华东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（学习指导书）第7章 假设检验和区间估计

第7章假设检验和区间估计 7.1内容框图 假设检验 区间估计 参数检验 独立性检验 分布的检验 正态总体参数的检验 7.2基本要求 (1) 理解假设检验的基本思想及两类错误的含义 (2)掌握有关正态总体参数的假设检验的基本步骤和方法 (3)理解单侧检验与双侧检验的异同 (4)理解并掌握正态总体参数区间估计的的基本方法 (5)了解总体分布的检验和独立性检验的基本方法 7.3内容概要 1)假设检验 下面把各种情形列一个表： U∈接受域W。,接受H。 U∈拒绝域W,拒绝H。 H。为真，H不真 正确 犯第一类错误 Ho不真，H为真 犯第二类错误 正确 α值为显著水平。然后，根据显著水平α来确定临界值，用临界值来划分接受域W。 93

93 第7章 假设检验和区间估计 7.1 内容框图 7.2 基本要求 （1） 理解假设检验的基本思想及两类错误的含义. （2） 掌握有关正态总体参数的假设检验的基本步骤和方法. （3） 理解单侧检验与双侧检验的异同. （4） 理解并掌握正态总体参数区间估计的的基本方法. （5） 了解总体分布的检验和独立性检验的基本方法. 7.3 内容概要 1）假设检验 下面把各种情形列一个表： U  接受域 W0 ，接受 H0 U  拒绝域 W1 ，拒绝 H0 H0 为真， H1 不真 正确 犯第一类错误 H0 不真， H1 为真 犯第二类错误 正确  值为显著水平。然后，根据显著水平  来确定临界值，用临界值来划分接受域 W0 假设检验 区间估计 参数检验 分布的检验 正态总体参数的检验 独立性检验

和拒绝域W。这样的检验，称为显著性检验。 假设检验的一般步骤是： (1)提出原假设H。: (2)选取合适的检验统计量U,从样本求出U的值： (3)对于给定的显著水平《，查U的分布表，求出临界值，用它划分接受域W。 和拒绝域W,使得当H。为真时，有P{U∈W}=a: (4)若U的值落在拒绝域W,中，就拒绝H。,若U的值落在接受域W。中， 就接受H。。 假设检验的理论依据是所谓的小概率事件原理，即一个概率很小的事件在一次试验中几 乎是不可能发生的要检验一个根据实际问题提出的原假设H。是否成立，如果已知在H。成 立时，某个事件发生的可能性很小，而试验的结果却是这个事件发生了，那么根据小概率事 件原理，我们就可以认为所提出的这个假设H。是不成立的，即拒绝H。；反之，则接受H。 这里的原假设H。可以根据实际问题提出，事件是否发生可根据试验观测值判断，因此假设 检验的关键问题就是要确定在H。成立时，发生可能性很小的某个事件我们知道，正态分布 有个3σ原则，即三若服从正态分布，那么5的取值会大多集中在其均值附近，落入两侧的 可能性很小.事实上，当5服从t分布，x分布，F分布时，其取值落入两侧的可能性也都 相对很小.因此，我们要确定H。成立时一个发生可能性很小的事件，只需根据样本构造出服 从正态分布，t分布，x分布或F分布的随机变量（统计量）就可以了. 根据上述分析，正态总体参数的假设检验可概括为如下步骤。 (1)提出假设： 假设一般是根据实际问题提出的，只是为了检验的方便，要求原假设H。必须含有等号 （2)构造统计量： 即根据样本构造服从正态分布，t分布，x分布或F分布的不含未知参数的随机变量， 常用到6.7节的结论 例如，总体5~N4,o)其中σ已知，要检验Ho:=,己知的 U=X-n~N0,)

