运城学院应用数学系2018年1月抽象代数试题及答案(B) 一、填空题（每空3分，共30分） 1、已知群G中的元素a的阶等于36，则a8的阶等于9。 2、设o=(125)是一个轮换，则o的逆为(521)· 3、规定实数集R上的运算×为a×b=a+b3,则对于结合率和交换率而言，这个运 算满足交换率。 4、在同构的意义下有1个7阶群。 5、设a、b和x都是群G中的元素，且xarb=xa2,则用a、b可将x表示为ab1 6、设G=(a)是9阶循环群，则G的子群有3个。 7、若一个置换群中含有k个偶置换，则其共含有元素k或2水个。 8、设p是群G到群G的同态映射，a∈G,p(a)=a,那么p(a)=a_。 9、在3次对称群S3中，H={(1),(123),(132)}是S3的一个不变子群，则商群 G/H中的元素(12)H=12),(13),(23}。 10、在整数集上，规定两个运算：a①b=a+b-1和aob=a+b-ab,则63。= -7。 二、证明、简答题（每小题10分，共40分) 11、设G是一个群，x,y∈G,k是正整数，证明若yy,则(xyx-xyx。 证明：由(yx)=xyx'xyxxyx=xyy…yxl=Xyxl，又yy,所以 (xyxl)-xyx。..10分 12、设G是交换群，n是正整数，G中所有阶整除n的元素组成集合H,证明H 是G的子群。 证明：对任意的a,b∈H,有ah乃，由G是交换群得(ab)P=ab=e,所以abln, 即ab∈H,又由a=a得an,所以aeH。故H是G的子群。l0分 12345678910 13、将置换4= 2459710831 写成不相连轮换的乘积，并求 6 它的阶。 解：=(1249)(3578)610).5分 阶为4、4、2的最小公倍数，即4.5分 14、设φ是从群G到群G的满同态映射，且G是循环群G=(),证明G也是循 环群。 证明：记a=p(a),下面证明G=(a)。显然(a)sG。另一方面，任取x∈G,则 存在x∈G,使得x=p(x):由于G=(a),所以存在整数m使得x=a",所以
运城学院应用数学系 2018 年 1 月抽象代数试题及答案（B） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 36，则 a 8 的阶等于 9 。 2、设 σ=(1 2 5)是一个轮换，则 σ 的逆为 (5 2 1) 。 3、规定实数集 R 上的运算×为 a×b=a3 +b3，则对于结合率和交换率而言，这个运 算满足 交换率 。 4、在同构的意义下有 1 个 7 阶群。 5、设 a、b 和 x 都是群 G 中的元素，且 xaxb=xa 2，则用 a、b 可将 x 表示为 ab-1 。 6、设 G= a 是 9 阶循环群，则 G 的子群有 3 个。 7、若一个置换群中含有 k 个偶置换，则其共含有元素 k 或 2k 个。 8、设 φ 是群 G 到群 G 的同态映射，a∈G，( ) a a ，那么 3 ( ) a = 3 a 。 9、在 3 次对称群 S3 中，H＝{(1)，(123)，(132)}是 S3 的一个不变子群，则商群 G/H 中的元素(12)H＝ {(12)，(13)，(23)} 。 10、在整数集上，规定两个运算： a b a b 1 和 a b a b ab ，则 (3 3) 3 = -7 。 二、证明、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、设 G 是一个群， x y G , ，k 是正整数，证明若 y k =y，则(xyx-1 ) k =xyx -1。 证 明 ： 由 (xyx-1 ) k =xyx -1 xyx -1 …xyx -1 = xyy…yx -1 =xy k x -1 ， 又 y k =y ， 所 以 (xyx-1 ) k =xyx -1。……10 分 12、设 G 是交换群，n 是正整数，G 中所有阶整除 n 的元素组成集合 H，证明 H 是 G 的子群。 证明：对任意的 a b H , ，有 a n b n , ，由 G 是交换群得(ab)n =an b n =e，所以 ab n ， 即 ab H ，又由 1 a a 得 1 a n ，所以 1 a H 。故 H 是 G 的子群。……10 分 13、将置换 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 5 9 7 10 8 3 1 6 写成不相连轮换的乘积，并求 它的阶。 解：μ = (1 2 4 9)(3 5 7 8)(6 10)......5 分 阶为 4、4、2 的最小公倍数，即 4。......5 分 14、设 φ 是从群 G 到群 G 的满同态映射，且 G 是循环群 G a ，证明 G 也是循 环群。 证明：记 a a ( ) ，下面证明 G a 。显然 a G 。另一方面，任取 x G ，则 存 在 x G ，使得 x x ( ) ；由于 G a ， 所 以 存在 整数 m 使 得 x=am ，所以
