第16讲w收敛与w收敛 教学目的 掌握弱收敛与弱'收敛的概念和基本性质。 授课要点 序列弱收敛的定义和基本性质。 2序列弱收敛的定义和基本性质 3强弱序列有界性,闭性,完备性,紧性的比较, 有了共轭空间的知识,现在让我们引入一种新的收敛概念 定义1设X是线性赋范空间,X是X的共轭空间,xn,x∈X, 若对于每个∫∈X",imf(x)=f(x),则称序列{xn}弱(O)收敛 于x,记为x=O- limx,或xn-。>x。 以往所讲的依范数收敛,有时又称为强收敛.必要时记之为 定理1弱收敛序列的极限是惟一的. 证明设xn∈X,xnx,xn—"→y,则f∈X f(x)→f(x),f(xn)→f(y).于是f(x)=f(y),由Hahn- Banach 定理的推论知道x=y 定理2设X是线性赋范空间,xn,x,yn,y∈X,,元∈Φ, →>x,yn—>y,A→元,则 xn+yn—>x+y,克nxn 这一结论表明弱极限运算是线性的 证明f∈X”,直接计算得到 f(r,+yn)=f(r)+f(o,)f(x)+f()=f(+y1 第 16 讲 w收敛与 w∗收敛 教学目的： 掌握弱收敛与弱 * 收敛的概念和基本性质。 授课要点： 1 序列弱收敛的定义和基本性质。 2 序列弱 * 收敛的定义和基本性质。 3 强弱序列有界性，闭性，完备性，紧性的比较。 有了共轭空间的知识，现在让我们引入一种新的收敛概念. 定义 1 设 X 是线性赋范空间，X ∗ 是 X 的共轭空间， n x ，x∈ X ， 若对于每个 f X ∗ ∈ ， lim ( n ) ( ) n f x fx →∞ = ，则称序列 {xn} 弱（ ω ）收敛 于 x ,记为 lim n n x ω x →∞ = − ，或 n x x ω → 。 以往所讲的依范数收敛，有时又称为强收敛 . 必要时记之为 s n x → x 。 定理 1 弱收敛序列的极限是惟一的. 证 明 设 n x ∈ X ， w n x → x ， w n x → y ， 则 f X ∗ ∀ ∈ ， f ( ) x fx n → ( ) ，f ( ) x fy n → ( ) .于是 f ( x fy ) = ( ) ，由 Hahn－Banach 定理的推论知道 x = y . 定 理 2 设 X 是线性赋范空间， ,, , n n x xy y X ∈ ， , λn λ ∈Φ ， w n x → x ， w n y y → ， λn → λ ，则 w n n x +  y xy → + ， w n n λ x →λx . 这一结论表明弱极限运算是线性的. 证明 f X ∗ ∀ ∈ ，直接计算得到 f ( x y fx fy fx fy fx y nn n n += + → + = + ) () ( ) ( ) ( ) ( )