运城学院应用数学系2021年1月抽象代数试题及答案(A) 一、填空题（每空3分，共30分） 1、在S中所有与(123)可交换的元素为(1)、(123)、(132)。 2、在区间[1,2]上有运算aob=min{a,b},则单位元为2。 3、如果G是阶为15的非循环群，则G中任意元素的阶只能是1、3、5。 4、设0是群G到群G的满同态满射，且G=m,同=m,则Kr-” 5、设H≤G,则左陪集aH是G的子群的充分必要条件为a∈H或aH=H。 6、已知群G中的元素a的阶等于15，则a的阶等于5 7、设G=(a是10阶循环群，则G的生成元素有4个。 8、设0=(47512)是一个轮换，则o的逆为21574)。 9、规定实数集R上的运算×为a×b=ab-a-b(等号右边的运算是普通乘法和普通减 法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足交换率。 10、若一个置换群中含有k个偶置换，则这个群共含有k或2k个元素。 二、简答题（每小题10分，共40分） 123456 123456 11、设o= 214536= 325641 求ox。 解：1=23456 153465分 61 。5分 12、设G是群，N是G的正规子群。证明：如果N及商群GW都是周期群，则 G也是周期群。 证明：任取a∈G,则aN∈GN,因为商群GN是周期群，故有正整数m使N= (aN)m=amN,所以am∈N。5分 又因为N也是周期群，故又有正整数n,使e=(am)n=amm,从而a的阶有限，即 G是一个周期群。5分 13、设p是一个素数，m是一正整数，证明p"阶群G中一定有p阶元。 证明：在群G中任取一个元素a≠e,设a=n,则必有np",所以n=p,l≤s≤m, 即a=p=pp,从而a=p。l0分
运城学院应用数学系 2021 年 1 月抽象代数试题及答案（A） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、在 S3 中所有与（1 2 3）可交换的元素为 (1)、(1 2 3)、(1 3 2) 。 2、在区间[1, 2]上有运算 a b a b = min{ , } ，则单位元为 2 。 3、如果 G 是阶为 15 的非循环群，则 G 中任意元素的阶只能是 1、3、5 。 4、设 是群 G 到群 G 的满同态满射，且 G n = ， G m= ，则 Ker = n m 。 5、设 H G ，则左陪集 aH 是 G 的子群的充分必要条件为 a H 或 aH=H 。 6、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 15，则 a 9的阶等于 5 。 7、设 G a = 是 10 阶循环群，则 G 的生成元素有 4 个。 8、设 σ=(4 7 5 1 2)是一个轮换，则 σ 的逆为 (2 1 5 7 4) 。 9、规定实数集 R 上的运算×为 a×b=ab-a-b(等号右边的运算是普通乘法和普通减 法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足 交换率 。 10、若一个置换群中含有 k 个偶置换，则这个群共含有 k 或 2k 个元素。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、设 1 2 3 4 5 6 2 1 4 5 3 6 = ， 1 2 3 4 5 6 3 2 5 6 4 1 = ，求 1 − 。 解： 1 1 2 3 4 5 6 2 1 5 3 4 6 − = ，......5 分 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 1 5 3 4 6 3 2 5 6 4 1 5 1 4 6 3 2 − = = 。......5 分 12、设 G 是群，N 是 G 的正规子群。证明：如果 N 及商群 G/N 都是周期群，则 G 也是周期群。 证明：任取 a∈G，则 aN∈G/N，因为商群 G/N 是周期群，故有正整数 m 使 N = (aN)m = amN，所以 a m∈N。......5 分 又因为 N 也是周期群，故又有正整数 n，使 e = (am) n = amn，从而 a 的阶有限，即 G 是一个周期群。......5 分 13、设 p 是一个素数，m 是一正整数，证明 p m阶群 G 中一定有 p 阶元。 证明：在群 G 中任取一个元素 a≠e，设 a n = ，则必有 m n p ，所以 n=ps，1≤s≤m， 即 1 = s s a p p p − = ，从而 s 1 p a p − = 。......10 分
14、若0是群G到群G的同态映射，证明mp≤G。 证明：任取h,h∈mp,则存在a,a2∈G,使得h=p(a),h=p(a2),4 分 所以hh=p(a)p(a2)=p(a,a2)∈mp,.3分 h=p(a)=p(a)∈mp。.3分 所以mp≤G。 三、证明、计算、推理题（每小题10分，共30分) 15(计算题)、写出12阶循环群(a)的所有子群。 解：1阶子群为{e}, 2阶子群为{e,a}, 3阶子群为{e,a4,a8}, 4阶子群为{e,a3,a,a}, 6阶子群为{e,a2,a4,a5,a8,a0, 12阶子群为(a）。.10分 16(证明题)、证明数集Z[={a+bi|a,b∈Z关于数的加法与乘法构成一个有单 位元的交换环。 证明：I)任给a=a+bi,B=c+di∈Z[叮，a,b,c,d∈Z,则 a+B=(a+c)+(b+d)i∈Z[ a邱=(ac-bd)+(ad+bc)i∈Z[i 所以，数的加法与乘法是Z[门的代数运算。2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以Z[凹 的加法与乘法也满足这些运算律。2分 3)因为0=0+0i∈Z[的，且对任意的a=a+bi∈Z[),有0+a=a+0=a,所以 0为Z[的的零元。.2分 4)对任意的a=a+bi∈Z[i,有-a=-a-bi=(-a)+(-b)i∈Z[i,且a+(-a)=0, 所以，a=a+bi∈Z[的的负元为(-a)+(-b)i∈Z[叮。2分 5)因为1=1+0i∈Z[),且对任意的a=a+bi∈Z[i),有1a=a1=a,所以数1 为Z[们的单位元。2分 证毕。 17(推理题)、使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换