94 和拒绝域 W1 。这样的检验，称为显著性检验。 假设检验的一般步骤是： （1）提出原假设 H0 ； （2）选取合适的检验统计量 U ，从样本求出 U 的值； （3）对于给定的显著水平  ，查 U 的分布表，求出临界值，用它划分接受域 W0 和拒绝域 W1 ，使得当 H0 为真时，有 P{U W1 } = ； （4）若 U 的值落在拒绝域 W1 中，就拒绝 H0 ，若 U 的值落在接受域 W0 中， 就接受 H0 。 假设检验的理论依据是所谓的小概率事件原理，即一个概率很小的事件在一次试验中几 乎是不可能发生的.要检验一个根据实际问题提出的原假设 H0 是否成立，如果已知在 H0 成 立时，某个事件发生的可能性很小，而试验的结果却是这个事件发生了，那么根据小概率事 件原理，我们就可以认为所提出的这个假设 H0 是不成立的，即拒绝 H0 ；反之，则接受 H0 . 这里的原假设 H0 可以根据实际问题提出，事件是否发生可根据试验观测值判断，因此假设 检验的关键问题就是要确定在 H0 成立时，发生可能性很小的某个事件.我们知道，正态分布 有个 3  原则，即  若服从正态分布，那么  的取值会大多集中在其均值附近，落入两侧的 可能性很小.事实上，当  服从 t 分布， 2 x 分布，F 分布时，其取值落入两侧的可能性也都 相对很小.因此，我们要确定 H0 成立时一个发生可能性很小的事件，只需根据样本构造出服 从正态分布，t 分布， 2 x 分布或 F 分布的随机变量（统计量）就可以了. 根据上述分析，正态总体参数的假设检验可概括为如下步骤。 （1）提出假设: 假设一般是根据实际问题提出的，只是为了检验的方便，要求原假设 H0 必须含有等号. （2）构造统计量: 即根据样本构造服从正态分布，t 分布, 2 x 分布或 F 分布的不含未知参数的随机变量， 常用到 6.7 节的结论. 例如，总体 ( ) 2 0  ~ N , 其中 2  0 已知，要检验 H0 ：  = 0 ，已知的 ~ (0,1) 0 0 n N x U  −  =

T=x-n~n-), xs+f-Ar 00 都可用作检验的统计量但是T忽略了σ。己知的信息肯定不如U好，而x2因其概率密度的 复杂性（这使得H。的最小接受域难以确定），它也不如U统计量好.其他统计量如 x2=2 rh- 因不含4。显然无法用于检验 一般地，关于期望的检验用U统计量或T统计量.关于单个正态总体方差的检验用x2统计量 关于两个正态总体方差的检验用F统计量： (3)确定拒绝域： 拒绝域就是在H。为真的情况下，所构造的统计量以很小的概率（显著性水平ā）落入的范 围，记为W,即P{统计量∈W}=ā.根据原假设形式上的不同，拒绝域可能为单侧或双侧 那么如何确定拒绝域究竟在左侧，右侧还是双侧呢？比如我们用U=X一山√n来检验 00 H。:4=4时，在H成立的情况下，U的取值应集中在其中心原点附近，取值偏大或 偏小都是可能的，但可能性会很小.因此，此时H。的拒绝域为双侧的但是如果要检验的H。 为μ≥4，此时有U=二凸Vn≥-么n、N0,),即在H。成立时，U的取值会偏 00 大，故此时H。的拒绝域在左侧.一个简单的判别准则是：单侧检验中拒绝域的不等号方向与 备选假设的不等号方向一致，即H,:4<4,则拒绝域为U<一山a (4)作出判断： 代入样本观测值，若统计量观测值落入拒绝域W则拒绝原假设：否则接受原假设 上述步骤也同样适用于非参数检验，如关于分布的检验和独立性检验只不过分布的检验和 独立性检验都是以x2分布为检验统计量并且都是单侧检验. 的

