运城学院应用数学系2014-2015学年第一学期期末考试抽象代数B 一、填空题（每空3分，共30分) 1、已知群G中的元素a的阶等于36，则a16的阶等于9 2、在3次对称群S3中，H={(1),(123),(132)}是S3的一个不变子群，则商群 G/H中的元素(13)H=12),13),23)}。 3、如果G是一个阶为12的群，H是G的3阶子群，那么H在G中的指数为4_。 4、设0是群G到群G的同态映射，a∈G,p(a)=a,那么p(a)=_a3一。 5、设G=(a)是10阶循环群，则G的生成元素有4个。 6、设0=(647512)是一个轮换，则6的逆为(215746)。 7、规定实数集R上的运算×为a×b=3ab+a+b(等号右边的运算是普通乘法和普通 加法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足结合律、交换率。 8、整数集G关于乘法：ab=a+b+9是群，那么G中的单位元是-9。 9、在Z8中，ī+2(3+4)=_7_。 10、若一个置换群中含有k个偶置换，则其共含有元素k或2水个。 二、简答题（每小题10分，共40分） 1234567 11、设0= 求ox。 (716532 解：。1= 1234561 1234567 ...10分 473261 5416372 12、设S为群G的非空子集，称N(S)={aa∈G,aS=Sa}为S在G中的正规化子， 证明N(S)是G的子群。 证明：对任意的a、b∈NS),有aS=Sa,bS=Sb。2分 则有，(ab)S=a(bs)=a(Sb)=(aS)b=(Sa)b=S(ab),所以ab∈N(S)。.4分 又由aS=Sa易得Sa'=alS,所以a∈N(S)。从而，N(S)是G的子群。..4分 13、证明数集Z[√-2]={a+b√-2|a,b∈Z)关于数的加法与乘法构成一个有单 位元的交换环。 证明：1)任给a=a+bV-2,B=c+d-2∈Z[-2],ab,c,d∈Z,则 a+B=(a+c)+(b+d)V-2∈ZI-2],a邱=(ac-2bd)+(ad+bc)√-2∈Z[√-2] 所以，数的加法与乘法是Z√-2]的代数运算。2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z、√一2]的加法与乘法也满足这些运算律。.2分
运城学院应用数学系 2014-2015 学年第一学期期末考试抽象代数 B 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 36，则 a 16的阶等于 9 。 2、在 3 次对称群 S3 中，H＝{(1)，(123)，(132)}是 S3 的一个不变子群，则商群 G/H 中的元素(13)H＝ {(12)，(13)，(23)} 。 3、如果 G 是一个阶为 12 的群，H 是 G 的 3 阶子群，那么 H 在 G 中的指数为 4 。 4、设 φ 是群 G 到群 G 的同态映射，a∈G，( ) a a ，那么 3 ( ) a = 3 a 。 5、设 G= a 是 10 阶循环群，则 G 的生成元素有 4 个。 6、设 σ=(6 4 7 5 1 2)是一个轮换，则 σ 的逆为 (2 1 5 7 4 6) 。 7、规定实数集 R 上的运算×为 a×b=3ab+a+b(等号右边的运算是普通乘法和普通 加法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足 结合律、交换率 。 8、整数集 G 关于乘法：a·b=a+b+9 是群，那么 G 中的单位元是 -9 。 9、在 Z8 中， 1 2(3 4) 7 。 10、若一个置换群中含有 k 个偶置换，则其共含有元素 k 或 2k 个。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、设 6 4 3 1 7 5 2 1 2 3 4 5 6 7 ， 7 1 6 5 3 2 4 1 2 3 4 5 6 7 ，求 1 。 解： 4 7 3 2 6 1 5 1 1 2 3 4 5 6 7 ， 5 4 1 6 3 7 2 1 1 2 3 4 5 6 7 。……10 分 12、设 S 为群 G 的非空子集，称 N S a ( ) {a G,aS Sa} 为 S 在 G 中的正规化子， 证明 N(S)是 G 的子群。 证明：对任意的 a、b∈N(S)，有 aS=Sa，bS=Sb。……2 分 则有，(ab)S=a(bS)=a(Sb)=(aS)b=(Sa)b=S(ab)，所以 ab∈N(S)。……4 分 又由 aS=Sa 易得 Sa-1 =a-1 S，所以 a -1∈N(S)。从而，N(S)是 G 的子群。……4 分 13、证明数集 Z[ 2 ] = {a + b 2 | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一个有单 位元的交换环。 证明：1) 任给 α = a + b 2 , β = c + d 2 ∈Z[ 2 ]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d) 2 ∈Z[ 2 ]，αβ = (ac - 2bd) + (ad + bc) 2 ∈Z[ 2 ] 所以，数的加法与乘法是 Z[ 2 ]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[ 2 ]的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分