14、若 是群 G 到群 G 的同态映射，证明 Im G。 证明：任取 1 2 h h, Im ，则存在 1 2 a a G , ，使得 1 1 h a =( ) ， 2 2 h a =( )，......4 分 所以 1 2 1 2 1 2 h h a a a a = = ( ) ( ) ( ) Im ，......3 分 1 1 1 1 1 1 h a a ( ) ( ) Im − − − = = 。......3 分 所以 Im G。 三、证明、计算、推理题（每小题 10 分，共 30 分） 15(计算题)、写出 12 阶循环群 a 的所有子群。 解：1 阶子群为{e}， 2 阶子群为{e, a6}， 3 阶子群为{e, a4 , a8 }， 4 阶子群为{e, a3 , a6 , a9}， 6 阶子群为{e, a2 , a4 , a6 , a8 , a10}， 12 阶子群为 a 。......10 分 16(证明题)、证明数集 Z[i] = {a + bi | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一个有单 位元的交换环。 证明：1) 任给 α = a + bi, β = c + di∈Z[i]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d)i∈Z[i] αβ = (ac - bd) + (ad + bc)i∈Z[i] 所以，数的加法与乘法是 Z[i]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[i] 的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分 3) 因为 0 = 0 + 0i∈Z[i]，且对任意的 α = a + bi∈Z[i]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[i]的零元。......2 分 4) 对任意的 α = a + bi∈Z[i]，有-α = -a – bi = (-a) + (-b)i∈Z[i]，且 α + (-α) = 0， 所以，α = a + bi∈Z[i]的负元为(-a) + (-b)i∈Z[i]。......2 分 5) 因为 1 = 1 + 0i∈Z[i]，且对任意的 α = a + bi∈Z[i]，有 1α = α1 = α，所以数 1 为 Z[i]的单位元。......2 分 证毕。 17(推理题)、使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换
正方形的四个顶点分别用1、2、3、4来表示（如图），于是正方形的每一对称变换 可用一个4元置换来表示。 4 绕中心O旋转90度（逆时针方向，下同）的变换是正方形的一个对称变换，它使 得顶点1变为2,2变为3,3变为4,4变为1，因此这个对称变换可以表示为 123 p2= 2341 类似的，绕中心0旋转180度、270度、360度的变换都是正方形 1234 的对称变换，绕中心0旋转180度、360度的变换分别为9=3412、 1 234 234 关于4条对称轴的翻转也都是正方形的对称变换，如关于对称轴的翻转，将顶 点1变为2,2变为1,3变为4,4变为3，因此这个对称变换可以表示为0= (1234 类似的，关于对称轴么的翻转为0=气4321” 事实上，正方形的对称变换只有上面提到的8个，它们组成的集合是S4的一个子 群，称为正方形的对称变换群，或二面体群，记为D4。 问题：写出正方形绕中心O旋转270度的对称变换4：写出正方形关于对称轴 13、14的翻转p7和p8。 解：正方形绕中心0旋转20度的对格变换0，=召 关于对称轴13
正方形的四个顶点分别用 1、2、3、4 来表示(如图)，于是正方形的每一对称变换 可用一个 4 元置换来表示。 绕中心 O 旋转 90 度(逆时针方向，下同)的变换是正方形的一个对称变换，它使 得顶点 1 变为 2，2 变为 3，3 变为 4，4 变为 1，因此这个对称变换可以表示为 2 1 2 3 4 2 3 4 1 = 。类似的，绕中心 O 旋转 180 度、270 度、360 度的变换都是正方形 的对称变换，绕中心 O 旋转 180 度、360 度的变换分别为 3 1 2 3 4 3 4 1 2 = 、 1 1 2 3 4 1 2 3 4 = 。 关于 4 条对称轴的翻转也都是正方形的对称变换，如关于对称轴 l1 的翻转，将顶 点1变为2，2变为1，3变为4，4变为3，因此这个对称变换可以表示为 5 1 2 3 4 2 1 4 3 = 。 类似的，关于对称轴 l2 的翻转为 6 1 2 3 4 4 3 2 1 = 。 事实上，正方形的对称变换只有上面提到的 8 个，它们组成的集合是 S4 的一个子 群，称为正方形的对称变换群，或二面体群，记为 D4。 问题：写出正方形绕中心 O 旋转 270 度的对称变换 φ4；写出正方形关于对称轴 l3、l4 的翻转 φ7 和 φ8。 解：正方形绕中心 O 旋转 270 度的对称变换 4 1 2 3 4 4 1 2 3 = ，关于对称轴 l3
1234 的翻转为，=1432) 关于对称轴14的翻转p= 1234 3214 答对1个4分，答对2个7分，答对3个10分
的翻转为 7 1 2 3 4 1 4 3 2 = ，关于对称轴 l4 的翻转 8 1 2 3 4 3 2 1 4 = 。 ......答对 1 个 4 分，答对 2 个 7 分，答对 3 个 10 分