95 ~ ( 1) * 0 − − = n t n S x T  ， ( ) x (n) ns n x x 2 2 0 2 0 2 2 ~  + −  = 都可用作检验的统计量.但是 T 忽略了 2  0 已知的信息肯定不如 U 好，而 2 x 因其概率密度的 复杂性（这使得 H0 的最小接受域难以确定），它也不如 U 统计量好.其他统计量如 ~ ( 1) 2 2 0 2 2 = x n − nS x  ， 因不含  0 显然无法用于检验. 一般地，关于期望的检验用 U 统计量或 T 统计量.关于单个正态总体方差的检验用 2 x 统计量. 关于两个正态总体方差的检验用 F 统计量. （3） 确定拒绝域: 拒绝域就是在 H0 为真的情况下，所构造的统计量以很小的概率（显著性水平α）落入的范 围，记为 W1 ，即 P{统计量∈ W1 }=α.根据原假设形式上的不同，拒绝域可能为单侧或双侧. 那么如何确定拒绝域究竟在左侧，右侧还是双侧呢？比如我们用 n x U 0 0  −  = 来检验 H0 ：  = 0 时，在 H0 成立的情况下， U 的取值应集中在其中心原点附近，取值偏大或 偏小都是可能的，但可能性会很小.因此，此时 H0 的拒绝域为双侧的.但是如果要检验的 H0 为   0 ，此时有 ~ (0,1) 0 0 0 0 n N x n x U     −  − = ,即在 H0 成立时， U 的取值会偏 大，故此时 H0 的拒绝域在左侧.一个简单的判别准则是：单侧检验中拒绝域的不等号方向与 备选假设的不等号方向一致，即 1 0 H :    ，则拒绝域为 U  −u1−a . （4） 作出判断: 代入样本观测值，若统计量观测值落入拒绝域 W1 则拒绝原假设；否则接受原假设. 上述步骤也同样适用于非参数检验，如关于分布的检验和独立性检验.只不过分布的检验和 独立性检验都是以 2 x 分布为检验统计量并且都是单侧检验

最后需要说明的是，假设检验是根据小概率事件原理进行推断的但是一个发生可能性很小 的事件也并非是绝对不可能发生的，因此我们的检验也可能出现错误，即第一类错误一一 H。为真时却拒绝了H。,其概率为显著性水平α，或第二类错误一一H。为假时却接受了 H。,其概率为B 单个总体，方差已知时，均值的检验 问题设总体5~N(山，o2),己知其中O=O。,(X,X2,…,X,)是5的样本， 要检验H。:4=4o。 检验方法 X-上n一N0,),从样本可以算出U的值，定出一个值“%，称为临界值， 00 把U的取值范围分成两个区域：。={UU≤4%}和形={UW>“%。称 W。为接受域，称W,为拒绝域。从样本求出U的值，U的值落在W。中，就接受H。,U的 值落在W中，就拒绝H。。 单个总体，方差未知时，均值的检验 问题设总体5N(4,σ2)，其中O>0未知，(X,X2,…,Xn)是5的样本，要 检验Ho:I=o· 检验方法 T-X-4n==4n~m-) S* S* 从样本求出T=-凸万的值。对于给定的显著水平口，自由度n-1,查1分 S* 布表可得1分布的临界值以n-),使得PT>4-%n-1}=a，当 |T>t以n-)时拒绝H,，否则接受H,。 怎样查表求1分布的临界值 在书后附录中，有一个1分布的临界值表，从中可以查到1分布的临界值。查表时， 在自由度k=n-1与p=1-a网2的相交处可以查到1以n-)。 96

