运城学院应用数学系2016-2017学年第一学期期末考试抽象代数A 一、填空题（每空3分，共30分） 1、已知群G中的元素a的阶等于6，则a4的阶等于3。 2、19阶群有2个子群。 3、设H是群G的子群，且G有左陪集系{H,aH,bH,cH}。如果H的阶为5， 那么G的阶为20。 4、4元对称群S4有12个奇置换。 5、规定实数集R上的运算×为a×b=2ab+1(等号右边的运算是普通乘法和加法)， 则对于结合率和交换率而言，这个运算满足交换率。 6、H是群G的正规子群，商群么中的运算为aHbH=abH,则么的单位元 为H_。 7、在同构的意义下，有2个6阶群。 8、10阶循环群有4个生成元。 9、设0是群G到群G的同态映射，a∈G,p(a)=a,那么a=p(a)。 l0、设a、b、c和x都是群G中的元素，且x2a=bxc,acx=xac,那么x= be"a1 二、简答题（每小题10分，共40分) 11、若a是群G中唯一的2阶元素，证明a是中心元。 证明：对任意的x∈G,有x:=2,由2阶元的唯一性得xax'=a,即xa=ax, 所以a是中心元。..10分 12、设两个6次置换0= 123456 312645 ,= 123456 ,求o1。 2 45613 2345 6 5分 34 m-G 6123456)123456 5八516234435126 5分 13、设φ是群G到群H的一个同态映射，S是G的子群，证明S的象集p(S)是 H的子群。 证明：对任意的X,y∈p(S),存在s,t∈S,使得x=p(s),y=p(t),则xy=p(s)p(t) =p(st),由于st∈S,所以xy∈p(S):5分 又p(s)∈p(S),且x0(s)=o(s)p(s)=p(ss)=p(e),而p(e)是H的单位元，所 以φ(s)是x的逆元。 所以p(S)是H的子群。5分 14(10分)、已知G={(a,b)a,b∈R,a≠0}关于乘法：(a,b)(c,d)=(ac,ad+b)是群， K={L,b)b∈R,R*为非零实数关于普通乘法做成的群。证明：G火三R
运城学院应用数学系 2016-2017 学年第一学期期末考试抽象代数 A 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 6，则 a 4 的阶等于 3 。 2、19 阶群有 2 个子群。 3、设 H 是群 G 的子群，且 G 有左陪集系{H，aH，bH，cH}。如果 H 的阶为 5， 那么 G 的阶为 20 。 4、4 元对称群 S4 有 12 个奇置换。 5、规定实数集 R 上的运算×为 a×b=2ab+1(等号右边的运算是普通乘法和加法)， 则对于结合率和交换率而言，这个运算满足 交换率 。 6、H 是群 G 的正规子群，商群 G H 中的运算为 aH·bH = abH，则 G H 的单位元 为 H 。 7、在同构的意义下，有 2 个 6 阶群。 8、10 阶循环群有 4 个生成元。 9、设 φ 是群 G 到群 G 的同态映射，a∈G，( ) a a ，那么 1 a = 1 ( ) a 。 10、设 a、b、c 和 x 都是群 G 中的元素，且 x 2 a = bxc-1，acx = xac，那么 x = bc-1 a -1 。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、若 a 是群 G 中唯一的 2 阶元素，证明 a 是中心元。 证明：对任意的 x∈G，有 1 xax a 2 ，由 2 阶元的唯一性得 xax-1 =a，即 xa=ax， 所以 a 是中心元。……10 分 12、设两个 6 次置换 1 2 3 4 5 6 3 1 2 6 4 5 ， 1 2 3 4 5 6 2 4 5 6 1 3 ，求 1 。 解： 1 1 2 3 4 5 6 5 1 6 2 3 4 ，......5 分 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3 1 2 6 4 5 5 1 6 2 3 4 4 3 5 1 2 6 。......5 分 13、设 φ 是群 G 到群 H 的一个同态映射，S 是 G 的子群，证明 S 的象集 φ(S)是 H 的子群。 证明：对任意的 x, y∈φ(S)，存在 s, t∈S，使得 x = φ(s), y = φ(t)，则 xy = φ(s)φ(t) = φ(st)，由于 st∈S，所以 xy∈φ(S)；......5 分 又 φ(s-1 )∈φ(S)，且 xφ(s-1 ) = φ(s)φ(s-1 ) = φ(ss-1 ) = φ(e)，而 φ(e)是 H 的单位元，所 以 φ(s-1 )是 x 的逆元。 所以 φ(S)是 H 的子群。......5 分 14 (10 分) 、已知 G a b a b R a {( , ) , , 0} 关于乘法：(a, b)(c, d) = (ac, ad + b)是群， K b b R {(1, ) }，R*为非零实数关于普通乘法做成的群。证明： G * R K
