定理5若xn"x,则存在{x}中元素的凸组合构成的序列 yn}(即y=∑x:n20,∑=1),y一→x 证明考虑集合E=Co{xnn≥l,只须证明x∈E 由凸集的隔离定理,对于紧集{x}和闭凸集E,存在∫∈x”和两 实数1,2(K<)使得 Ref(x)<K≤F<Ref(y),vy∈E 特别地,取y=xn可知这是与ⅵ∈X",∫(xn)→f(x)矛盾的 为了进一步刻划弱收敛,让我们引入自然嵌入算子的概念.首先 我们有 定理6对于每个x∈X,在X'上定义泛函x”,使 x()=f(x),Vf∈X 则x“∈X”并且||=对 证明由定义,V1,2∈X,a,B∈Φ, (af+Bf2)=(af+B52)() af(x)+B2(x) ax"()+Bx"(2), 故x*是线性泛函.由于 x(O)=|(x)s1|3 定理 5 若 0 w n x → x ，则存在 {xn} 中元素的凸组合构成的序列 {yn} （即 1 n i i k n nn i y rx = = ∑ ； 0 i nr ≥ ， 1 1 n i k n i r = ∑ = ）， 0 s n y x → . 证 明 考虑集合 E co x n = { n ; 1 ≥ }，只须证明 0 x ∈E . 由凸集的隔离定理，对于紧集 {x0} 和闭凸集 E ，存在 f X ∗ ∈ 和两 实数 1 2 r r, （ 1 2 r r ＜ ）使得 Re Re f ( ) x r r fy 0 12 ＜＜＜ ( ) ， ∀y E ∈ . 特别地，取 n y x = 可知这是与 f X ∗ ∀ ∈ ， 0 () () n f x fx → 矛盾的. 为了进一步刻划弱收敛，让我们引入自然嵌入算子的概念. 首先 我们有 定理 6 对于每个 x X ∈ ，在 X ∗ 上定义泛函 x∗∗ ，使 x ( ) f fx( ) ∗∗ = ， f X ∗ ∀ ∈ ， 则 x X ∗∗ ∗∗ ∈ 并且 x x ∗∗ = . 证 明 由定义， 1 2 f , f X ∗ ∀ ∈ ， α, β ∈Φ ， x (αβ αβ f f f fx 12 12 ) ( )( ) ∗∗ + =+ = + α β f1 2 ( x fx ) ( ) α β x ( f xf 1 2 ) ( ) ∗∗ ∗∗ = + ， 故 x∗∗ 是线性泛函. 由于 x ( ) f fx x f ( ) ∗∗ = ≤