96 最后需要说明的是，假设检验是根据小概率事件原理进行推断的.但是一个发生可能性很小 的事件也并非是绝对不可能发生的，因此我们的检验也可能出现错误，即第一类错误—— H0 为真时却拒绝了 H0 ，其概率为显著性水平α，或第二类错误—— H0 为假时却接受了 H0 ，其概率为  . 单个总体，方差已知时，均值的检验 问题 设总体  ～ ( , ) 2 N   ，已知其中  =  0 ，( , , , ) X1 X2  Xn 是  的样本， 要检验 H0 ：  = 0 。 检验方法 n X  0 −  ～ N(0, 1),从样本可以算出 U 的值，定出一个值 2 u 1− ，称为临界值， 把 U 的取值范围分成两个区域： { } 2 1 W0 = U U  u − 和 { } 2 1 W1 = U U  u − 。称 W0 为接受域，称 W1 为拒绝域。从样本求出 U 的值， U 的值落在 W0 中，就接受 H0 ，U 的 值落在 W1 中，就拒绝 H0 。 单个总体，方差未知时，均值的检验 问题 设总体  ～ ( , ) 2 N   ，其中   0 未知， ( , , , ) X1 X2  Xn 是  的样本，要 检验 H0 ：  = 0 。 检验方法 n S X T * −  0 = = n S X * −  ～t(n −1) 。 从样本求出 n S X T * −  0 = 的值。对于给定的显著水平  ，自由度 n −1 ，查 t 分 布表可得 t 分 布 的 临 界值 ( 1) 2 1 − − t  n ，使得   − = − { ( 1)} 2 1 P T t n ， 当 ( 1) 2 1  − − T t  n 时拒绝 H0 ，否则接受 H0 。 怎样查表求 t 分布的临界值 在书后附录中，有一个 t 分布的临界值表，从中可以查到 t 分布的临界值。查表时， 在自由度 k = n −1 与 p =1− 2 的相交处可以查到 ( 1) 2 1 − − t  n

单个总体，均值未知时，方差的检验 问题设总体5~N(山，o2),其中4未知，(X,X2,…,Xn)是5的样本，要检验 H。:o2=o(或o=o0)。 检验方法 因此可得到检验方法如下： 从样本求出X2=n ,的值。对于给定的显著水平，自由度n-1,查表可得x2 0 分布的临界值gn-)和公gm-)，使得P叫X父2z不以a-明=号，当2xgm-)时拒绝H。, 否则接受H。。 怎样查表求X2分布的临界值 在书后附录中，有x2分布的临界值表，从中可以查到x2分布的临界值。查表时， (1)在自由度k=n-1与p=2的相交处可以查到Xg(n-): (2)在自由度k=n-1与p=1-a2的相交处可以查到X以n-)。 两个总体，方差未知但相等时，均值是否相等的检验 问题设总体5~N(41,O),刀~N(山2，σ2)，其中O1,O2都未知，但已知 O1=O2,（X1,X2,…,Xm),(Y,Y2,…,Yn)分别是5,7的样本，两个样本相互独 立，要检验H。:=42。 检验方法 检验方法如下： 从样本求出T= x-7 的值。对于给定的显著水平a,自由度m+n-2,查 11 S.\m n 表可求得1分布的临界值1-%m+n-2),使得PT>1-%m+n-2}=a，当 97

97 单个总体，均值未知时，方差的检验 问题 设总体  ～ ( , ) 2 N   ，其中  未知， ( , , , ) X1 X2  Xn 是  的样本，要检验 H0 ： 2 0 2  =  （或  =  0 ） 。 检验方法 因此可得到检验方法如下： 从样本求出 2 0 2 2   nS = 的值。对于给定的显著水平  ，自由度 n −1 ，查表可得 2  分 布 的 临界 值 ( 1) 2 2   n − 和 ( 1) 2 2 1 − −   n ， 使得 2 { ( 1)} 2 2 2  P     n − = 以 及 2 { ( 1)} 2 2 1 2      − = − P n ，当 ( 1) 2 2 2     n − 或 ( 1) 2 2 1 2  − −    n 时拒绝 H0 ， 否则接受 H0 。 怎样查表求 2  分布的临界值 在书后附录中，有 2  分布的临界值表，从中可以查到 2  分布的临界值。查表时， （1）在自由度 k = n −1 与 p = 2 的相交处可以查到 ( 1) 2 2   n − ； （2）在自由度 k = n −1 与 p =1− 2 的相交处可以查到 ( 1) 2 2 1 − −   n 。 两个总体，方差未知但相等时，均值是否相等的检验 问题 设总体  ～ ( , ) 2 N 1  1 ， ～ ( , ) 2 N  2  2 ，其中  1， 2 都未知，但已知  1 =  2 ，（ X X X m , , , 1 2  ） ，（ Y Y Yn , , , 1 2  ）分别是  ， 的样本，两个样本相互独 立，要检验 H0 ：  1=  2 。 检验方法 检验方法如下： 从样本求出 m n S X Y T w 1 1 + − = 的值。对于给定的显著水平  ，自由度 m + n − 2 ，查 表可求得 t 分布的临界值 ( 2) 2 1 + − − t  m n ，使得   + − = − { ( 2)} 2 1 P T t m n ，当

