运城学院应用数学系2020年6月抽象代数试题及答案(A) 解答题（每小题10分，共100分) 1、将置换o= 123456 分解为不相连轮换的乘积，并求它的阶。 (34521 6 解a-(子2i805s0a4,为6-0分 2、在整数集Z上定义两个运算：a①b=a+b-1,aob=a+b-ab,则Z关于这 两个运算是环，计算(2.3)⊕4。 解：(23)⑥4=(2+3-2×3)⊕4=-1⊕4=-1+4-1=2。.10分 3、设群G=(a),且a-10,写出G的所有子群。 解：G的子群共4个，{e}、(a={e,a}、(a2)={e,a2,a,a,a}、G。l0分 4、求Z5中所有可逆元的逆。 解：1、4的逆为自身，2、3互逆。10分 5、设群G=(a),且ad=5,写出AutG。 解：uG=,%,%,0,其中E=e aaa a e aaaa aaa 。..10 分 6、设G是一个群，若对任意的a,b∈G,皆有(ab)2=ab2,证明G是交换群。 证明：对任意的a,b∈G,由(ab)2=ab2得abab=aabb,两边同时左乘a,右乘 b得a ababb"=a aabbb,即ba=ab,所以G是交换群。.l0分 7、设o是从群G到群G的满同态映射，e是G的单位元，记e的像为e,即e=p(e), 证明e是G的单位元。 证明：对任意的aeG,由于p是满射，所以存在a∈G,使得a=p(a),所以有 ae=p(a)p(e)=p(ae)=p(a=a,即是G的单位元。.l0分 8、设G是群，u是G中取定的一个元素，与u可交换的元素组成集合G(),证 明G()是G的子群
运城学院应用数学系 2020 年 6 月抽象代数试题及答案（A） 解答题（每小题 10 分，共 100 分） 1、将置换 1 2 3 4 5 6 3 4 5 2 1 6 分解为不相连轮换的乘积，并求它的阶。 解： 1 2 3 4 5 6 3 4 5 2 1 6 =(135)(24)，阶为 6。......10 分 2、在整数集 Z 上定义两个运算： a b a b 1，a b a b ab ，则 Z 关于这 两个运算是环，计算 (2 3) 4 。 解： (2 3) 4 (2 3 2 3) 4 1 4 1 4 1 2 。......10 分 3、设群 G a ，且 a 10 ，写出 G 的所有子群。 解：G 的子群共 4 个， {}e 、 5 5 a e a { , }、 2 2 4 6 8 a e a a a a { , , , , }、G。......10 分 4、求 Z5 中所有可逆元的逆。 解： 1 4 2 3 、的逆为自身，、互逆。 ......10 分 5、设群 G a ，且 a 5 ，写出 AutG。 解： 1 2 3 AutG { , , , } ，其中 2 3 4 2 3 4 e a a a a e a a a a ， 2 3 4 1 2 4 3 e a a a a e a a a a ， 2 3 4 2 3 4 2 e a a a a e a a a a ， 2 3 4 1 4 3 2 e a a a a e a a a a 。......10 分 6、设 G 是一个群，若对任意的 a, b ∈ G，皆有(ab) 2 = a 2 b 2，证明 G 是交换群。 证明：对任意的 a, b∈G，由(ab)2 = a 2 b 2 得 abab = aabb，两边同时左乘 a -1，右乘 b -1 得 a -1 ababb-1 = a -1 aabbb-1，即 ba = ab，所以 G 是交换群。......10 分 7、设φ 是从群G到群 G 的满同态映射，e是G的单位元，记e的像为 e ，即 e e ( ) ， 证明 e 是 G 的单位元。 证明：对任意的 a G ，由于 φ 是满射，所以存在 a G ，使得 a a ( ) ，所以有 a e a e ae a a ( ) ( ) ( ) ( ) ，即 e 是 G 的单位元。……10 分 8、设 G 是群，u 是 G 中取定的一个元素，与 u 可交换的元素组成集合 G(u)，证 明 G(u)是 G 的子群
证明：对任意的a,b∈G(W,有au=ua,bu=ub,所以 (ab)uFa(bu)=a(ub)=(aub=(ua)b=u(ab),即ab∈G(),又由au=ua得a'aua'=a'uaal,即 ua=a'u,所以a∈G(0)。故G(u是G的子群。.10分 9、证明数集ZI√-2]={a+b-21a,beZ,关于数的加法与乘法构成一个有单位 元的交换环。（注：√-2=√2i,其中i为虚数单位） 证明：1)任给a=a+b-2,B=c+d√-2∈Z√-2]，a,b,c,d∈Z,则 a+B=(a+c)+(b+d)V-2∈Z√-2] aB=(ac-2bd)+(ad+bc)Z[] 所以，数的加法与乘法是Z√-2]的代数运算。2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z√一2]的加法与乘法也满足这些运算律。2分 3)因为0=0+0√-2∈Z[√-2]，且对任意的a=a+b√-2∈Z[√-2]，有0+u= a+0=a,所以0为Z[V-2]的零元。.2分 4)对任意的a=a+b√-2eZ-2],有-a=-a-b√-2=(-a)+(b) √-2∈Z[√-2]，且a+(-a)=0,所以，a=a+b-2∈Z[-2]的负元为(-a)+(-b) √-2∈Z[-2]。2分 5)因为1=1+0-2∈Z[-2],且对任意的a=a+bV-2∈Z[√-2]，有l=al =,所以数1为Z[V-2]的单位元。2分 证毕。 10、使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换。 正方形的四个顶点分别用1、2、3、4 A 3 来表示（如图），于是正方形的每一对称变换可 用一个4元置换来表示。 绕中心O旋转90度（逆时针方向，下 同)的变换是正方形的一个对称变换，它使得 顶点1变为2,2变为3,3变为4,4变为1， 因此这个对称变换可以表示为 1234 0=2341) 类似的，绕中心0旋转 180度、270度、360度的变换都是正方形的
