 证明：1)任给a=a+b-2,B=c+dV-2∈Z[V-2],a,b,c,d∈Z,则 a+B=(a+c)+(b+d)v-2∈Z[-2] a邱=(ac-2bd)+(ad+bc)V-2∈ZIV-2] 所以，数的加法与乘法是Z√-2]的代数运算。2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[√一2]的加法与乘法也满足这些运算律。2分 3)因为0=0+0√-2∈Z[√-2]，且对任意的a=a+b-2∈Z[V-2],有0+a= a+0=a,所以0为Z[V-2]的零元。.2分 4)对任意的a=a+b√-2∈Z[v-2],有-=a-b√-2=(-a)+ (-b)V-2∈ZIV-2],且a+()=0,所以，a=a+b√-2∈Z[√-2]的负元为(-a)+ (-b)-2∈Z[-2]。2分 5)因为1=1+0-2∈Z[-2],且对任意的a=a+b√-2∈Z[√-2]，有1a=al =,所以数1为Z√-2]的单位元。2分 证毕。 17(拓展题)、使图形不变形地变到与它 重合的变换称为这个图形的对称变换。 正方形的四个顶点分别用1、2、3、4 来表示（如图），于是正方形的每一对称变换可 用一个4元置换来表示
证明：任取 a∈G，则 aN∈G/N。但因为商群 G/N 是周期群，故有正整数 m 使 N = (aN)m = a mN，即 a m∈N。......5 分 又因为 N 也是周期群，故又有正整数 n，使 e = (am ) n = amn，从而 a 的阶有限，即 G 是一个周期群。......5 分 三、解答题（每小题 10 分，共 30 分） 15(应用题)、写出 S3 的所有子群。 解：S3 共有 6 个子群，分别为{(1)}、{(1), (12)}、{(1), (13)}、{(1), (23)}、{(1), (123), (132)}、S3。……10 分 16(证明题)、证明数集 Z[ 2 ] = {a + b 2 | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一 个有单位元的交换环。(注： 2 2 i ，其中 i 为虚数单位) 证明：1) 任给 α = a + b 2 , β = c + d 2 ∈Z[ 2 ]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d) 2 ∈Z[ 2 ] αβ = (ac - 2bd) + (ad + bc) 2 ∈Z[ 2 ] 所以，数的加法与乘法是 Z[ 2 ]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[ 2 ]的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分 3) 因为 0 = 0 + 0 2 ∈Z[ 2 ]，且对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[ 2 ]的零元。......2 分 4) 对 任 意 的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ] ， 有 -α = -a – b 2 = (-a) + (-b) 2 ∈Z[ 2 ]，且 α + (-α) = 0，所以，α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]的负元为(-a) + (-b) 2 ∈Z[ 2 ]。......2 分 5) 因为 1 = 1 + 0 2 ∈Z[ 2 ]，且对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有 1α = α1 = α，所以数 1 为 Z[ 2 ]的单位元。......2 分 证毕。 17(拓展题)、使图形不变形地变到与它 重合的变换称为这个图形的对称变换。 正方形的四个顶点分别用 1、2、3、4 来表示(如图)，于是正方形的每一对称变换可 用一个 4 元置换来表示
绕中心O旋转90度（逆时针方向，下同）的变换是正方形的一个对称变换，它使 得顶点1变为2,2变为3,3变为4,4变为1，因此这个对称变换可以表示为 123 4 02= 类似的，绕中心0旋转180度、270度、360度的变换都是正方形 2341 的对称变换，绕中心0旋转180度、360度的变换分别为9= 1234 3412 1 234 234 关于4条对称轴的翻转也都是正方形的对称变换，如关于对称轴1山的翻转，将顶 点1变为2,2变为1,3变为4,4变为3，因此这个对称变换可以表示为0= 1234 2143 1234 类似的，关于对称轴的翻转为，=4321 事实上，正方形的对称变换只有上面提到的8个，它们组成的集合是S4的一个 子群，称为正方形的对称变换群，或二面体群，记为D4。 问题：写出正方形绕中心O旋转270度的对称变换φ4；写出正方形关于对称轴 13、14的翻转07和p8。 1234 解：正方形绕中心0旋转270度的对称变换p,= 关于对称轴13 4123 _1234,关于对称轴14的翻转=3214) 的翻转为0，=1432 1234 .答对1个4分，答对2个7分，答对3个10分
绕中心 O 旋转 90 度(逆时针方向，下同)的变换是正方形的一个对称变换，它使 得顶点 1 变为 2，2 变为 3，3 变为 4，4 变为 1，因此这个对称变换可以表示为 2 1 2 3 4 2 3 4 1 。类似的，绕中心 O 旋转 180 度、270 度、360 度的变换都是正方形 的对称变换，绕中心 O 旋转 180 度、360 度的变换分别为 3 1 2 3 4 3 4 1 2 、 1 1 2 3 4 1 2 3 4 。 关于 4 条对称轴的翻转也都是正方形的对称变换，如关于对称轴 l1 的翻转，将顶 点1变为2，2变为1，3变为4，4变为3，因此这个对称变换可以表示为 5 1 2 3 4 2 1 4 3 。 类似的，关于对称轴 l2 的翻转为 6 1 2 3 4 4 3 2 1 。 事实上，正方形的对称变换只有上面提到的 8 个，它们组成的集合是 S4 的一个 子群，称为正方形的对称变换群，或二面体群，记为 D4。 问题：写出正方形绕中心 O 旋转 270 度的对称变换 φ4；写出正方形关于对称轴 l3、l4 的翻转 φ7 和 φ8。 解：正方形绕中心 O 旋转 270 度的对称变换 4 1 2 3 4 4 1 2 3 ，关于对称轴 l3 的翻转为 7 1 2 3 4 1 4 3 2 ，关于对称轴 l4 的翻转 8 1 2 3 4 3 2 1 4 。 ......答对 1 个 4 分，答对 2 个 7 分，答对 3 个 10 分