证明：给出G到R*的映射p,例如p:(ab)→a。3分 证明p是满同态。3分 计算Ker0=K。.3分 由群的基本同态定理得出结论。1分 三、解答题（每小题10分，共30分) 15、证明数集Z√-2]={a+b√-21a,b∈Z关于数的加法与乘法构成一个有单位 元的交换环。 证明：1)任给a=a+b√-2，B=c+d-2∈Z√-2]，a,b,c,d∈Z,则 a+β=(a+c)+(b+dV-2∈Z√-21 a邱=(ac-2bd)+(ad+bc)V-2∈Z√-2] 所以，数的加法与乘法是Z、-21的代数运算。2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z、√-2]的加法与乘法也满足这些运算律。2分 3)因为0=0+0V-2∈Z[-2],且对任意的a=a+b-2∈Z[-2],有0+a= a+0=a,所以0为Z[-2]的零元。2分 4)对任意的a=a+b√-2∈Z√-2]，有-a=-a-b√-2=(-a)+ (-b)-2∈Z[-2],且a+()=0,所以，a=a+b-2∈Z-2]的负元为(-a)+ (b)2∈ZI-2]。.2分 5)因为1=1+0√-2∈Z[V-2],且对任意的a=a+b√-2∈Z[V-2],有1a=a1 =Q,所以数1为Z[√-2]的单位元。.2分 16、魔方(3阶魔方)是由26个小正方体组成的 去心大正方体（去除了中心小正方体），共有6个面， 每个面上有9个小块，共54个小块。 一个简单的事实是在不对魔方中间层进行转 动的情况下，无论怎样转动魔方，各个面的中心块总 是固定的。把魔方的六个外表面用f、b、r、I、u、d 来表示，即f表示前表面，b后表面、r右表面、1左 表面、u上表面、d下表面，并将这6个字母标在相 应面的中心块上。 面对魔方的f面，将其顺时针旋转90°的操作
证明：给出 G 到 R*的映射 φ，例如 φ: (a, b)→a。......3 分 证明 φ 是满同态。......3 分 计算 Kerφ = K。......3 分 由群的基本同态定理得出结论。......1 分 三、解答题（每小题 10 分，共 30 分） 15、证明数集 Z[ 2 ] = {a + b 2 | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一个有单位 元的交换环。 证明：1) 任给 α = a + b 2 , β = c + d 2 ∈Z[ 2 ]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d) 2 ∈Z[ 2 ] αβ = (ac - 2bd) + (ad + bc) 2 ∈Z[ 2 ] 所以，数的加法与乘法是 Z[ 2 ]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[ 2 ]的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分 3) 因为 0 = 0 + 0 2 ∈Z[ 2 ]，且对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[ 2 ]的零元。......2 分 4) 对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ] ， 有 -α = -a – b 2 = (-a) + (-b) 2 ∈Z[ 2 ]，且 α + (-α) = 0，所以，α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]的负元为(-a) + (-b) 2 ∈Z[ 2 ]。......2 分 5) 因为 1 = 1 + 0 2 ∈Z[ 2 ]，且对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有 1α = α1 = α，所以数 1 为 Z[ 2 ]的单位元。......2 分 16、魔方(3 阶魔方)是由 26 个小正方体组成的 去心大正方体(去除了中心小正方体)，共有 6 个面， 每个面上有 9 个小块，共 54 个小块。 一个简单的事实是在不对魔方中间层进行转 动的情况下，无论怎样转动魔方，各个面的中心块总 是固定的。把魔方的六个外表面用 f、b、r、l、u、d 来表示，即 f 表示前表面，b 后表面、r 右表面、l 左 表面、u 上表面、d 下表面，并将这 6 个字母标在相 应面的中心块上。 面对魔方的 f 面，将其顺时针旋转 90º的操作
