运城学院应用数学系2022年1月抽象代数试题及答案(B) 一、填空题（每空3分，共30分） l、规定整数集Z上的运算×为a×b=a+b-ab(等号右边的运算是普通乘法和加法)， 则对于结合率和交换率而言，这个运算满足结合律、交换率。 2、整数集Z关于运算×：a×b=a+b-1(等号右边的运算是普通乘法和加法)是群，则 Z中的单位元是1。 3、己知群G中的元素a的阶等于6，则a4的阶等于3。 4、7阶循环群有6_个生成元。 5、N是群G的正规子群，商群G人中的运算为(aN)bN)=abN,则G人的单位元 为N ta:G→G 6、群G的内自同构映射x。为 x→axa 7、5元对称群S5有60个偶置换。 8、6阶群中必有1、2、3阶元。 9、环Zs中的可逆元为1,3,5,7 10、在Z5中多项式f0)=x-了的根工，4为。 二、简答题（每小题10分，共40分) 1、设G是交换群，H是G中所有有限阶元素组成的集合，证明H是G的子群。 证明：对任意的a,b∈H,设a,b的阶分别为m,n,则(ab)mn=amnbmn=-e,所以ab 的阶小于mn,所以ab∈H。又al的阶也为m,所以al∈H。故H是G的子群。l0 分 2、若a是群G中唯一的2阶元素，证明a是中心元。 证明：对任意的x∈G,有xar=la=2,由2阶元的唯一性得xaxl=a,即xa=ax, 所以a是中心元。...10分
运城学院应用数学系 2022 年 1 月抽象代数试题及答案（B） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、规定整数集 Z 上的运算×为 a×b=a+b-ab(等号右边的运算是普通乘法和加法)， 则对于结合率和交换率而言，这个运算满足 结合律、交换率 。 2、整数集 Z 关于运算×：a×b=a+b-1(等号右边的运算是普通乘法和加法)是群，则 Z 中的单位元是 1 。 3、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 6，则 a 4 的阶等于 3 。 4、7 阶循环群有 6 个生成元。 5、N 是群 G 的正规子群，商群 G N 中的运算为(aN)(bN)= abN，则 G N 的单位元 为 N 6、群 G 的内自同构映射 a 为 1 a G G x axa − → → ： 。 7、5 元对称群 S5 有 60 个偶置换。 8、6 阶群中必有 1、2、3 阶元。 9、环 Z8 中的可逆元为 1，357 ，， 。 10、在 Z5 中多项式 2 f x x ( ) 1 = − 的根 1, 4 为。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 1、设 G 是交换群，H 是 G 中所有有限阶元素组成的集合，证明 H 是 G 的子群。 证明：对任意的 a, b∈H，设 a, b 的阶分别为 m, n，则(ab)mn=amnb mn=e，所以 ab 的阶小于 mn，所以 ab∈H。又 a -1 的阶也为 m，所以 a -1∈H。故 H 是 G 的子群。......10 分 2、若 a 是群 G 中唯一的 2 阶元素，证明 a 是中心元。 证明：对任意的 x∈G，有 1 xax a 2 − = = ，由 2 阶元的唯一性得 xax-1=a，即 xa=ax， 所以 a 是中心元。……10 分 3、设两个 6 次置换 1 2 3 4 5 6 2 1 4 3 6 5 = ， 1 2 3 4 5 6 2 4 5 6 1 3 = ，求 1 −
.5分 4、设G是群，H≤G,若G=aHUa,HU…是群G关于H的左陪集分解，且有 aH=Hai,i=l,2,.,证明H是G的正规子群。 证明：对任意的x∈G=aHUa,HU…,必有唯一的i使得x∈a,H=Ha,所以 xH=a,H,H=Ha,所以xH=Hx,所以H是G的正规子群。10分 三、证明题（每小题10分，共10分) 证明数集Z[V-5]={a+b√一5引a,beZ;关于数的加法与乘法构成一个有单位元 的交换环，其中√5表示√5i,i是虚数单位，即-1。 证明：1)任给a=a+bV-5,B=c+d√-5∈Z-5],a,b,c,d∈Z,则 a+B=(a+c)+(b+d)-5∈Z[-5] aB=(ac-5bd)+(ad+bc)5EZ[5] 所以，数的加法与乘法是Z√-5]的代数运算。2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[√一巧]的加法与乘法也满足这些运算律。2分 3)因为0=0+0√-5∈Z√-5]，且对任意的a=a+b√-5∈Z[√-5]，有0+a= a+0=a,所以0为Z[-5]的零元。2分 4)对任意的a=a+b-5∈ZI-5],有-a=-a-b-5=(←-a)+(b)√-巧∈ Z[V-5],且a+(-)=0,所以，a=a+b√-5∈Z[V-5]的负元为(-a)+(b)√5∈ Z-5]。2分 5)因为1=1+0√-5∈Z[√-5]，且对任意的a=a+b√-5∈Z[√-5]，有1a=al =a,所以数1为Z√-5]的单位元。2分