|T>4m+n-2)时拒绝H,，否则接受H。。 两个总体，均值未知时，方差是否相等的检验 在求解上面的问题时，我们假设已知有σ1=O2,到底是不是这样，最好还要检验一 下。 问题设总体5~N(山1，O),7~N(42,o)，其中41，山2都未知， (X,X2,…,Xm),(Y,Y2,…,Yn)分别是5，刀的样本，两个样本相互独立，要检 验H。:σ=o(或0=02)。 检验方法 从样本求出F= S的值。对于给定的显若水平。，查表可得F分布的临界 值F%m-ln-)和F%m-ln-,使得PF%(m-l,n-l明=号，当FFgm-Ln-) 时拒绝H。,否则接受H。。 怎样查表求F分布的临界值 在书后附录中，有F分布的临界值表，从中可以查到F分布的临界值。查表时， (1)在自由度k=m-1与自由度k2=n-1的相交处，可以查到与p=1-/2 对应的临界值F以(m-l↓n-): (2)临界值F%m-山n-)不能直接从表中查到，要按下列方法求出： 先将自由度前后颠倒，变成(n-lm-),从表中查出F-以n-山m-),再对它 取倒数，即有Fm-n-》=F以0-Lm- 1 单侧检验 问题设总体5~N(4,σ2)，其中O>0未知，(X1,X2,…,Xn)是5的样本，要 检验H。:≥（备选假设H1:4<4)。 检验方法 98

98 ( 2) 2 1  + − − T t  m n 时拒绝 H0 ，否则接受 H0 。 两个总体，均值未知时，方差是否相等的检验 在求解上面的问题时，我们假设已知有  1 =  2 ，到底是不是这样，最好还要检验一 下。 问 题 设总体  ～ ( , ) 2 N 1  1 ，  ～ ( , ) 2 N  2  2 ，其中 1 ， 2 都未知， （ X X X m , , , 1 2  ） ，（ Y Y Yn , , , 1 2  ）分别是  ， 的样本，两个样本相互独立，要检 验 H0 ： 2 2 2  1 =  （ 或  1=  2 ） 。 检验方法 从样本求出 2 2 * * y x S S F = 的值。对于给定的显著水平  ，查表可得 F 分布的临界 值 ( 1, 1) 2 F m − n − 和 ( 1, 1) 2 1 − − − F  m n ，使得 2 { ( 1, 1)} 2  P F  F m − n − = 以 及 2 { ( 1, 1)} 2 1    − − = − P F F m n ，当 ( 1, 1) 2 F  F m − n − 或 ( 1, 1) 2 1  − − − F F  m n 时拒绝 H0 ，否则接受 H0 。 怎样查表求 F 分布的临界值 在书后附录中，有 F 分布的临界值表，从中可以查到 F 分布的临界值。查表时， （1）在自由度 k1 = m −1 与自由度 k2 = n −1 的相交处，可以查到与 p =1− 2 对应的临界值 ( 1, 1) 2 1 − − − F  m n ； （2）临界值 ( 1, 1) 2 F m − n − 不能直接从表中查到，要按下列方法求出： 先将自由度前后颠倒，变成 (n −1, m −1) ，从表中查出 ( 1, 1) 2 1 − − − F  n m ，再对它 取倒数，即有 ( 1, 1) 1 ( 1, 1) 2 1 2 − − − − = − F n m F m n   。 单侧检验 问题 设总体  ～ ( , ) 2 N   ，其中   0 未知， ( , , , ) X1 X2  Xn 是  的样本，要 检验 H0 ：   0 （备选假设 H1 ：   0 ） 。 检验方法