证明：对任意的 a b G u , ( ) ，有 au=ua，bu=ub，所以 (ab)u=a(bu)=a(ub)=(au)b=(ua)b=u(ab)，即 ab G u ( ) ，又由 au=ua 得 a -1 aua -1 =a -1 uaa -1，即 ua -1 =a -1 u，所以 1 a G u( ) 。故 G(u)是 G 的子群。……10 分 9、证明数集 Z[ 2 ] = {a + b 2 | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一个有单位 元的交换环。(注： 2 2 i ，其中 i 为虚数单位) 证明：1) 任给 α = a + b 2 , β = c + d 2 ∈Z[ 2 ]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d) 2 ∈Z[ 2 ] αβ = (ac - 2bd) + (ad + bc) 2 ∈Z[ 2 ] 所以，数的加法与乘法是 Z[ 2 ]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[ 2 ]的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分 3) 因为 0 = 0 + 0 2 ∈Z[ 2 ]，且对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[ 2 ]的零元。......2 分 4) 对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有-α = -a – b 2 = (-a) + (-b) 2 ∈Z[ 2 ]，且 α + (-α) = 0，所以，α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]的负元为(-a) + (-b) 2 ∈Z[ 2 ]。......2 分 5) 因为 1 = 1 + 0 2 ∈Z[ 2 ]，且对任意的 α = a + b 2 ∈Z[ 2 ]，有 1α = α1 = α，所以数 1 为 Z[ 2 ]的单位元。......2 分 证毕。 10、使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换。 正方形的四个顶点分别用 1、2、3、4 来表示(如图)，于是正方形的每一对称变换可 用一个 4 元置换来表示。 绕中心 O 旋转 90 度(逆时针方向，下 同)的变换是正方形的一个对称变换，它使得 顶点 1 变为 2，2 变为 3，3 变为 4，4 变为 1， 因此这个对称变换可以表示为 2 1 2 3 4 2 3 4 1 。类似的，绕中心 O 旋转 180 度、270 度、360 度的变换都是正方形的
对称变换，绕中心0旋转180度、360度的变换分别为0-3412 1234 关于4条对称轴的翻转也都是正方形的对称变换，如关于对称轴1的翻转，将顶 点1变为2,2变为1,3变为4,4变为3，因此这个对称变换可以表示为0= 1234 2143 类似的，关于对称轴☑的翻转为0。=4321) 1234 事实上，正方形的对称变换只有上面提到的8个，它们组成的集合是S4的一个子 群，称为正方形的对称变换群，或二面体群，记为D4。 问题：写出正方形绕中心O旋转270度的对称变换p4:写出正方形关于对称轴 13、14的翻转p7和s。 解：正方形绕中心0旋转270度的对称变换p4= 1234 关于对称轴13 4123 1234 的翻转为9，=1432) 关于对称轴l山4的翻转= 1234 答对1个4 3214 分，答对2个7分，答对3个10分
对称变换，绕中心 O 旋转 180 度、360 度的变换分别为 3 1 2 3 4 3 4 1 2 、 1 1 2 3 4 1 2 3 4 。 关于 4 条对称轴的翻转也都是正方形的对称变换，如关于对称轴 l1 的翻转，将顶 点1变为2，2变为1，3变为4，4变为3，因此这个对称变换可以表示为 5 1 2 3 4 2 1 4 3 。 类似的，关于对称轴 l2 的翻转为 6 1 2 3 4 4 3 2 1 。 事实上，正方形的对称变换只有上面提到的 8 个，它们组成的集合是 S4 的一个子 群，称为正方形的对称变换群，或二面体群，记为 D4。 问题：写出正方形绕中心 O 旋转 270 度的对称变换 φ4；写出正方形关于对称轴 l3、l4 的翻转 φ7 和 φ8。 解：正方形绕中心 O 旋转 270 度的对称变换 4 1 2 3 4 4 1 2 3 ，关于对称轴 l3 的翻转为 7 1 2 3 4 1 4 3 2 ，关于对称轴 l4 的翻转 8 1 2 3 4 3 2 1 4 。......答对 1 个 4 分，答对 2 个 7 分，答对 3 个 10 分
