运城学院应用数学系2021年1月抽象代数试题及答案(B) 一、填空题（每空3分，共30分) 1、在S中所有与(132)可交换的元素为(1)、(123、(132)。 2、在区间[2,5]上有运算aob=max{a,b},则单位元为2。 3、如果G是阶为21的非循环群，则G中任意元素的阶只能是1、3、7。 4、设p是群G到群G的满同态满射，且G=n,=m,则Kergl=-”。 m 5、设H≤G,则右陪集Ha是G的子群的充分必要条件为a∈H或Ha=H。 6、已知群G中的元素a的阶等于15，则a0的阶等于3。 7、设G=(a)是11阶循环群，则G的生成元素有10个。 8、设0=(47512)是一个轮换，则σ的阶为5。 9、规定实数集R上的运算×为a×b=ab+a+b(等号右边的运算是普通乘法和普通加 法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足结合律、交换率。 10、若一个置换群中含有k个偶置换，则含有k或0个奇置换。 二、简答题（每小题10分，共40分） 12345 6 11、设o= 2 25641 求orl。 解：= 12345 6 62153 4 5分 612345 .5分 12、设G是群，H是G的正规子群，且(G:0=m。证明对G中任意元素a都有 m∈H。 证明：任取a∈G,则aH∈GH,而=(G:HD=m,故有H=(aH严=aH, 所以am∈H。10分 13、设p是一个素数，m是一正整数，证明p"阶群G中一定有p阶元。 证明：在群G中任取一个元素ae,设a=n,则必有np",所以n=p,1≤s≤m, 即d=p=pp，从而a=p。l0分 14、若p是群G到群G的同态映射，证明mp≤G
运城学院应用数学系 2021 年 1 月抽象代数试题及答案（B） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、在 S3 中所有与（1 3 2）可交换的元素为 (1)、(1 2 3)、(1 3 2) 。 2、在区间[2, 5]上有运算 a b a b = max{ , } ，则单位元为 2 。 3、如果 G 是阶为 21 的非循环群，则 G 中任意元素的阶只能是 1、3、7 。 4、设 是群 G 到群 G 的满同态满射，且 G n = ， G m= ，则 Ker = n m 。 5、设 H G ，则右陪集 Ha 是 G 的子群的充分必要条件为 a H 或 Ha=H 。 6、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 15，则 a 10的阶等于 3 。 7、设 G a = 是 11 阶循环群，则 G 的生成元素有 10 个。 8、设 σ=(4 7 5 1 2)是一个轮换，则 σ 的阶为 5 。 9、规定实数集 R 上的运算×为 a×b=ab+a+b(等号右边的运算是普通乘法和普通加 法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足 结合律、交换率 。 10、若一个置换群中含有 k 个偶置换，则含有 k 或 0 个奇置换。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、设 1 2 3 4 5 6 2 1 4 5 3 6 = ， 1 2 3 4 5 6 3 2 5 6 4 1 = ，求 1 − 。 解： 1 1 2 3 4 5 6 6 2 1 5 3 4 − = ，......5 分 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 1 4 5 3 6 6 2 1 5 3 4 6 1 2 3 4 5 − = = 。......5 分 12、设 G 是群，H 是 G 的正规子群，且(G : H)=m。证明对 G 中任意元素 a 都有 a m∈H。 证明：任取 a∈G，则 aH∈G/H，而 G ( : ) G H m H = = ，故有 H = (aH) m = amH， 所以 a m∈H。......10 分 13、设 p 是一个素数，m 是一正整数，证明 p m阶群 G 中一定有 p 阶元。 证明：在群 G 中任取一个元素 a≠e，设 a n = ，则必有 m n p ，所以 n=ps，1≤s≤m， 即 1 = s s a p p p − = ，从而 s 1 p a p − = 。......10 分 14、若 是群 G 到群 G 的同态映射，证明 Im G
证明：任取h,h,elmo,则存在a,a2∈G,使得h=p(a),h=p(42),4 分 所以hh2=pa)p(a2)=p(aa2)eImp,3分 h=p(a)=p(a)∈mp。3分 所以Imo≤G。 三、证明、计算、推理题（每小题10分，共30分) 15(计算题)、写出S的所有子群。 解：S3共有6个子群，分别为{(1)}、{(1)，(12)}、{(1)，(13)}、{(1)，(23)}、{(1)，(123)， (132)}、S3。..10分 16(证明题)、证明数集Z√-2]={a+b√-21a,b∈Z关于数的加法与乘法构成一 个有单位元的交换环。（注：√一2=√2i,其中i为虚数单位） 证明：1)任给a=a+b-2,B=c+d2∈Z[2],a,b,c,d∈Z,则 a+B=(a+c)+(b+d)√-2∈Z[V-2] a邱=(ac-2bd)+(ad+bc)v-2∈Z[√-2] 所以，数的加法与乘法是Z√一2]的代数运算。2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z√一2]的加法与乘法也满足这些运算律。2分 3)因为0=0+0√-2∈Z[√-2]，且对任意的=a+b√-2∈Z[√-2]，有0+a= a+0=a,所以0为Z[√-2]的零元。2分 4)对任意的a=a+b√-2∈Z[√-2]，有-a=-a-b√-2=(a)+(-b)√-2∈ Z[√2]，且a+(-)=0,所以，a=a+b√2∈Z[√2]的负元为(-a)+(-b)√2∈ Z[√-2]。.2分 5)因为1=1+0√-2∈Z[√2]，且对任意的a=a+b√2eZ[-2],有la=al =,所以数1为Z√-2]的单位元。2分