解： 1 1 2 3 4 5 6 5 1 6 2 3 4 − = ，......5 分 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 1 4 3 6 5 5 1 6 2 3 4 6 2 5 1 4 3 − = = 。......5 分 4、设 G 是群， H G ，若 G a H a H = 1 2 是群 G 关于 H 的左陪集分解，且有 aiH=Hai，i=1, 2, …，证明 H 是 G 的正规子群。 证明：对任意的 1 2 x G a H a H = ，必有唯一的 i 使得 i i x a H Ha = ，所以 i xH a H = ， Hx Ha = i ，所以 xH=Hx，所以 H 是 G 的正规子群。......10 分 三、证明题（每小题 10 分，共 10 分） 证明数集 Z[ −5 ] = {a + b −5 | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一个有单位元 的交换环，其中 −5 表示 5 i，i 是虚数单位，即 i 2=-1。 证明：1) 任给 α = a + b −5 , β = c + d −5 ∈Z[ −5 ]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d) −5 ∈Z[ −5 ] αβ = (ac - 5bd) + (ad + bc) −5 ∈Z[ −5 ] 所以，数的加法与乘法是 Z[ −5 ]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[ −5 ]的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分 3) 因为 0 = 0 + 0 −5 ∈Z[ −5 ]，且对任意的 α = a + b −5 ∈Z[ −5 ]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[ −5 ]的零元。......2 分 4) 对任意的 α = a + b −5 ∈Z[ −5 ]，有-α = -a – b −5 = (-a) + (-b) −5 ∈ Z[ −5 ]，且 α + (-α) = 0，所以，α = a + b −5 ∈Z[ −5 ]的负元为(-a) + (-b) −5 ∈ Z[ −5 ]。......2 分 5) 因为 1 = 1 + 0 −5 ∈Z[ −5 ]，且对任意的 α = a + b −5 ∈Z[ −5 ]，有 1α = α1 = α，所以数 1 为 Z[ −5 ]的单位元。......2 分
四、探索题（每小题10分，共10分） 设R2x2是实数域上的2阶全矩阵环（由R上所有2阶方阵构成），设 证明N是R2x2的右理想。 证明：首先，R2x2上的零元为零矩阵O= 元素A=aa 的负元为 a21a2 -a2 对 任意的 a-o.a-l8 0)cw 有 a-a=日8）-68-。6eN,所以N是R的子加群.6分 b 又对 任 意的 a=a 411 a12 ∈R2x2 ,有 a a22 aau+baz aa2 +ba aA= ∈N,所以N是R2x2的右理想。4分 0 五、应用题（每小题10分，共10分） 魔方(3阶魔方)是由26个小正方体组成的去心 大正方体（去除了中心小正方体），共有6个面，每个 面上有9个小块，共54个小块。 一个简单的事实是在不对魔方中间层进行转 动的情况下，无论怎样转动魔方，各个面的中心块总 是固定的。把魔方的六个外表面用f、b、r、l、u、d 来表示，即f表示前表面，b后表面、r右表面、1左 表面、u上表面、d下表面，并将这6个字母标在相 应面的中心块上。 面对魔方的f面，将其顺时针旋转90°的操作记为F,显然f面的顺时针旋转180° 和逆时针旋转90°分别为F2和F1。同样可以分别用R、L、U、D、B来表示其它相应5 个面的顺时针旋转90°的操作。魔方中间层的旋转可以看成旁边两层同时向另一个方向
