抽象代数 2.7 FUNCHENG UNIVERSITY 运城学院
抽 象 代 数 2.7 运 城 学 院
2.7陪集、指数和Lagrange定理 1.理解左、右陪集的定义及性质 2.理解指数的定义，Lagrange定理 3.知道有限群的子群的和元素的阶都整除群的阶 4.理解有限子群乘积的阶同子群阶的关系 5.知道素数阶群是循环群，知道g阶群子群情况
2.7 陪集、指数和Lagrange定理 1. 理解左、右陪集的定义及性质 2. 理解指数的定义，Lagrange定理 3. 知道有限群的子群的和元素的阶都整除群的阶 4. 理解有限子群乘积的阶同子群阶的关系 5. 知道素数阶群是循环群，知道pq阶群子群情况
2.7陪集、指数和Lagrange定理 设H是群G的一个子群，a∈G,则称子集 aH={axx∈H} 为群G关于子群H的一个左陪集，而称 Ha={xax∈H} 为群G关于子群H的一个右陪集
2.7 陪集、指数和Lagrange定理 设H是群G的一个子群， ，则称子集 为群G关于子群H的一个左陪集，而称 为群G关于子群H的一个右陪集。 a G aH ax x H = { } Ha xa x H = { }
2.7陪集、指数和Lagrange定理 左、右陪集是群的特殊子集，是集合乘积的特殊 情况。 例1：H={1),(12)}≤S3 (13)H={(13),(123)},(23)H={(23),(132)} H(13)={(13),(132)},H(23)={(23),(123)}
2.7 陪集、指数和Lagrange定理 左、右陪集是群的特殊子集，是集合乘积的特殊 情况。 例1：H={(1), (1 2)}≤S3 (1 3)H={(1 3), (1 2 3)}，(2 3)H={(2 3), (1 3 2)} H(1 3)={(1 3), (1 3 2)}，H(2 3)={(2 3), (1 2 3)}
2.7陪集、指数和Lagrange定理 左陪集aH与右陪集Ha一般并不相等 但有时也可能相等： 上例中(1)H=H(1) 特别当G是交换群时，总有aH=Ha 后面会学到H是正规子群时，总有aH=Ha
2.7 陪集、指数和Lagrange定理 左陪集aH与右陪集Ha一般并不相等 但有时也可能相等： 上例中(1)H=H(1) 特别当G是交换群时，总有aH=Ha 后面会学到H是正规子群时，总有aH=Ha
2.7陪集、指数和Lagrange定理 性质1：a∈aH [a∈Ha 性质2：a∈H→alH=H aeH台Ha=HI 性质3：b∈aH→bH=aH b∈Ha→Hb=Ha 性质4： aH=bH→a'b∈H(b'aeH) Ha=Hb ba1∈H(ab'eH)l 性质5：若 aH∩bH≠，则aH=bH [若Ha∩Hb≠， 则Ha=Hb]
2.7 陪集、指数和Lagrange定理 性质1： [ ] 性质2： [ ] 性质3： [ ] 性质4： ( ) [ ( )] 性质5：若 ，则aH=bH [若 ，则Ha=Hb] a aH a Ha a H aH H = a H Ha H = b aH bH aH = b Ha Hb Ha = 1 aH bH a b H = − 1 b a H − 1 Ha Hb ba H = − 1 ab H − aH bH Ha Hb
2.7陪集、指数和Lagrange定理 每个元素必属于某一个左陪集，而且不能属于不 同左陪集，因此，G的全体关于H的不同左陪集 构成群G的一个分类。 如果用aH、bH、cH..表示子群H在G中的所有 不同的左陪集，则有等式， G=aHbHcH... 称其为群G关于子群H的左陪集分解，而称{a,b, C}为G关于H的一个左陪集代表系
2.7 陪集、指数和Lagrange定理 每个元素必属于某一个左陪集，而且不能属于不 同左陪集，因此，G的全体关于H的不同左陪集 构成群G的一个分类。 如果用aH、bH、cH…表示子群H在G中的所有 不同的左陪集，则有等式 ， 称其为群G关于子群H的左陪集分解，而称{a, b, c, …}为G关于H的一个左陪集代表系。 G aH bH cH =
2.7陪集、指数和Lagrange定理 子群H本身是G的一个左陪集，但G的其他左陪 集由于没有单位元，都不是子群
2.7 陪集、指数和Lagrange定理 子群H本身是G的一个左陪集，但G的其他左陪 集由于没有单位元，都不是子群
2.7陪集、指数和Lagrange定理 定理：设H是群G的一个子群，又令 L={aHla∈G R={Haa∈G 则在L与R之间存在一个双射，从而左、右陪集 的个数或者都无限，或者都有限且相等。 由此定理可知，由G的左陪集分解，立即可称G 的一个右陪集分解。或者说由G关于H的一个左 陪集代表系{a,b,c,…}立即可得相应的一个右陪 集代表系{al,bl,c,…}
2.7 陪集、指数和Lagrange定理 定理：设H是群G的一个子群，又令 则在L与R之间存在一个双射，从而左、右陪集 的个数或者都无限，或者都有限且相等。 由此定理可知，由G的左陪集分解 ，立即可称G 的一个右陪集分解 。或者说由G关于H的一个左 陪集代表系{a, b, c, …}立即可得相应的一个右陪 集代表系{a-1 , b-1 , c-1 , …}。 L aH a G = { } R Ha a G = { }
2.7陪集、指数和Lagrange定理 例2：H={1),(12)}≤S3,有 (1)H=(12)H=H, (13)H=(123)H={(13),(123)}, (23)H=(132)H={23),(132)}, H(1)=H(12)=H, H(13)=H(132)={(13),(132)}, H(23)=H(123)={(23),(123)}。 S3=(I)HU(13)HU(132)HS,=H(I)UH(13)UH(123)
2.7 陪集、指数和Lagrange定理 例2：H={(1), (1 2)}≤S3，有 (1)H=(1 2)H=H， (1 3)H=(1 2 3)H={(1 3), (1 2 3)}， (2 3)H=(1 3 2)H ={(2 3), (1 3 2)}， H(1)=H(1 2)=H， H(1 3)=H(1 3 2)={(1 3), (1 3 2)}， H(2 3)=H(1 2 3)={(2 3), (1 2 3)}。 3 S H H H = (1) (13) (13 2) 3 S H H H = (1) (13) (12 3)