证明：任取 1 2 h h, Im ，则存在 1 2 a a G , ，使得 1 1 h a =( ) ， 2 2 h a =( )，......4 分 所以 1 2 1 2 1 2 h h a a a a = = ( ) ( ) ( ) Im ，......3 分 1 1 1 1 1 1 h a a ( ) ( ) Im − − − = = 。......3 分 所以 Im G。 三、证明、计算、推理题（每小题 10 分，共 30 分） 15(计算题)、写出 S3 的所有子群。 解：S3 共有 6 个子群，分别为{(1)}、{(1), (12)}、{(1), (13)}、{(1), (23)}、{(1), (123), (132)}、S3。……10 分 16(证明题)、证明数集 Z[ −2 ] = {a + b −2 | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一 个有单位元的交换环。(注： − = 2 2 i ，其中 i 为虚数单位) 证明：1) 任给 α = a + b −2 , β = c + d −2 ∈Z[ −2 ]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d) −2 ∈Z[ −2 ] αβ = (ac - 2bd) + (ad + bc) −2 ∈Z[ −2 ] 所以，数的加法与乘法是 Z[ −2 ]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[ −2 ]的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分 3) 因为 0 = 0 + 0 −2 ∈Z[ −2 ]，且对任意的 α = a + b −2 ∈Z[ −2 ]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[ −2 ]的零元。......2 分 4) 对任意的 α = a + b −2 ∈Z[ −2 ]，有-α = -a – b −2 = (-a) + (-b) −2 ∈ Z[ −2 ]，且 α + (-α) = 0，所以，α = a + b −2 ∈Z[ −2 ]的负元为(-a) + (-b) −2 ∈ Z[ −2 ]。......2 分 5) 因为 1 = 1 + 0 −2 ∈Z[ −2 ]，且对任意的 α = a + b −2 ∈Z[ −2 ]，有 1α = α1 = α，所以数 1 为 Z[ −2 ]的单位元。......2 分
证毕。 17(推理题)、使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换。 正方形的四个顶点分别用1、2、3、4来表示（如图），于是正方形的每一对称变换 可用一个4元置换来表示。 绕中心O旋转90度（逆时针方向，下同）的变换是正方形的一个对称变换，它使 得顶点1变为2,2变为3,3变为4,4变为1，因此这个对称变换可以表示为 123 02= 类似的，绕中心0旋转180度、270度、360度的变换都是正方形 2341 的对称变换，绕中心0旋转180度、360度的变换分别为0= 1234 3412 234 1 234 关于4条对称轴的翻转也都是正方形的对称变换，如关于对称轴的翻转，将顶 点1变为2,2变为1,3变为4,4变为3，因此这个对称变换可以表示为0，= (1234 2143 1234 类似的，关于对称轴2的翻转为P。= 4321 事实上，正方形的对称变换只有上面提到的8个，它们组成的集合是S4的一个子 群，称为正方形的对称变换群，或二面体群，记为D4。 问题：写出正方形绕中心0旋转270度的对称变换4；写出正方形关于对称轴 5、14的翻转p7和pg
证毕。 17(推理题)、使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换。 正方形的四个顶点分别用 1、2、3、4 来表示(如图)，于是正方形的每一对称变换 可用一个 4 元置换来表示。 绕中心 O 旋转 90 度(逆时针方向，下同)的变换是正方形的一个对称变换，它使 得顶点 1 变为 2，2 变为 3，3 变为 4，4 变为 1，因此这个对称变换可以表示为 2 1 2 3 4 2 3 4 1 = 。类似的，绕中心 O 旋转 180 度、270 度、360 度的变换都是正方形 的对称变换，绕中心 O 旋转 180 度、360 度的变换分别为 3 1 2 3 4 3 4 1 2 = 、 1 1 2 3 4 1 2 3 4 = 。 关于 4 条对称轴的翻转也都是正方形的对称变换，如关于对称轴 l1 的翻转，将顶 点1变为2，2变为1，3变为4，4变为3，因此这个对称变换可以表示为 5 1 2 3 4 2 1 4 3 = 。 类似的，关于对称轴 l2 的翻转为 6 1 2 3 4 4 3 2 1 = 。 事实上，正方形的对称变换只有上面提到的 8 个，它们组成的集合是 S4 的一个子 群，称为正方形的对称变换群，或二面体群，记为 D4。 问题：写出正方形绕中心 O 旋转 270 度的对称变换 φ4；写出正方形关于对称轴 l3、l4 的翻转 φ7 和 φ8
解：正方形绕中心0旋转270度的对称变换p4= 1234 4123 关于对称轴3 1234 1234 的翻转为0，= (1432 关于对称轴14的翻转pg= 3214 答对1个4分，答对2个7分，答对3个10分
解：正方形绕中心 O 旋转 270 度的对称变换 4 1 2 3 4 4 1 2 3 = ，关于对称轴 l3 的翻转为 7 1 2 3 4 1 4 3 2 = ，关于对称轴 l4 的翻转 8 1 2 3 4 3 2 1 4 = 。 ......答对 1 个 4 分，答对 2 个 7 分，答对 3 个 10 分