3)因为0=0+02∈ZI√-2]，且对任意的u=a+b-2∈ZI√-2]，有0+a= a+0=α，所以0为Z√-2]的零元。2分 4)对任意的a=a+bV-2∈Z[√-2]，有-a=-a-b√-2=（←a)+(-b)N-2∈ Z[√-2]，且a+(←)=0，所以，a=a+b2∈Z√-2]的负元为-a)+(b)2∈ Z-2]。.2分 5)因为1=1+0-2∈Z[V-2],且对任意的a=a+bV-2∈Z[-2],有1a=a1 =a,所以数1为Z√-2]的单位元。.2分 证毕。 14、证明环R的元素a0是正则元台由ax=0可得x=0。 证明：设a0是环R的正则元，且axa=0,于是a(xa)=0,从而xa=0,故x=0。.5 分 反之，设元素a满足条件，且ab=0,则便有aba=0,从而b=0,同理，若ba=0, 便有aba=0,从而b=0。即a不是零因子，从而是正则元。...5分 三、解答题（每小题10分，共30分) 15、写出阶为7的循环群G=(a)的自同构群Aut(G),并说明Aut(G)是否是循环 群。 8-日Fggg}-e,2-。。o 解：Aut(G={1,a2,3,a45,6},其中 a e aaaaa as e a a aa as a=e aaaa e a a2 aa as a a aa e aaaaaa e aaaa as e as aa as a a2 ，6= e as as a aa 98分 a Aut(G)是循环群，3,5都是其生成元。2分 16、将置换g分解成不相交轮换的乘积，其中有1个1轮换，有2个2轮换，， 有m个n轮换（可以是0），给一种编码，形式上记为 xx2…x 称其为置换g的轮换指数。例如置换(1)(5)27)(346)有2个1轮换，1个2的轮换，1个 3轮换，0个4轮换，0个5轮换，0个6轮换，0个7轮换，故其轮换指数是 xix2x3xgx9x8x
3) 因为 0 = 0 + 0 2 ∈Z[ 2 ]，且对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[ 2 ]的零元。......2 分 4) 对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有-α = -a – b 2 = (-a) + (-b) 2 ∈ Z[ 2 ]，且 α + (-α) = 0，所以，α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]的负元为(-a) + (-b) 2 ∈ Z[ 2 ]。......2 分 5) 因为 1 = 1 + 0 2 ∈Z[ 2 ]，且对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有 1α = α1 = α，所以数 1 为 Z[ 2 ]的单位元。......2 分 证毕。 14、证明环 R 的元素 a≠0 是正则元 由 axa=0 可得 x=0。 证明：设 a≠0 是环 R 的正则元，且 axa=0，于是 a(xa)=0，从而 xa=0，故 x=0。……5 分 反之，设元素 a 满足条件，且 ab=0，则便有 aba=0，从而 b=0，同理，若 ba=0， 便有 aba=0，从而 b=0。即 a 不是零因子，从而是正则元。……5 分 三、解答题（每小题 10 分，共 30 分） 15、写出阶为 7 的循环群 G= a 的自同构群 Aut(G)，并说明 Aut(G)是否是循环 群。 解：Aut(G)={α1，α2，α3，α4，α5，α6}，其中 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 e a a a a a a e a a a a a a ， 2 3 4 5 6 2 2 4 6 3 5 e a a a a a a e a a a a a a ， 2 3 4 5 6 3 3 6 2 5 4 e a a a a a a e a a a a a a ， 2 3 4 5 6 4 4 5 2 6 3 e a a a a a a e a a a a a a ， 2 3 4 5 6 5 5 3 6 4 2 e a a a a a a e a a a a a a ， 2 3 4 5 6 6 6 5 4 3 2 e a a a a a a e a a a a a a 。......8 分 Aut(G)是循环群，α3，α5 都是其生成元。......2 分 16、将置换 g 分解成不相交轮换的乘积，其中有 λ1 个 1 轮换，有 λ2 个 2 轮换，……， 有 λn 个 n 轮换(λi 可以是 0)，给一种编码，形式上记为 n x x x n 1 1 2 2 称其为置换 g 的轮换指数。例如置换(1)(5)(27)(346)有 2 个 1 轮换，1 个 2 的轮换，1 个 3 轮换，0 个 4 轮换，0 个 5 轮换，0 个 6 轮换，0 个 7 轮换，故其轮换指数是 0 7 0 6 0 5 0 4 1 3 1 2 2 x1 x x x x x x
在不会混淆的情况下也简单记为xx2x3。求置换 123456789 123456789 a 75412369 978412356 的轮换指数。 解：Q=(1862735)(4)(9),轮换指数为x2x2.5分 =(19627385(4),轮换指数为x1xg。5分 17、关于商群你都知道什么？有条理的写出来。 解：没有明确答案，写对一条4分，写对两条7分，写对三条及以上10分。如： 商群的元素为正规子群的陪集， 乘法为(aN)(bN)=(ab)N, W=(G:N). 每个群能且只能与它的商群同态， 循环群的商群是循环群
在不会混淆的情况下也简单记为 2 3 2 x1 x x 。求置换 8 7 5 4 1 2 3 6 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ， 9 7 8 4 1 2 3 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 的轮换指数。 解：α=(1862735)(4)(9)，轮换指数为 7 2 x 1 x 。......5 分 β=(19627385)(4)，轮换指数为 x1 x 8 。......5 分 17、关于商群你都知道什么？有条理的写出来。 解：没有明确答案，写对一条 4 分，写对两条 7 分，写对三条及以上 10 分。如： 商群的元素为正规子群的陪集， 乘法为（aN）(bN)=（ab）N， G N =（G：N）， 每个群能且只能与它的商群同态， 循环群的商群是循环群