x=p(x)=p(am)=(p(a)"=a"∈(a),即(a)三G。从而G=(a),G也是循环群。10分 三、应用、探索题（每小题10分，共30分） 15、写出8阶循环群G=(a)的自同构群AutG。 解：G=(a={e,aa2,a3,a,a,a,a},其自同构群含有4个元素， a Au1€{g2,g,g，其 中 e a2 a 3 91= e a2 03 e aaaaaa a e a a'aaaaa 2= le aaaaaa as 3= e aa a'a a as a e aaaa asas a 4= le a asas aa a2 ..10分 a 16、设R为所有有理数对(x1,x2)组成的集合，加法和乘法分别为 (a1,a2)t(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2) (a1,a2)b1,b2)尸(a1b1,a2b2) 容易知道R是环，回答下列问题：R的零元是谁？元素(X,y)的负元是谁？R是否可换？ R有无单位元？哪些元素可逆？ 解：R的零元是(0,0)，元素(x,y)的负元是(-x,y),R可换，R的单位元是(1,1)， 当y0时元素x可逆，逆元为（日}。10分 17、设M={a,b,c,d},其中a= 0-[d-[0a-[d] 在M上考虑矩阵乘法，对其进行详细全面研究。 解：有乘法表 ● a d 8 6 c d b 6 a d c d a b d c b a 所以矩阵乘法是M上运算，自然满足结合律，a是单位元，每个元素的逆元是自 己，所以是群。 是交换群。 a的阶为1，b、c、d的阶为2。 有两个平凡子群{a}、M,有3个2阶非平凡子群{a,b}、{a,c}、{a,d}。 此群与Kein4元群同构，非循环群。其自同构群与S3同构。 能够答对是群，再加上任何两条得10分，否则酌情减分
( ) ( ) ( ( )) m m m x x a a a a ，即 a G 。从而 G a ，G 也是循环群。10 分 三、应用、探索题（每小题 10 分，共 30 分） 15、写出 8 阶循环群 G a 的自同构群 AutG。 解 ： 2 3 4 5 6 7 G a e, a, a , a , a , a a a { , , } ， 其 自 同 构 群 含 有 4 个 元素， 1 2 3 4 AutG , { , , } ，其中 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 e a a a a a a a e a a a a a a a ， 2 3 4 5 6 7 2 3 6 4 7 2 5 e a a a a a a a e a a a a a a a ， 2 3 4 5 6 7 3 5 2 7 4 6 3 e a a a a a a a e a a a a a a a ， 2 3 4 5 6 7 4 7 6 5 4 3 2 e a a a a a a a e a a a a a a a 。……10 分 16、设 R 为所有有理数对(x1, x2)组成的集合，加法和乘法分别为 (a1, a2)+(b1, b2)=(a1+b1, a2+b2) (a1, a2)(b1, b2)=(a1b1, a2b2) 容易知道 R 是环，回答下列问题：R 的零元是谁？元素(x, y)的负元是谁？R 是否可换？ R 有无单位元？哪些元素可逆？ 解：R 的零元是(0, 0)，元素(x, y)的负元是(-x, -y)，R 可换，R 的单位元是(1, 1)， 当 xy≠0 时元素(x, y)可逆，逆元为 1 1 ( , ) x y 。……10 分 17、设 M={a, b, c, d}，其中 1 0 0 1 a ， 1 0 0 1 b ， 1 0 0 1 c ， 1 0 0 1 d ， 在 M 上考虑矩阵乘法，对其进行详细全面研究。 解：有乘法表 a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a 所以矩阵乘法是 M 上运算，自然满足结合律，a 是单位元，每个元素的逆元是自 己，所以是群。 是交换群。 a 的阶为 1，b、c、d 的阶为 2。 有两个平凡子群{a}、M，有 3 个 2 阶非平凡子群{a, b}、{a, c}、{a, d}。 此群与 Klein4 元群同构，非循环群。其自同构群与 S3 同构。 ……能够答对是群，再加上任何两条得 10 分，否则酌情减分