记为F,显然f面的顺时针旋转180°和逆时针旋转90°分别为F2和F。同样可以分别 用R、L、U、D、B来表示其它相应5个面的顺时针旋转90°的操作。魔方中间层的旋 转可以看成旁边两层同时向另一个方向旋转。这样，这6个基本旋F、R、L、U、D、B 转组成了魔方的全部变化。 魔方的转动实质上是一种置换，在由魔方所有转动组成的集合G上考虑映射的合 成运算，则G构成一个群，称为魔方群。可以证明，魔方群G就是由F、R、L、U、D、 B生成的群，即 G= 魔方群中的元素是魔方表面上54个小块的置换，由前面所说，可以不考虑中心 块的位置变化，所以，魔方群的元素可以看成是限制在另外48个小块上的置换。这样 魔方群实际上是S48的一个子群。如果如下图所示标记各个小块，那么6个基本旋转可 以表示为 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 17 18 19 25 2627 33 3435 12 13 20 21 28 29 36 b 37 14 15 16 22 23 24 30 31 32 38 39 40 41 42 43 44 d 45 4647 48 F=(6254316)(1183041)(7284213)24221719)20182123) B=(1144827(35403833)(2124729)(394632)(36343739) L=(1174140(42044379111614)13151210)(6224635) R=(3384319(2483348)(5364521)(28262931)(25273230) 0=(1386)(2574)9332517)10342618)11352719) D=(43484641)14203038)16243240)(42454744)(15233139) 问F是奇置换还是偶置换，它的阶是多少？ 解：奇置换，阶为4。..10分 17、关于S3你知道什么，有条理地列出来。 解：没有标准答案，答对1条得4分，答对2条得7分，答对3条及以上得10 分。如其阶为6，称为3元对称群，非交换等
记为 F，显然 f 面的顺时针旋转 180º和逆时针旋转 90º分别为 F 2和 F -1。同样可以分别 用 R、L、U、D、B 来表示其它相应 5 个面的顺时针旋转 90º的操作。魔方中间层的旋 转可以看成旁边两层同时向另一个方向旋转。这样，这 6 个基本旋 F、R、L、U、D、B 转组成了魔方的全部变化。 魔方的转动实质上是一种置换，在由魔方所有转动组成的集合 G 上考虑映射的合 成运算，则 G 构成一个群，称为魔方群。可以证明，魔方群 G 就是由 F、R、L、U、D、 B 生成的群，即 G= 魔方群中的元素是魔方表面上 54 个小块的置换，由前面所说，可以不考虑中心 块的位置变化，所以，魔方群的元素可以看成是限制在另外 48 个小块上的置换。这样 魔方群实际上是 S48 的一个子群。如果如下图所示标记各个小块，那么 6 个基本旋转可 以表示为 1 2 3 4 u 5 6 7 8 9 10 11 17 18 19 25 26 27 33 34 35 12 l 13 20 f 21 28 r 29 36 b 37 14 15 16 22 23 24 30 31 32 38 39 40 41 42 43 44 d 45 46 47 48 F=(6 25 43 16)(11 8 30 41)(7 28 42 13)(24 22 17 19)(20 18 21 23) B=(1 14 48 27)(35 40 38 33)(2 12 47 29)(3 9 46 32)(36 34 37 39) L=(1 17 41 40)(4 20 44 37)(9 11 16 14)(13 15 12 10)(6 22 46 35) R=(3 38 43 19)(24 8 33 48)(5 36 45 21)(28 26 29 31)(25 27 32 30) U=(1 3 8 6)(2 5 7 4)(9 33 25 17)(10 34 26 18)(11 35 27 19) D=(43 48 46 41)(14 20 30 38)(16 24 32 40)(42 45 47 44)(15 23 31 39) 问 F 是奇置换还是偶置换，它的阶是多少？ 解：奇置换，阶为 4。……10 分 17、关于 S3 你知道什么，有条理地列出来。 解：没有标准答案，答对 1 条得 4 分，答对 2 条得 7 分，答对 3 条及以上得 10 分。如其阶为 6，称为 3 元对称群，非交换等
