f(nxn)=λf(xn)→f(x)=f(xx) 即是所要的结论 定理3若x-→x,则xn-">x 证明对于每个∫∈X”, f(x)-f(x)s/|x,-对 若|xn-x→0,则f(x)→f(x),故得之 例1弱收敛的序列可能不是强收敛的。设en∈P(p>1) e.={0-010…,n21对于每个/∈()=P(p2+q2=小),不 妨设∫=(n,nh2…),其中∑mn<∞,于是mn→>0 此时f(e)=n→0,故en一”→0.但|p=1,故nx0 定理4在有限维空间中,强收敛和弱收敛是一致的 证明只须证明其中任一弱收敛序列是强收敛的.实际上,若 ,y0∈④",x)-"→x0,由于(@)→Φ”,取线性泛函f, 当x={x1…x}时,月(x)=x,(=1…,n)。则f∈(@”), 由于(x“)→(x)甲x→x(k→)(=1…m),换句话说 x)依坐标收敛于x0,故x)必依范数收敛于x 尽管一般来说弱收敛序列不必强收敛,但下面定理反映出弱收敛 与强收敛的联系是紧密的2 f ( ) λnn n n x fx fx f x = →= λλ λ ( ) ( ) ( ) ， 即是所要的结论. 定理 3 若 s n x → x ，则 w n x → x . 证明 对于每个 f X ∗ ∈ ， f ( ) x fx f x x n n −≤ − ( ) ， 若 0 n x x − → ，则 f ( ) x fx n → ( ) ，故得之. 例 1 弱收敛的序列可能不是强收敛的 . 设 ( ) p n elp ∈ ＞1 ， 0, ,01,0, n n e     =         " " ，n ≥1. 对于每个 ( ) ( ) 1 1 1 p q f l lp q ∗ − − ∈ = += ，不 妨设 ( ) 1 2 f = η η, ," ，其中 1 q n n η ∞ = ∑ ＜∞ ，于是 0 ηn → . 此时 ( ) 0 n n f e = → η ,故 0 w n e → . 但 1 n p e = ，故 0 n e → . 定理 4 在有限维空间中，强收敛和弱收敛是一致的. 证明 只须证明其中任一弱收敛序列是强收敛的. 实际上，若 ( ) k x ， (0) n x ∈Φ ， (k ) w (0) x →x ，由于 ( ) n n ∗ Φ → Φ ，取线性泛函 i f ， 当 x = {x x 1, , " n} 时， fi i ( ) x x = ， (i n =1, , " ) 。则 ( ) n i f ∗ ∈ Φ ， ( ) ( ) k k( ) i i f x x = ， ( ) ( ) 0 0( ) i i f x x = , 由于 ( ) ( ) ( ) ( ) k 0 i i f x fx → 即 ( ) ( ) ( )( ) 0 1, , k i i x → →∞ = xk i n " ，换句话说， ( ) k x 依坐标收敛于 ( ) 0 x ，故 (k ) x 必依范数收敛于 (0) x . 尽管一般来说弱收敛序列不必强收敛，但下面定理反映出弱收敛 与强收敛的联系是紧密的