运城学院应用数学系2020年6月抽象代数试题及答案(B) 解答题（每小题10分，共100分） 123456 1、将置换o= 分解为不相连轮换的乘积，并求它的阶。 635421 解a-人}4S1603阶为6：10分 2、在整数集Z上定义两个运算：a①b=a+b-1,aob=a+b-ab,则Z关于这 两个运算是环，计算(2.2)⊕2。 解：(2.2)①2=(2+2-2×2)田2=0①2=0+2-1=1.10分 3、设群G=(a,且a=12,写出G的所有子群。 解：G的子群共6个，{e}、(a〉={e,a}、(a〉={e,a,a}、(a)={e,a,a,a}、 a2)={e,a2,a,a,a3,a0}、G。.10分 4、求Z6中所有可逆元的逆。 解：1、5的逆为自身。.10分 5、设群G=(a,且a=8，,写出AutG。 解：G=e,网风，g},其中E=eaaa。da5a） le a a2 a3aaasa月 o=e aaaaa d a le a a2 aa as as a ea3a6aa4a7a2a5/’h e a a2 a a'a as a ea aaa dd a e aaa a'aaa 。.10分 6、若a是群G中唯一的2阶元素，证明a是中心元。 证明：对任意的x∈G,有xa=2,由2阶元的唯一性得xaxl=a,即xa=ax, 所以a是中心元。...10分 7、设p是从群G到群G的满同态映射，且G是循环群G=(),证明G也是循环 群。 证明：记a=p(a),下面证明G=(a)。显然(a)sG。另一方面，任取x∈G,则 存在xeG,使得x=p(x):由于G=(a),所以存在整数m使得x=a",所以 x=p(x)=p(a")=(p(a)"=am∈(@〉，即(a)2G。从而G=(@),G也是循环群。.10 分
运城学院应用数学系 2020 年 6 月抽象代数试题及答案（B） 解答题（每小题 10 分，共 100 分） 1、将置换 1 2 3 4 5 6 6 3 5 4 2 1 分解为不相连轮换的乘积，并求它的阶。 解： 1 2 3 4 5 6 6 3 5 4 2 1 =(16)(235)，阶为 6。......10 分 2、在整数集 Z 上定义两个运算： a b a b 1，a b a b ab ，则 Z 关于这 两个运算是环，计算 (2 2) 2 。 解： (2 2) 2 (2 2 2 2) 2 0 2 0 2 1 1 。......10 分 3、设群 G a ，且 a 12 ，写出 G 的所有子群。 解：G 的子群共 6 个， {}e 、 6 6 a e a { , }、 4 4 8 a e a a { , , }、 3 3 6 9 a e a a a { , , , }、 2 2 4 6 8 10 a e a a a a a { , , , , , }、G。......10 分 4、求 Z6 中所有可逆元的逆。 解： 1、5的逆为自身。 ......10 分 5、设群 G a ，且 a 8 ，写出 AutG。 解： 1 2 3 AutG { , , , } ，其中 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 e a a a a a a a e a a a a a a a ， 2 3 4 5 6 7 1 3 6 4 7 2 5 e a a a a a a a e a a a a a a a ， 2 3 4 5 6 7 2 5 2 7 4 6 3 e a a a a a a a e a a a a a a a ， 2 3 4 5 6 7 3 7 6 5 4 3 2 e a a a a a a a e a a a a a a a 。......10 分 6、若 a 是群 G 中唯一的 2 阶元素，证明 a 是中心元。 证明：对任意的 x∈G，有 1 xax a 2 ，由 2 阶元的唯一性得 xax -1 =a，即 xa=ax， 所以 a 是中心元。……10 分 7、设 φ 是从群 G 到群 G 的满同态映射，且 G 是循环群 G a ，证明 G 也是循环 群。 证明：记 a a ( ) ，下面证明 G a 。显然 a G 。另一方面，任取 x G ，则 存在 x G ，使得 x x ( ) ；由于 G a ，所以存在整数 m 使得 x=a m，所以 ( ) ( ) ( ( )) m m m x x a a a a ，即 a G 。从而 G a ，G 也是循环群。……10 分
8、设G是交换群，n是正整数，G中所有阶整除n的元素组成集合H,证明H 是G的子群。 证明：对任意的a,b∈H,有aA,由G是交换群得(ab)”abe,所以abn, 即ab∈H,又由la=a得an,所以a∈H。故H是G的子群。l0分 9、证明数集Z√-2]={a+b√-2a,b∈Z关于数的加法与乘法构成一个有单位 元的交换环。（注：√-2=√2i,其中i为虚数单位） 证明：1)任给a=a+b√-2，B=c+d√-2∈Z[√-2]，a,b,c,d∈Z,则 a+B=(a+c)+(b+d)-2∈Z[N-2] a邱=(ac-2bd+(ad+bc)√-2∈ZI√-2] 所以，数的加法与乘法是Z√-2]的代数运算。2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z、√-2]的加法与乘法也满足这些运算律。2分 3)因为0=0+0√-2∈Z[√-2]，且对任意的a=a+b√-2∈Z[√-2]，有0+a= a+0=α，所以0为Z[√-2]的零元。2分 4)对任意的a=a+b√-2∈Z[-2],有-a=-a-b√-2=(-a)+(b) √-2∈Z√-2]，且a+(-a)=0,所以，a=a+bV-2∈Z[V-2]的负元为(-a)+(-b) √-2∈Z-2]。2分 5)因为1=1+0√-2∈Z-2],且对任意的a=a+bN-2∈Z√-2]，有1a=al =a,所以数1为ZV-2]的单位元。2分 证毕。 10、使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换。 正方形的四个顶点分别用1、2、3、4来表示（如图），于是正方形的每一对称变换 可用一个4元置换来表示。 绕中心O旋转90度（逆时针方向，下 14 同)的变换是正方形的一个对称变换，它使得 顶点1变为2,2变为3,3变为4,4变为1， 因此这个对称变换可以表示为 (123 0=2341 类似的，绕中心O旋转 180度、270度、360度的变换都是正方形的 对称变换，绕中心0旋转180度、360度的变