从样本求出T=二丛万的值。对于给定的显若水平a,自由度n-1,查表 S* 可得t分布的临界值t-a(n-1),使得P{To)。 检验方法 对于给定的显著水平，自由度(m-1,n-1),查表可得F分布的临界值 Fm-ln-,使得PF>F(m-ln-}=&,从样本求出F=S 的值， 当F>Fa(m-l,n-1)时拒绝H。，否则接受H。。 单侧检验与双侧检验的相同和不同之处 (1)单侧检验与对应的双侧检验，检验时所用的统计量完全相同，统计量服从的分布 和自由度也完全相同： (2)双侧检验中查分布表求临界值时，p=1-2或p=/2，单侧检验中查 分布表求临界值时，p=1-《或p=心，而且只要查出单侧的一个临界值就可以了： (3)设在单侧检验中，要检验H。:*≤*（备选假设H:*>*),这时，如 果检验时所用的统计量>右侧临界值，就拒绝H。,否则就接受H。: (4)设在单侧检验中，要检验H。:*≥*（备选假设H1:*<*)，这时，如 果检验时所用的统计量<左侧临界值，就拒绝H。,否则就接受H。。 正态总体参数的假设检验 检验Ho 条件 检验时所用的统计量 分布 99

99 从样本求出 n S X T * −  0 = 的值。对于给定的显著水平  ，自由度 n −1 ，查表 可得 t 分布的临界值 ( 1) t 1− n − ，使得 P{T  −t 1− (n −1) } = ，当 ( 1) T  −t 1− n − 时拒绝 H0 ，否则接受 H0 。 问 题 设总体  ～ ( , ) 2 N 1  1 ，  ～ ( , ) 2 N  2  2 ，其中 1 ， 2 都未知， （ X X X m , , , 1 2  ），（ Y Y Yn , , , 1 2  ）分别是  ， 的样本，两个样本相互独立，要检验 H0 ： 2 2 2  1   （备选假设 H1 ： 2 2 2  1   ） 。 检验方法 对于给定的显著水平  ，自由度 (m −1, n −1) ，查表可得 F 分布的临界值 ( 1, 1) F1− m − n − ，使得 P{ F  F1− (m −1, n −1) } = ，从样本求出 2 2 * * y x S S F = 的值， 当 ( 1, 1) F  F1− m − n − 时拒绝 H0 ，否则接受 H0 。 单侧检验与双侧检验的相同和不同之处 （1）单侧检验与对应的双侧检验，检验时所用的统计量完全相同，统计量服从的分布 和自由度也完全相同 ； （2）双侧检验中查分布表求临界值时， p =1− 2 或 p = 2 ，单侧检验中查 分布表求临界值时， p = 1− 或 p =  ，而且只要查出单侧的一个临界值就可以了 ； （3）设在单侧检验中，要检验 H0 ：*  * （备选假设 H1 ：*  * ） ，这时，如 果 检验时所用的统计量  右侧临界值，就拒绝 H0 ，否则就接受 H0 ； （4）设在单侧检验中，要检验 H0 ：*  * （备选假设 H1 ：*  * ） ，这时，如 果 检验时所用的统计量  左侧临界值，就拒绝 H0 ，否则就接受 H0 。 正态总体参数的假设检验 检验 H0 条件 检验时所用的统计量 分布

