运城学院：《抽象代数 Abstract algebra》课程教学资源（习题与试题）2015年1月抽象代数试题及答案（A）

运城学院应用数学系2014-2015学年第一学期期末考试抽象代数A 一、填空题（每空3分，共30分) 1、已知群G中的元素a的阶等于36，则a3的阶等于9_。 2、在3次对称群S3中，H={(1),(123),(132)}是S3的一个不变子群，则商群 G/H中的元素(12)H=12),13),23)}。 3、如果G是一个阶为12的群，H是G的4阶子群，那么H在G中的指数为3_。 4、设p是群G到群G的同态映射，a∈G,p(a)=a,那么p(a)=a。 5、设G=(a)是9阶循环群，则G的生成元素有6个。 6、设0=(215746)是一个轮换，则6的逆为(647512)。 7、规定实数集R上的运算×为a×b=2ab+a+b(等号右边的运算是普通乘法和普通 加法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足结合律、交换率。 8、整数集G关于乘法：ab=a+b+11是群，那么G中的单位元是-11一。 9、在Z6中，1+2(3+4)=3。 10、若一个置换群中含有k个元素，则其中偶置换有k或k2个。 二、简答题（每小题10分，共40分） 1234567 11、设o= 1234567 求ox。 7531642 314572 解：o1= 1234567 o-t= 1234567 ...10分 4736251 3462175 l2、设S为群G的非空子集，称N(S)={aaeG,aS=Sa}为S在G中的正规化子， 证明N(S)是G的子群。 证明：对任意的a、b∈N(S),有aS=Sa,bS=Sb。..2分 则有，(ab)S=a(bS)=a(Sb)=(aS)b=(Sa)b=S(ab),所以ab∈N(S)。.4分 又由aS=Sa易得Sa=alS,所以a∈N(S)。从而，N(S)是G的子群。...4分 l3、证明数集Z[)={a+bia,b∈Z关于数的加法与乘法是有单位元的交换环。 证明：1)任给a=a+bi,B=c+di∈Z,a,b,c,d∈Z,则 a+β=(a+c)+(b+d)i∈Z[i叮]，a=(ac-bd)+(ad+bc)i∈Z[ij 所以，数的加法与乘法是Z[的的代数运算。2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以Z[) 的加法与乘法也满足这些运算律。2分 3)因为0=0+0i∈Z[,且对任意的a=a+bi∈Z[i,有0+a=a+0=a,所以 0为Z[的的零元。2分 4)对任意的a=a+bi∈Z[i,有-a=-a-bi=(-a)+(-b)i∈Z[,且a+(a)=0, 所以，a=a+bi∈Z[i的负元为(-a+(-b)i∈Z[i门。.2分 5)因为1=1+0i∈Z[i,且对任意的a=a+bi∈Z[i,有1a=al=a,所以数1

运城学院应用数学系 2014-2015 学年第一学期期末考试抽象代数 A 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 36，则 a 8 的阶等于 9 。 2、在 3 次对称群 S3 中，H＝{(1)，(123)，(132)}是 S3 的一个不变子群，则商群 G/H 中的元素(12)H＝ {(12)，(13)，(23)} 。 3、如果 G 是一个阶为 12 的群，H 是 G 的 4 阶子群，那么 H 在 G 中的指数为 3 。 4、设 φ 是群 G 到群 G 的同态映射，a∈G，( ) a a  ，那么 1 ( ) a  = 1 a  。 5、设 G=   a 是 9 阶循环群，则 G 的生成元素有 6 个。 6、设 σ=(2 1 5 7 4 6)是一个轮换，则 σ 的逆为 (6 4 7 5 1 2) 。 7、规定实数集 R 上的运算×为 a×b=2ab+a+b(等号右边的运算是普通乘法和普通 加法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足 结合律、交换率 。 8、整数集 G 关于乘法：a·b=a+b+11 是群，那么 G 中的单位元是 -11 。 9、在 Z6 中， 1 2(3 4)    3 。 10、若一个置换群中含有 k 个元素，则其中偶置换有 k 或 k/2 个。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、设          7 5 3 1 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7  ，          3 1 4 5 7 2 6 1 2 3 4 5 6 7  ，求   1 。 解：           4 7 3 6 2 5 1 1 1 2 3 4 5 6 7  ，           3 4 6 2 1 7 5 1 1 2 3 4 5 6 7   。……10 分 12、设 S 为群 G 的非空子集，称 N S a ( ) {a G,aS Sa}    为 S 在 G 中的正规化子， 证明 N(S)是 G 的子群。 证明：对任意的 a、b∈N(S)，有 aS=Sa，bS=Sb。……2 分 则有，(ab)S=a(bS)=a(Sb)=(aS)b=(Sa)b=S(ab)，所以 ab∈N(S)。……4 分 又由 aS=Sa 易得 Sa-1 =a-1 S，所以 a -1∈N(S)。从而，N(S)是 G 的子群。……4 分 13、证明数集 Z[i]={a+bi | a, b∈Z}关于数的加法与乘法是有单位元的交换环。 证明：1) 任给 α = a + bi, β = c + di∈Z[i]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d)i∈Z[i]，αβ = (ac - bd) + (ad + bc)i∈Z[i] 所以，数的加法与乘法是 Z[i]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[i] 的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分 3) 因为 0 = 0 + 0i∈Z[i]，且对任意的 α = a + bi∈Z[i]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[i]的零元。......2 分 4) 对任意的 α = a + bi∈Z[i]，有-α = -a – bi = (-a) + (-b)i∈Z[i]，且 α + (-α) = 0， 所以，α = a + bi∈Z[i]的负元为(-a) + (-b)i∈Z[i]。......2 分 5) 因为 1 = 1 + 0i∈Z[i]，且对任意的 α = a + bi∈Z[i]，有 1α = α1 = α，所以数 1

