的球形邻域或ε邻域，或球形邻域.对R,),B(XE)=(X-6,x+). 定理2.1.1度量空间(X,P)的球形邻域具有性质： (1)x∈X,&>0,x∈B(xE) (2) x∈X,61,62>0,则归63>0，满足x∈B(x,6)CBx,6)nB(x,82,): (3)若y∈B(x,6,36>0使B(,)CB(x,): 证(2)0<63<mn{61,62}: (3)6=s-p(x,y),B(y,6)B(x,s) 定义2.1.3X的子集A称为(X,p)的开集，若a∈A,38>0,使B(x,8)CA.每一球 形邻域是开集. 例2.1.5R中的开区间是开集 x∈(a,b)让￡=min{x-a,b-x}则B(x,)s(a,b)同样可证，无限开区也是开集. 闭区间[a,b)不是开集. 定理2.1.2度量空间的开集具有以下性质： (1)X,中是开集；(2)两开集的交是开集；(3)任意开集族之并是开集 证(1)由定理2.1.1(1)(2)，(3)由定理2.1.1(2). 定义2.1.4设X是度量空间，x∈X,U三X,U称为x的邻域，若有开集V,使 x∈VsU. 定理2.1.3U是X中点x的邻域存在ε>0，使B(x,c)cU. 定义2.1.5设X,Y是两度量空间.f:X→Y,x。∈X,称f在x。连续，若f(xo) 的球形邻域B(f(x,),),(&>O) 存在x。的球形邻域B(xo,δ)，使f(B(xo,δ)CB(f(x),), 称∫在X连续，若f在X的每一点连续。 定理2.1.4设X,Y是两度量空间.f:X→Y,x。∈X,那么 (I)f在x。连续若U是f(x)的邻域，则∫-(U)是x。的邻域： (2)∫在X连续若U是Y的开集，则f-(U)是X的开集8 的球形邻域或  邻域, 或球形邻域. 对(R, |.|), B(x,  ) = (x -  , x +  ). 定理 2.1.1 度量空间 (X , ) 的球形邻域具有性质: (1) x  X,  0, x  B(x. ) (2) , , 0, 0, ( ,. ) ( ,. ) ( ,. 2 ) 1 2 3 3 1 3 x  X    则  满足x  B x   B x   B x  ； (3) 若 y  B(x, ),  0 使 B( y, )  B(x, ) ； 证 (2) 0 min{ , } 3 1 2      ； (3)  =  − (x, y),则B(y,)  B(x,) 定义 2.1.3 X 的子集 A 称为 (X , ) 的开集, 若 a A,  0,使B(x,)  A. 每一球 形邻域是开集. 例 2.1.5 R 中的开区间是开集. x  (a,b) 让  = min{ x − a,b − x} 则 B(x, )  (a,b) 同样可证, 无限开区也是开集. 闭区间[a, b] 不是开集. 定理 2.1.2 度量空间的开集具有以下性质: (1) X, 是开集; (2)两开集的交是开集; (3)任意开集族之并是开集. 证 (1)由定理 2.1.1(1); (2), (3)由定理 2.1.1(2). 定义 2.1.4 设 X 是度量空间, x  X,U  X,U 称为 x 的邻域, 若 有开集 V , 使 x V  U . 定理 2.1.3 U 是 X 中点 x 的邻域 存在ε>0, 使 B(x, ε)  U. 定义 2.1.5 设 X ,Y 是两度量空间. f : X → Y , x0  X , 称 f 在 0 x 连续, 若 ( ) 0 f x 的球形邻域 ( ( ), ),( 0) B f x0    存在 0 x 的球形邻域 B(x0, δ), 使 ( ( , )) ( ( ), ). 0 0 f B x   B f x  称 f 在 X 连续, 若 f 在 X 的每一点连续. 定理 2.1.4 设 X ,Y 是两度量空间. f : X → Y , x0  X , 那么 (1) f 在 0 x 连续 若 U 是 ( ) 0 f x 的邻域, 则 ( ) 1 f U − 是 0 x 的邻域; (2) f 在 X 连续 若 U 是 Y 的开集, 则 ( ) 1 f U − 是 X 的开集