8、设 G 是交换群，n 是正整数，G 中所有阶整除 n 的元素组成集合 H，证明 H 是 G 的子群。 证明：对任意的 a b H , ，有 a n b n , ，由 G 是交换群得(ab)n =a n b n =e，所以 ab n ， 即 ab H ，又由 1 a a 得 1 a n ，所以 1 a H 。故 H 是 G 的子群。……10 分 9、证明数集 Z[ 2 ] = {a + b 2 | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一个有单位 元的交换环。(注： 2 2 i ，其中 i 为虚数单位) 证明：1) 任给 α = a + b 2 , β = c + d 2 ∈Z[ 2 ]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d) 2 ∈Z[ 2 ] αβ = (ac - 2bd) + (ad + bc) 2 ∈Z[ 2 ] 所以，数的加法与乘法是 Z[ 2 ]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[ 2 ]的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分 3) 因为 0 = 0 + 0 2 ∈Z[ 2 ]，且对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[ 2 ]的零元。......2 分 4) 对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有-α = -a – b 2 = (-a) + (-b) 2 ∈Z[ 2 ]，且 α + (-α) = 0，所以，α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]的负元为(-a) + (-b) 2 ∈Z[ 2 ]。......2 分 5) 因为 1 = 1 + 0 2 ∈Z[ 2 ]，且对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有 1α = α1 = α，所以数 1 为 Z[ 2 ]的单位元。......2 分 证毕。 10、使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换。 正方形的四个顶点分别用 1、2、3、4 来表示(如图)，于是正方形的每一对称变换 可用一个 4 元置换来表示。 绕中心 O 旋转 90 度(逆时针方向，下 同)的变换是正方形的一个对称变换，它使得 顶点 1 变为 2，2 变为 3，3 变为 4，4 变为 1， 因此这个对称变换可以表示为 2 1 2 3 4 2 3 4 1 。类似的，绕中心 O 旋转 180 度、270 度、360 度的变换都是正方形的 对称变换，绕中心 O 旋转 180 度、360 度的变
换分别为%-(6子引9=日子； 关于4条对称轴的翻转也都是正方形的对称变换，如关于对称轴1的翻转，将顶 点1变为2,2变为1,3变为4,4变为3，因此这个对称变换可以表示为0= 类似的，关于对称轴h的翻转为0%=气4321” 1234 事实上，正方形的对称变换只有上面提到的8个，它们组成的集合是S4的一个子 群，称为正方形的对称变换群，或二面体群，记为D4。 问题：写出正方形绕中心O旋转270度的对称变换p4:写出正方形关于对称轴 15、14的翻转p7和ps 解：正方形绕中心0旋转270度的对称变换p4= 1234 关于对称轴13 4123 的调装为网-（子到关于对张L的网-心到 1234 答对1个4 分，答对2个7分，答对3个10分
换分别为 3 1 2 3 4 3 4 1 2 、 1 1 2 3 4 1 2 3 4 。 关于 4 条对称轴的翻转也都是正方形的对称变换，如关于对称轴 l1 的翻转，将顶 点1变为2，2变为1，3变为4，4变为3，因此这个对称变换可以表示为 5 1 2 3 4 2 1 4 3 。 类似的，关于对称轴 l2 的翻转为 6 1 2 3 4 4 3 2 1 。 事实上，正方形的对称变换只有上面提到的 8 个，它们组成的集合是 S4 的一个子 群，称为正方形的对称变换群，或二面体群，记为 D4。 问题：写出正方形绕中心 O 旋转 270 度的对称变换 φ4；写出正方形关于对称轴 l3、l4 的翻转 φ7 和 φ8。 解：正方形绕中心 O 旋转 270 度的对称变换 4 1 2 3 4 4 1 2 3 ，关于对称轴 l3 的翻转为 7 1 2 3 4 1 4 3 2 ，关于对称轴 l4 的翻转 8 1 2 3 4 3 2 1 4 。......答对 1 个 4 分，答对 2 个 7 分，答对 3 个 10 分