为Z[的单位元。证毕。2分 14、证明若环R有正则元，则其全体正则元对乘法作成一个半群。 证明：设S是由环R的全体正则元作成的集合，并令a、b∈S,且ab)c=O,于是 得abc=0。但a是正则元，故bc=0,又因b是正则元，故c=0。..5分 同理，由cab)=0可得c=0,因此ab是正则元，ab∈S,从而S半群。..5分 三、解答题（每小题10分，共30分） 15、写出阶为5的循环群G=(a〉的自同构群Aut(G),说明Aut(G)是否是循环群。 解：Aut(G)={a1,2,3,4},其中 a=e aa ad a" e aaaa = a-e a aaa aaa a e a a2 aa e a'aaa 8分 Aut(G)是循环群，2,3都是其生成元。2分 16、将置换g分解成不相交轮换的乘积，其中有1个1轮换，有2个2轮换，…， 有m个n轮换()可以是0)，给一种编码，形式上记为xx2…x。,称其为置换g的轮 换指数。例如置换(1)(5)(27)(346)有2个1轮换，1个2的轮换，1个3轮换，0个4轮 换，0个5轮换，0个6轮换，0个7轮换，故其轮换指数是x2x3X9X5X8x9,在不会混 淆的情况下也简单记为xx2x。求置换 (12345678 9 123456789 = 97621435 8 7 98432156 的轮换指数。 解：0=(1985)(27346)，指数x4x,,B=(17)(296)(385)(4),指数x1x2x3.10分 17、关于群的同态你都知道什么？有条理的写出来。 解：没有明确答案，写对一条4分，写对两条7分，写对三条及以上10分。如： 同态映射将群中单位元映成单位元，互逆的元映成互逆的元，子群映成子群，子群的逆 是子群，每个群能且只能与它的商群同态，循环群的同态像是循环群

为 Z[i]的单位元。证毕。......2 分 14、证明若环 R 有正则元，则其全体正则元对乘法作成一个半群。 证明：设 S 是由环 R 的全体正则元作成的集合，并令 a、b∈S，且(ab)c=0，于是 得 a(bc)=0。但 a 是正则元，故 bc=0，又因 b 是正则元，故 c=0。……5 分 同理，由 c(ab)=0 可得 c=0，因此 ab 是正则元，ab∈S，从而 S 半群。……5 分 三、解答题（每小题 10 分，共 30 分） 15、写出阶为 5 的循环群 G=   a 的自同构群 Aut(G)，说明 Aut(G)是否是循环群。 解：Aut(G)={α1，α2，α3，α4}，其中 2 3 4 1 2 3 4 e a a a a e a a a a           ， 2 3 4 2 2 4 3 e a a a a e a a a a         ， 2 3 4 3 3 4 2 e a a a a e a a a a         ， 2 3 4 4 4 3 2 e a a a a e a a a a         。......8 分 Aut(G)是循环群，α2，α3 都是其生成元。......2 分 16、将置换 g 分解成不相交轮换的乘积，其中有 λ1 个 1 轮换，有 λ2 个 2 轮换，……， 有 λn 个 n 轮换(λi 可以是 0)，给一种编码，形式上记为 n x x x n    1 1 2 2  ，称其为置换 g 的轮 换指数。例如置换(1)(5)(27)(346)有 2 个 1 轮换，1 个 2 的轮换，1 个 3 轮换，0 个 4 轮 换，0 个 5 轮换，0 个 6 轮换，0 个 7 轮换，故其轮换指数是 0 7 0 6 0 5 0 4 1 3 1 2 2 x1 x x x x x x ，在不会混 淆的情况下也简单记为 2 3 2 x1 x x 。求置换          9 7 6 2 1 4 3 5 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9  ，          7 9 8 4 3 2 1 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9  的轮换指数。 解：α=(1985)(27346)，指数 x 4 x 5 ，β=(17)(296)(385)(4)，指数 2 x1 x 2 x 3 。......10 分 17、关于群的同态你都知道什么？有条理的写出来。 解：没有明确答案，写对一条 4 分，写对两条 7 分，写对三条及以上 10 分。如： 同态映射将群中单位元映成单位元，互逆的元映成互逆的元，子群映成子群，子群的逆 是子群，每个群能且只能与它的商群同态，循环群的同态像是循环群