§3n级行列式 n级行列式的概念 在给出n级行列式的定义之前,先来看一下二级和三级行列式的定义我们有 (1) a a2a2a2=a1a2a3+a12a23a31+a3a2a2-a1a23a32-a1a2a3-a1ya2a1(2) 从二级和三级行列式的定义中可以看出,它们都是一些乘积的代数和,而每一项 乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的,并且展开式恰恰就 是由所有这种可能的乘积组成另一方面,每一项乘积都带有符号这符号是按什 么原则决定的呢?在三级行列式的展开式(2)中,项的一般形式可以写成 J2 其中j/2/3是1,2,3的一个排列可以看出,当j2/3是偶排列时对应的项在(2) 中带有正号,当元2/3是奇排列时带有负号 定义4n级行列式 (4 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 (5) 的代数和,这里j/2…jn是1,2,…,n的一个排列,每一项(5)都按下面规则带有符 号;当j2…j是偶排列时,(5)带有正号,当j2…jn是奇排列时,(5)带有负 号这一定义可写成 a§3 n 级行列式 一、 n 级行列式的概念 在给出 n 级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义.我们有 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − , (1) 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − (2) 从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项 乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就 是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什 么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成 1 1 2 2 3 3 a j a j a j , (3) 其中 1 2 3 j j j 是 1，2，3 的一个排列.可以看出，当 1 2 3 j j j 是偶排列时.对应的项在(2) 中带有正号，当 1 2 3 j j j 是奇排列时带有负号. 定义 4 n 级行列式 n n nn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 (4) 等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 njn a j a j a 1 1 2 2 (5) 的代数和，这里 n j j  j 1 2 是 1,2,  ,n 的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符 号；当 n j j  j 1 2 是偶排列时，(5)带有正号，当 n j j  j 1 2 是奇排列时，(5)带有负 号.这一定义可写成 =  − n n n j j j j j nj j j j n n n n n n a a a a a a a a a a a a          1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1)  , (6)