己知0=00 U--h万 N(0,1) 00 I=40 单 σ未知 T=-也而 t(n-1) 个 S* 总 体 己知4=0 x2-n+X-4 Gi x2(m) G2=6 山未知 G x2(n-1) - U= 01,02已知 N(0,1) m n =42 01, 02未知 ℉-7 两 T=- 个 t(m+n-2) 总 但有01=02 体 F 2+(-4)2 凸，42己知 S+(T-42)2 F(m,n) 0i=02 41,42未知 F(m-1,n-1) S 2)区间估计 区间估计的基本思想 定义设0是总体分布中的未知参数，如果对于一个事先给定的概率1-α（例如 1-a=0.90,1-=0.95或1-=0.99)，能够找到样本统计量0和0，使得 P{0≤0≤0}=1-α，则称[8,0们为未知参数0的置信区间，称概率1-u为置信水平， 称日为置信下限，称0为置信上限。 单个总体，方差未知时，均值的置信区间 问题设总体5~N(4,σ2)，其中O>0未知，(X1,X2,,X,n)是5的样本，要 100

100 单 个 总 体  = 0 已知  =  0 n X U 0 0  −  = N(0, 1)  未知 n S X T * −  0 = t(n −1) 2 0 2  =  已知  = 0 2 0 2 0 2 2 ( )    + − = nS n X ( ) 2  n  未知 2 0 2 2   nS = ( 1) 2  n − 两 个 总 体  1=  2  1， 2 已知 m n X Y U 2 2 2  1  + − = N(0, 1)  1， 2 未知 但有  1 =  2 m n S X Y T w 1 1 + − = t(m + n − 2) 2 2 2  1 =  1， 2 已知 2 2 2 2 1 2 ( ) ( )   + − + − = S Y S X F y x F(m, n) 1， 2 未知 2 2 * * y x S S F = F(m −1, n −1) 2）区间估计 区间估计的基本思想 定义 设  是总体分布中的未知参数，如果对于一个事先给定的概率 1− （例如 1− = 0.90 ， 1− = 0.95 或 1− = 0.99 ）,能够找到样本统计量  和  ，使得 P{     } = 1− ，则称 [  ,  ] 为未知参数  的置信区间，称概率 1− 为置信水平， 称  为置信下限，称  为置信上限。 单个总体，方差未知时，均值的置信区间 问题 设总体  ～ ( , ) 2 N   ，其中   0 未知， ( , , , ) X1 X2  Xn 是  的样本，要

求u的水平为1-a的置信区间。 分析推导 9三求-L0n-),日=X+gn-[g,就是u的水平为一￡ n 置信区间。 单个总体，均值未知时，方差的置信区间 问题设总体5~N(4,o2),其中4未知，(X,X2,…,Xn)是5的样本，要求o 的水平为1-的置信区间。 0= nS2 X%n-D,包可就是。2的水平为1-公的置信区间。 ns2 o的水平为1-a的置信区间为[V厄，V]。 两个总体，方差但相等时，均值之差的置信区间 问题设总体5~N(41,O),7~N(42,O),其中σ1，O2都未知，但己知 o1=o2,（X1,X2,…,Xm）,(Y,Y2,…,Yn)分别是5，n的样本，两个样本相互独 立，要求41-42的水平为1一的置信区间。 令 g--1-gm*a-2s+0--7+4%m*n-2s偏+ [已，]就是41-42的水平为1-C的置信区间。 两个总体，均值未知时，方差之比的置信区间 问题设总体5~N(4,σ)，n~N(42,σ2)，其中41,42都未知， (X,X2,…,Xm),(Y,Y2,…,Yn)分别是5,7的样本，两个样本相互独立，要求 o2/o?的水平为1-x的置信区间。 101