四、探索题（每小题 10 分，共 10 分） 设 R2×2 是实数域上的 2 阶全矩阵环(由 R 上所有 2 阶方阵构成)，设 , 0 0 a b N a b R = ，证明 N 是 R2×2 的右理想。 证明：首先，R2×2 上的零元为零矩阵 0 0 0 0 O = ，元素 11 12 21 22 a a A a a = 的负元为 11 12 21 22 a a A a a − − − = − − 。 对 任 意 的 0 0 0 0 a b c d N N = = ， ， 有 0 0 0 0 0 0 a b c d a c b d N − − − = − = ，所以 N 是 R2×2 的子加群。......6 分 又 对 任 意 的 11 12 2 2 0 0 21 22 a b a a N A R a a = = ， ， 有 11 21 12 22 0 0 aa ba aa ba A N + + = ，所以 N 是 R2×2 的右理想。......4 分 五、应用题（每小题 10 分，共 10 分） 魔方(3 阶魔方)是由 26 个小正方体组成的去心 大正方体(去除了中心小正方体)，共有 6 个面，每个 面上有 9 个小块，共 54 个小块。 一个简单的事实是在不对魔方中间层进行转 动的情况下，无论怎样转动魔方，各个面的中心块总 是固定的。把魔方的六个外表面用 f、b、r、l、u、d 来表示，即 f 表示前表面，b 后表面、r 右表面、l 左 表面、u 上表面、d 下表面，并将这 6 个字母标在相 应面的中心块上。 面对魔方的 f 面，将其顺时针旋转 90º的操作记为 F，显然 f 面的顺时针旋转 180º 和逆时针旋转 90º分别为 F 2 和 F -1。同样可以分别用 R、L、U、D、B 来表示其它相应 5 个面的顺时针旋转 90º的操作。魔方中间层的旋转可以看成旁边两层同时向另一个方向
旋转。这样，这6个基本旋F、R、L、U、D、B转组成了魔方的全部变化。 魔方的转动实质上是一种置换，在由魔方所有转动组成的集合G上考虑映射的合 成运算，则G构成一个群，称为魔方群。可以证明，魔方群G就是由F、R、L、U、D、 B生成的群，即 G= 魔方群中的元素是魔方表面上54个小块的置换，由前面所说，可以不考虑中心 块的位置变化，所以，魔方群的元素可以看成是限制在另外48个小块上的置换。这样 魔方群实际上是S48的一个子群。如果如下图所示标记各个小块，那么6个基本旋转可 以表示为 6 > 8 9 10 11 17 18 19 25 26 27 33 34 35 12 13 20 21 28 29 36 37 14 16 22 23 24 30 31 32 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 48 F=(6254316)1183041)(7284213)(24221719)20182123) B=(1144827)35403833)(2124729)(394632)(36343739) L=(1174140)(4204437)(9111614)(13151210)(6224635) R=(3384319)(2483348)(5364521)28262931)25273230) U=(1386)(2574)(9332517)1034261811352719) D=(43484641)14203038)16243240)(42454744)(15233139) 问R是奇置换还是偶置换，它的阶是多少？ 解：奇置换，阶为4。.10分
旋转。这样，这 6 个基本旋 F、R、L、U、D、B 转组成了魔方的全部变化。 魔方的转动实质上是一种置换，在由魔方所有转动组成的集合 G 上考虑映射的合 成运算，则 G 构成一个群，称为魔方群。可以证明，魔方群 G 就是由 F、R、L、U、D、 B 生成的群，即 G= 魔方群中的元素是魔方表面上 54 个小块的置换，由前面所说，可以不考虑中心 块的位置变化，所以，魔方群的元素可以看成是限制在另外 48 个小块上的置换。这样 魔方群实际上是 S48 的一个子群。如果如下图所示标记各个小块，那么 6 个基本旋转可 以表示为 1 2 3 4 u 5 6 7 8 9 10 11 17 18 19 25 26 27 33 34 35 12 l 13 20 f 21 28 r 29 36 b 37 14 15 16 22 23 24 30 31 32 38 39 40 41 42 43 44 d 45 46 47 48 F=(6 25 43 16)(11 8 30 41)(7 28 42 13)(24 22 17 19)(20 18 21 23) B=(1 14 48 27)(35 40 38 33)(2 12 47 29)(3 9 46 32)(36 34 37 39) L=(1 17 41 40)(4 20 44 37)(9 11 16 14)(13 15 12 10)(6 22 46 35) R=(3 38 43 19)(24 8 33 48)(5 36 45 21)(28 26 29 31)(25 27 32 30) U=(1 3 8 6)(2 5 7 4)(9 33 25 17)(10 34 26 18)(11 35 27 19) D=(43 48 46 41)(14 20 30 38)(16 24 32 40)(42 45 47 44)(15 23 31 39) 问 R 是奇置换还是偶置换，它的阶是多少？ 解：奇置换，阶为 4。……10 分