运城学院：《抽象代数 Abstract algebra》课程教学资源（习题与试题）2015年1月抽象代数试题及答案（B）

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运城学院应用数学系 2014-2015 学年第一学期期末考试抽象代数 B 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 36，则 a 16的阶等于 9 。 2、在 3 次对称群 S3 中，H＝{(1)，(123)，(132)}是 S3 的一个不变子群，则商群 G/H 中的元素(13)H＝ {(12)，(13)，(23)} 。 3、如果 G 是一个阶为 12 的群，H 是 G 的 3 阶子群，那么 H 在 G 中的指数为 4 。 4、设 φ 是群 G 到群 G 的同态映射，a∈G，( ) a a  ，那么 3 ( ) a = 3 a 。 5、设 G=   a 是 10 阶循环群，则 G 的生成元素有 4 个。 6、设 σ=(6 4 7 5 1 2)是一个轮换，则 σ 的逆为 (2 1 5 7 4 6) 。 7、规定实数集 R 上的运算×为 a×b=3ab+a+b(等号右边的运算是普通乘法和普通加法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足结合律、交换率。 8、整数集 G 关于乘法：a·b=a+b+9 是群，那么 G 中的单位元是 -9 。 9、在 Z8 中， 1 2(3 4)    7 。 10、若一个置换群中含有 k 个偶置换，则其共含有元素 k 或 2k 个。二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、设          6 4 3 1 7 5 2 1 2 3 4 5 6 7  ，          7 1 6 5 3 2 4 1 2 3 4 5 6 7  ，求   1 。解：           4 7 3 2 6 1 5 1 1 2 3 4 5 6 7  ，           5 4 1 6 3 7 2 1 1 2 3 4 5 6 7   。……10 分 12、设 S 为群 G 的非空子集，称 N S a ( ) {a G,aS Sa}    为 S 在 G 中的正规化子，证明 N(S)是 G 的子群。证明：对任意的 a、b∈N(S)，有 aS=Sa，bS=Sb。……2 分则有，(ab)S=a(bS)=a(Sb)=(aS)b=(Sa)b=S(ab)，所以 ab∈N(S)。……4 分又由 aS=Sa 易得 Sa-1 =a-1 S，所以 a -1∈N(S)。从而，N(S)是 G 的子群。……4 分 13、证明数集 Z[ 2 ] = {a + b 2 | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环。证明：1) 任给 α = a + b 2 , β = c + d 2 ∈Z[ 2 ]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d) 2 ∈Z[ 2 ]，αβ = (ac - 2bd) + (ad + bc) 2 ∈Z[ 2 ] 所以，数的加法与乘法是 Z[ 2 ]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[ 2 ]的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分

3) 因为 0 = 0 + 0 2 ∈Z[ 2 ]，且对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[ 2 ]的零元。......2 分 4) 对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有-α = -a – b 2 = (-a) + (-b) 2 ∈ Z[ 2 ]，且 α + (-α) = 0，所以，α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]的负元为(-a) + (-b) 2 ∈ Z[ 2 ]。......2 分 5) 因为 1 = 1 + 0 2 ∈Z[ 2 ]，且对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有 1α = α1 = α，所以数 1 为 Z[ 2 ]的单位元。......2 分证毕。 14、证明环 R 的元素 a≠0 是正则元  由 axa=0 可得 x=0。证明：设 a≠0 是环 R 的正则元，且 axa=0，于是 a(xa)=0，从而 xa=0，故 x=0。……5 分反之，设元素 a 满足条件，且 ab=0，则便有 aba=0，从而 b=0，同理，若 ba=0，便有 aba=0，从而 b=0。即 a 不是零因子，从而是正则元。……5 分三、解答题（每小题 10 分，共 30 分） 15、写出阶为 7 的循环群 G=   a 的自同构群 Aut(G)，并说明 Aut(G)是否是循环群。解：Aut(G)={α1，α2，α3，α4，α5，α6}，其中 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 e a a a a a a e a a a a a a           ， 2 3 4 5 6 2 2 4 6 3 5 e a a a a a a e a a a a a a         ， 2 3 4 5 6 3 3 6 2 5 4 e a a a a a a e a a a a a a         ， 2 3 4 5 6 4 4 5 2 6 3 e a a a a a a e a a a a a a         ， 2 3 4 5 6 5 5 3 6 4 2 e a a a a a a e a a a a a a         ， 2 3 4 5 6 6 6 5 4 3 2 e a a a a a a e a a a a a a         。......8 分 Aut(G)是循环群，α3，α5 都是其生成元。......2 分 16、将置换 g 分解成不相交轮换的乘积，其中有 λ1 个 1 轮换，有 λ2 个 2 轮换，……，有 λn 个 n 轮换(λi 可以是 0)，给一种编码，形式上记为 n x x x n    1 1 2 2  称其为置换 g 的轮换指数。例如置换(1)(5)(27)(346)有 2 个 1 轮换，1 个 2 的轮换，1 个 3 轮换，0 个 4 轮换，0 个 5 轮换，0 个 6 轮换，0 个 7 轮换，故其轮换指数是 0 7 0 6 0 5 0 4 1 3 1 2 2 x1 x x x x x x

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