程组(Ⅱ)的前n个方程作为一个线性方程组,它有唯一解,记该解为x",x2 代入方程组(Ⅱ)的前n个方程中得 (ⅣV) a,nx, +ant 对等式组(Ⅳ)中第1个等式的两端同时乘以x'第2个等式的两端同时乘以x,…,第n 个等式的两端同时乘以x然后将n各等式的左边全部相加,也将右边全部相加,并利用 (Ⅲ)式,可得 it. -Cu t cxr 由 得bx1*+b 即x”,x",…,x“也满足(Ⅱ)中最后一个方程.所以方程组(Ⅱ)有解 反之,若方程组(Ⅱ)有解,设其解为x",x2“,…,x",代入(Ⅱ)得到 a1x1+a21x2+…+an1x。=C1 ,x+b 对等式组(Ⅲ)中第1个等式的两端同时乘以x”,第2个等式的两端同时乘以x,…, 第n个等式的两端同时乘以xn",然后将n各等式的左边全部相加,也将右边全部相加,并 利用(V)式,可得 C,xI+C3x2+.+cx,=bx+bx2+.+bx 将上式左端与(V)式中最后一个等式比较,将上式右端与(Ⅲ)式中最后一个等式比较 得 7设A是n×n矩阵.证明:A=AP 证因为AA'=AE,两边取行列式得AA'=AP.如果A≠0,两边除以A,得 如果A=0,也可写成A卡=AP1,总之,有AAP1成立程组（Ⅱ）的前 n 个方程作为一个线性方程组，它有唯一解，记该解为 x1 **, x2 **,…, xn **， 代入方程组（Ⅱ）的前 n 个方程中得 （Ⅳ）                         n n nn n n n nn n n n a x a x a x c a x a x a x c a x a x a x c a x a x a x c n n n n ** ** 2 ** 1 1 ** 1 ** 2 1 ** 1 1 2 ** 2 ** 22 ** 12 1 ** 1 ** 21 ** 11 ... ... .......................................... ... ... 1 2 1 2 1 2 1 2 对等式组（Ⅳ）中第 1 个等式的两端同时乘以 x1 *,第 2 个等式的两端同时乘以 x2 *,…, 第 n 个等式的两端同时乘以 xn *，然后将 n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用 （Ⅲ）式，可得 b1x1**+b2x2**+…+bnxn**=c1x1*+ c2x2*+…+ cnxn*=u 由 u=v，得 b1x1**+b2x2**+…+bnxn**=u 即 x1 **, x2 **,…, xn **也满足（Ⅱ）中最后一个方程．所以方程组（Ⅱ）有解． 反之，若方程组（Ⅱ）有解，设其解为 x1 **, x2 **,…, xn **，代入（Ⅱ）得到 （Ⅴ）                      b x b x b x v a x a x a x c a x a x a x c a x a x a x c n n n n n n n nn n n n ** ** 2 ** 1 1 ** ** 2 ** 1 2 ** 2 ** 22 ** 12 1 ** 1 ** 21 ** 11 ... ... .......................................... ... ... 1 2 1 2 1 2 1 2 对等式组（Ⅲ）中第 1 个等式的两端同时乘以 x1 **,第 2 个等式的两端同时乘以 x2 **,…, 第 n 个等式的两端同时乘以 xn **，然后将 n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并 利用（Ⅴ）式，可得 c1x1*+c2x2*+…+cnxn*=b1x1**+ b2x2**+…+ bnxn** 将上式左端与（Ⅴ）式中最后一个等式比较，将上式右端与（Ⅲ）式中最后一个等式比较， 得 u=v． 7.设 A 是 n×n 矩阵．证明：|A* |=|A|n-1 证 因为 AA*=|A|E，两边取行列式得 |A||A* |=|A|n．如果|A|≠0，两边除以|A|，得 |A* |=|A|n-1 如果|A|=0，也可写成|A* |=|A|n-1，总之，有|A* |=|A|n-1成立．