101 求  的水平为 1− 的置信区间。 分析推导 n S X t n * ( 1) 2 1 = − −  − ， n S X t n * ( 1) 2 1 = + −  − ，[  ,  ] 就是  的水平为 1− 的 置信区间。 单个总体，均值未知时，方差的置信区间 问题 设总体  ～ ( , ) 2 N   ，其中  未知， ( , , , ) X1 X2  Xn 是  的样本，要求 2  的水平为 1− 的置信区间。 ( 1) 2 2 1 2 − = − n nS    ， ( 1) 2 2 2 − = n nS    ，[  ,  ] 就是 2  的水平为 1− 的置信区间。  的水平为 1− 的置信区间为 [  ,  ] 。 两个总体，方差但相等时，均值之差的置信区间 问题 设总体  ～ ( , ) 2 N 1  1 ， ～ ( , ) 2 N  2  2 ，其中  1， 2 都未知，但已知  1 =  2 ，（ X X X m , , , 1 2  ） ，（ Y Y Yn , , , 1 2  ）分别是  ， 的样本，两个样本相互独 立，要求 1 − 2 的水平为 1− 的置信区间。 令 m n X Y t m n Sw 1 1 ( 2) 2 1 = − − + − +  − ， m n X Y t m n Sw 1 1 ( 2) 2 1 = − + + − +  − ， [  ,  ] 就是 1 − 2 的水平为 1− 的置信区间。 两个总体，均值未知时，方差之比的置信区间 问 题 设总体  ～ ( , ) 2 N 1  1 ，  ～ ( , ) 2 N  2  2 ，其中 1 ， 2 都未知， （ X X X m , , , 1 2  ） ，（ Y Y Yn , , , 1 2  ）分别是  ， 的样本，两个样本相互独立，要求 2 2 2  1  的水平为 1− 的置信区间

S*2/S*2 令-F以m-1n- ，8= S2/S*2 Fy(m-Ln-1) [旦，可就是o/o?的水平为1-a的置信区间。 区间估计的一般步骤 从上面几种情况的例子中，我们可以总结出区间估计的一般步骤为： (1)选取一个含有未知参数日的随机变量U: (2)对于给定的置信水平1-α，查U的分布表，象在假设检验中一样，求出临界 值，用它划分接受域W。和拒绝域W,使得P{U∈W。}=1-a: (3)把U∈W。等价变换成0≤0≤0，得到P{0≤0≤0}=1-a,区间 [旦，列就是未知参数日的水平为1-α的置信区间。 表7-2正态总体参数的置信区间 待估 参数 条件 置信区间[日，列 分布 己知0=00 旦，0=X年4-%n 0 N(0,1) L 28=1 S* 0未知 t(n-1) 单 个 e=nS+m-o) 总 4 体 己知4=0 a=m2+m7-42 x2(n) 02 s2 !未知 0=- , 0=ns2 x2(n-1) 两 01,02已知 旦，0=X-了干4-% oioi N(0,1) m n 总 4142 01,02未知 体 g--7 t(m+n-2) 但有01=02 102

102 令 ( 1, 1) * * 2 1 2 2 − − = − F m n Sx S y   ， ( 1, 1) * * 2 2 2 − − = F m n Sx S y   ， [  ,  ] 就是 2 2 2  1  的水平为 1− 的置信区间。 区间估计的一般步骤 从上面几种情况的例子中，我们可以总结出区间估计的一般步骤为： （1）选取一个含有未知参数  的随机变量 U ； （2）对于给定的置信水平 1− ，查 U 的分布表，象在假设检验中一样，求出临界 值，用它划分接受域 W0 和拒绝域 W1 ，使得 P{U W0 } =1− ； （3）把 U W0 等价变换成      ，得到 P{   } =1− ，区间 [ , ] 就是未知参数  的水平为 1− 的置信区间。 表 7-2 正态总体参数的置信区间 待估 参数 条件 置信区间 [  ,  ] 分布 单 个 总 体  已知  =  0  ,  n X u 0 2 1  =  − N(0, 1)  未知  ,  n S X t * 2 =  1− t(n −1) 2  已知  = 0 2 2 1 2 0 2 ( )     − + − = nS n X 2 2 2 0 2 ( )     + − = nS n X ( ) 2  n  未知 2 2 1 2    − = nS ， 2 2 2    nS = ( 1) 2  n − 两 个 总 体  1− 2  1， 2 已知  ,  m n X Y u 2 2 2 1 2 1   = −  + −  N(0, 1)  1， 2 未知 但有  1 =  2  ,  m n X Y t Sw 1 1 2 1 = − +  − t(m + n − 2)